8、直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說(shuō)明理由.
【思路點(diǎn)撥】(1) ;
(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)得單調(diào)區(qū)間，必要時(shí)分類(lèi)討論；（3）列表判斷的單調(diào)性和極值、最值情況，再結(jié)合的草圖即可探究出是否存在滿(mǎn)足題意的.
【精講精析】(1)由得
（2）由（1）可得從而
因?yàn)楣剩?
① 當(dāng)時(shí)，由得；由得；
② 當(dāng)時(shí)，由得；由得.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為（0,1），單調(diào)遞減區(qū)間為.
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）.
(3)當(dāng)時(shí)，
由（2）可得，當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，的
9、變化情況如下表：
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
又，所以函數(shù)的值域?yàn)?
據(jù)此可得，若則對(duì)每一個(gè)直線與曲線都有公共點(diǎn)；并且對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都沒(méi)有公共點(diǎn).
綜上，當(dāng)時(shí)，存在最小的實(shí)數(shù)，最大的實(shí)數(shù)，使得對(duì)每一個(gè)，直線與曲線 都有公共點(diǎn).
10．（2011·江蘇高考·Ｔ17）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合與圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒。E,F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)
10、端點(diǎn)，設(shè)。
（1）某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S最大，試問(wèn)應(yīng)取何值？
（2）某廠商要求包裝盒的容積V最大，試問(wèn)應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值。
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查的是從實(shí)際生活中提取數(shù)學(xué)模型，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決，所以解決本題的關(guān)鍵是正確的列出側(cè)面積和容積的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值和導(dǎo)數(shù)法求最值求解。
【精講精析】設(shè)包裝盒的高為，底面邊長(zhǎng)為由已知得。
（1），所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值。
（2）。由得，(舍)或。當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)取得極大值，也是最大值,此時(shí)，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為。
11.（2011·江蘇高考·Ｔ19）已知a，b是實(shí)數(shù)，函
11、數(shù) 和是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間I上恒成立，則稱(chēng)和在區(qū)間I上單調(diào)性一致
（1）設(shè)，若和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)且，若函數(shù)和在以a，b為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值
【思路點(diǎn)撥】本題考查的是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合知識(shí)，在解決本題時(shí)要注意挖掘已知的信息，注意條件的轉(zhuǎn)化，函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)之積恒為正來(lái)處理。
【精講精析】解法一：。
（1）由題意得，在上恒成立。
因?yàn)?，故，進(jìn)而，即在區(qū)間上恒成立，
所以，因此的取值范圍是。
（2）令，解得，若，由得，又因?yàn)?，所以函?shù)和在上不是單調(diào)性一致的。
因此?，F(xiàn)設(shè)。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。因此，當(dāng)時(shí)，
12、故由題設(shè)得且，從而，于是，因此，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。又當(dāng)時(shí)，),從而當(dāng)時(shí)，,故函數(shù)和在上單調(diào)性一致的。因此的最大值為.
解法二：
（1）因?yàn)楹瘮?shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以，即
即
（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，函?shù)和在區(qū)間（b,a）上單調(diào)性一致，所以，
即，
設(shè)，考慮點(diǎn)(b,a)的可行域，函數(shù)的斜率為1的切線的切點(diǎn)設(shè)為
則；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瘮?shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，
即，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瘮?shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，
即而x=0時(shí)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，由題意：
綜上可知，。
12. （2011·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·Ｔ21）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)
13、處的切線方程為.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果當(dāng)，且時(shí)，，求的取值范圍.
【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)應(yīng)為切線的斜率，切點(diǎn)即在切線上又在原函數(shù)上，利用上述關(guān)系，建立方程組，求得的值；
第（2）問(wèn)，，首先化簡(jiǎn)函數(shù)式
，再來(lái)證明不等式成立即可，必要時(shí)分類(lèi)討論.
【精講精析】（Ⅰ）由于直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，故
即
解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
.
考慮函數(shù)，則.
(i)設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，，h(x)遞減.而，故當(dāng)時(shí)， ，可得；
當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）<0，可得 h（x）>0
從而當(dāng)x>0,且x1時(shí)，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）
14、設(shè)00,故 (x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾.
（iii）設(shè)k1.此時(shí)，（x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾.
綜合得，k的取值范圍為（-，0]
13. （2011·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·Ｔ21）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)，且時(shí)，.
【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，對(duì)應(yīng)為切線的斜率，切點(diǎn)即在切線上又在原函數(shù)上，利用上述關(guān)系，建
15、立方程組，求得的值；
第（2）問(wèn)，，先化簡(jiǎn)函數(shù)式，再來(lái)證明不等式成立即可，必要時(shí)分類(lèi)討論.
【精講精析】
（Ⅰ）
由于直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，故即
解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=所以
考慮函數(shù)
則h′(x)=
所以x≠1時(shí)h′(x)＜0而h(1)=0故
x時(shí)h(x)>0可得,
x h(x)<0可得,
從而當(dāng)，且時(shí)，.
14．（2011·遼寧高考文科·Ｔ20）（本小題滿(mǎn)分12分）
設(shè)函數(shù)，曲線過(guò)點(diǎn)P（1，0），且在P點(diǎn)處的切斜線率為2．
（I）求，的值；
（II）證明：．
【思路點(diǎn)撥】（I）先求導(dǎo)，再代入進(jìn)行計(jì)算；（II）構(gòu)造函數(shù)，求其導(dǎo)函數(shù)
16、，證明其單調(diào)性，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明 的問(wèn)題．
【精講精析】（I）． ……2分
由已知條件得 即
解得 ……5分
（II）的定義域?yàn)?，由（I）知．
設(shè)，則
．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)增加，在（1，+）上單調(diào)減少．
而，故當(dāng)時(shí)，，即． ……12分
15.（2011·廣東高考文科·Ｔ19）設(shè)a＞0,討論函數(shù)f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的單調(diào)性.
【思路點(diǎn)撥】先求的導(dǎo)函數(shù)，再由的不同取值范圍，解不等式，從而確定
17、的單調(diào)區(qū)間.在解本題時(shí)一定要注意的定義域?yàn)?
【精講精析】函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)?shù)呐袆e式
①當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)，
且當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；
當(dāng)內(nèi)為減函數(shù)；
②當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；
③當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；
④當(dāng)
在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
且當(dāng)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，內(nèi)為減函數(shù)。 的單調(diào)區(qū)間如下表：
（其中）
16.（2011·廣東高考理科·Ｔ21）(本題滿(mǎn)分14分)在平面直角坐標(biāo)系上,給定拋物線:,實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,是方程的兩根，記.
（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)作的切線交軸于點(diǎn).證明:對(duì)線段上任一點(diǎn)有
（Ⅱ）設(shè)是定點(diǎn)，其中滿(mǎn)足
18、,.過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與軸分別交于.線段上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為.證明:;
（Ⅲ）．設(shè).當(dāng)點(diǎn)取遍時(shí)，求的最小值(記為)和最大值(記為).
【思路點(diǎn)撥】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而寫(xiě)出切線方程，再求出其與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).把條件Q點(diǎn)在線段AB上轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，即的取值范圍，求出方程的根，用表示，再由其取值范圍得出結(jié)論.
（2）數(shù)形結(jié)合可得.
（3）數(shù)形結(jié)合，結(jié)合換元法.
【精講精析】（1）【解】，則過(guò)A()的切線斜率，切線方程為,
令得B().由Q（）在線段AB上得.
由，得=.
由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，則,，由得
即.綜之有.
（2）【證明】由（1）知
（Ⅰ）
19、若，由（1）知在線段上,且且,
若,由（1）知在線段上,則在軸上，這與矛盾，故，得；
（Ⅱ）若，有，點(diǎn)在的下方，則交點(diǎn)在線段上,即，得.
由上述（Ⅰ）（Ⅱ）知：
(3)【解】方法一：由得或知，
由題意知：，于是有，即D內(nèi)任何一點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程均有解，由知
φ，設(shè)，則φ（）=,,
區(qū)域D=
如圖示畫(huà)出區(qū)域，
將直線：平行移動(dòng)，當(dāng)與直線BC重合時(shí)，，得；
當(dāng)與曲線相切時(shí)，由知，得切點(diǎn),于是有.
方法二：聯(lián)立，得交點(diǎn)，可知，
過(guò)點(diǎn)作拋物線L的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，
得，解得，
又，即，
，設(shè)，，
，又，；
，，
．
17.（2011·山東高考理科·Ｔ21）（本小題
20、滿(mǎn)分12分）
某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.
（Ⅰ）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的.
【思路點(diǎn)撥】本題為應(yīng)用題，從近幾年高考題目來(lái)看，應(yīng)用題總體難度不是太大，易于得分，（1）先求出l和r的關(guān)系，再根據(jù)問(wèn)題情境列出函數(shù)解析式，注意函數(shù)的定義域.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.先求導(dǎo)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，然
21、后根據(jù)單調(diào)性求出極值，再由函數(shù)的定義域求出最值.
【精講精析】（Ⅰ）因?yàn)槿萜鞯捏w積為立方米，
所以,
解得,
由于
因此.
所以圓柱的側(cè)面積為=,
兩端兩個(gè)半球的表面積之和為,
所以建造費(fèi)用+,定義域?yàn)?
（Ⅱ）因?yàn)?=,
由于c>3,所以c-2>0,
所以令得: ;
令得:,
（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)y在（0，2）上是單調(diào)遞減的，故建造費(fèi)最小時(shí)r=2.
（2）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)y在（0，2）上是先減后增的，故建造費(fèi)最小時(shí).
18.（2011·遼寧高考理科·Ｔ21）(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2=（2-a）x.
(I)討論f（x）的單調(diào)性；
22、
（II）設(shè)a＞0，證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，f（+x）＞f（－x）；
（III）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f’（ x0）＜0.
【思路點(diǎn)撥】(I)要先考慮定義域，再求導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)進(jìn)行討論，從而所求函數(shù)的單調(diào)性；
（II）可先構(gòu)造函函數(shù)，將所證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明恒成立，再對(duì)求導(dǎo)，利用單調(diào)性可解決問(wèn)題；
（III）先設(shè)A（，０），B（，０），結(jié)合(Ⅰ) 可知且先增后減，利用（Ⅱ）的結(jié)論，可證 ，從而，確定的取值范圍，最后利用(Ⅰ)的結(jié)論得證．
【精講精析】(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?
.
（ⅰ）若，則，所以在單調(diào)遞增.
（ⅱ）若，則由得，且當(dāng)時(shí)
23、，，
當(dāng)時(shí)， ，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. ……4分
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，則
，
.
當(dāng)時(shí)，，而，所以.
故當(dāng)時(shí)，. ……8分
（Ⅲ）由(Ⅰ)可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸至多只有一個(gè)交點(diǎn)，故，從而的最大值為，且．
不妨設(shè)A（，０），B（，０），，則，
由（Ⅱ）得．
從而，于是．
由(Ⅰ)知，． ……12分
19．（2011·北京高考理科·T18）(13分)已知函數(shù).
（I）求的單調(diào)區(qū)間；
（II）
24、若對(duì)于任意的，都有，求k的取值范圍.
【思路點(diǎn)撥】求導(dǎo)后，分k>0與k<0兩種情況進(jìn)行討論.
【精講精析】(Ⅰ)，令，得.
當(dāng)k>0時(shí)，f(x)與的情況如下：
-
0
+
0
-
↑
↓
0
↑
所以的單調(diào)增區(qū)間是和；單調(diào)減區(qū)間是.
當(dāng)時(shí)，與的情況如下：
+
0
-
0
+
↓
0
↑
↓
所以的單調(diào)減區(qū)間是和；單調(diào)增區(qū)間是.
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋圆粫?huì)有，.
當(dāng)時(shí)，由（1）知在上的最大值是.
所以等價(jià)于，解得.
故當(dāng)，時(shí)，k的取值范圍是.
20．（2011·北京高
25、考文科·T18）(13分)已知函數(shù).
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值.
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）先求出的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)單調(diào)性求出[0,1]值域，通過(guò)值域得出最小值.
【精講精析】（Ⅰ）.令，得，與的情況如下：
-
0
+
↓
↑
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是.
（Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上的最小值為；
當(dāng)，即時(shí)，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為.
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值為.
21．（2011·湖南高考文科T22）
26、（本小題滿(mǎn)分13分）設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為k.問(wèn)：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【思路點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及用分類(lèi)討論思想、函數(shù)和方程相互轉(zhuǎn)化的思想分析解決溫問(wèn)題的能力.
【精講精析】
（I）的定義域?yàn)?
令
(1) 當(dāng)故上單調(diào)遞增．
(2) 當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，，故上單調(diào)遞增．
(3) 當(dāng)?shù)膬筛鶠椋?
當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（II）由（I
27、）知，．
因?yàn)椋?
又由(I)知，．于是
若存在，使得則．即．亦即
再由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾．故不存在，使得
22.（2011·江西高考理科·Ｔ19）設(shè)
（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍.
（2）當(dāng)時(shí)，在的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.
【思路點(diǎn)撥】（1）要使在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，需在上恒大于零，即得a的取值范圍.（2）首先求出在上的最小值為f(4),從而求出a的值，進(jìn)一步易求在該區(qū)間上的最大值為f(2).
【精講精析】
23.（2011·江西高考文科·Ｔ20）設(shè).
（1）如果在處取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的單
28、調(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度是正整數(shù)，試求和
的值．(注：區(qū)間的長(zhǎng)度為）
【思路點(diǎn)撥】（1）先將函數(shù)g(x)配方，結(jié)合二次函數(shù)的圖像特點(diǎn)，可得參數(shù)m,n.（2）先根據(jù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，得出，進(jìn)而根據(jù)得到，又因?yàn)閱握{(diào)遞減區(qū)間的長(zhǎng)度為，結(jié)合m+n<10,經(jīng)過(guò)討論可得，m,n的值。
【精講精析】解：（1）已知，
又在處取極值，
則，又因?yàn)樵谔幦∽钚≈?5，
則
（2）要使單調(diào)遞減，則
又因?yàn)檫f減區(qū)間長(zhǎng)度是正整數(shù)，所以?xún)筛O(shè)做a，b。即有：
b-a為區(qū)間長(zhǎng)度。又
又因?yàn)閎-a為正整數(shù)，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。
24．（2011·陜西高考理科·T19）
29、（本小題滿(mǎn)分12分）
如圖，從點(diǎn)P1（0，0）作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)．再?gòu)淖鬏S的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：；；…；，記點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．
（Ⅰ）試求與的關(guān)系（）；
（Ⅱ）求．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后再求切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）嘗試求出通項(xiàng)的表達(dá)式，然后再求和．
【精講精析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，∵，∴，
∴，在點(diǎn)處的切線方程是，
令，則（）．
（Ⅱ）∵，，∴，
∴，于是有
，即．
25．（2011·陜西高考理科·T21）（本小題滿(mǎn)分14分）
設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)，．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間
30、和最小值；
（Ⅱ）討論與的大小關(guān)系；
（Ⅲ）是否存在，使得對(duì)任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（Ⅱ）作差法比較，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負(fù)；（Ⅲ）存在性問(wèn)題通常采用假設(shè)存在，然后進(jìn)行求解；注意利用前兩問(wèn)的結(jié)論．
【精講精析】（Ⅰ）∵，∴（為常數(shù)），又∵，所以，即，
∴；，
∴，令，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，故區(qū)間在是函數(shù)的增區(qū)間；
所以是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而
31、是最小值點(diǎn)，
所以的最小值是．
（Ⅱ），設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，，
因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，=0，∴；
當(dāng)時(shí)，=0，∴．
（Ⅲ）滿(mǎn)足條件的不存在．證明如下：
證法一 假設(shè)存在，使對(duì)任意成立，
即對(duì)任意有 ①
但對(duì)上述的，取時(shí)，有，這與①左邊的不等式矛盾，
因此不存在，使對(duì)任意成立．
證法二 假設(shè)存在，使對(duì)任意成立，
由（Ⅰ）知，的最小值是，
又因?yàn)?，而時(shí)，的值域?yàn)椋?
∴當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?
從而可以取一個(gè)值，使，即,
∴，這與假設(shè)矛盾．
∴不存在，使對(duì)任意成立．
26.（2011·陜西高考文科·T21）（本小
32、題滿(mǎn)分14分）
設(shè)，．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）討論與的大小關(guān)系；
（Ⅲ）求的取值范圍，使得＜對(duì)任意＞0成立．
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）先求出原函數(shù)，再求得，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（Ⅱ）作差法比較，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負(fù)；（Ⅲ）對(duì)任意＞0成立的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問(wèn)題．
【精講精析】（Ⅰ）由題設(shè)知，
∴令0得=1，
當(dāng)∈（0，1）時(shí)，＜0，是減函數(shù)，故（0，1）是的單調(diào)減區(qū)間。
當(dāng)∈（1，+∞）時(shí)，＞0，是增函數(shù)，故（1，+∞）是的單調(diào)遞增區(qū)間，因此，=1是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)
33、，從而是最小值點(diǎn)，
所以的最小值為
(Ⅱ)
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，
因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，
即
（Ⅲ）由（Ⅰ）知的最小值為1，所以，
，對(duì)任意，成立
即從而得．
27．（2011.天津高考理科.T19.）已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：存在，使；
（Ⅲ）若存在均屬于區(qū)間的，且，使，證明
【思路點(diǎn)撥】（1）由導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)，任取，利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明在；
（3） 利用（1）的結(jié)論，尋找的不等關(guān)系分離出。
【精講精析】 （I）【解析】， 令
當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：
34、
+
0
-
極大值
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是
（II）證明：當(dāng) 由（I）知在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增， 在內(nèi)單調(diào)遞減.。令由于在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，故取所以存在即存在
（說(shuō)明：的取法不唯一，只要滿(mǎn)足即可）
（III）證明：由及（I）的結(jié)論知，
從而上的最小值為又由，知
故
從而
28.（2011·浙江高考理科·Ｔ22）（本題滿(mǎn)分14分）設(shè)函數(shù)＝，∈R
（Ⅰ）若＝為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意的∈（0,3]，恒有≤4成立
注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】（１）利用是極值點(diǎn)的必要條件，注
35、意解出值要進(jìn)行檢驗(yàn)；
（２）恒成立問(wèn)題，時(shí)顯然滿(mǎn)足題意，時(shí)只需≤4．此題主要考查了函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類(lèi)討論等分析解決問(wèn)題的能力.
【精講精析】
（Ⅰ）解：求導(dǎo)得 =2(-a)+=()(2ln x+1-). 因?yàn)閤=e是f(x)的極值點(diǎn)，所以= ，解得 或，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以 或。
（Ⅱ）解：①當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù),恒有成立，
②當(dāng)，由題意，首先有，
解得
由（Ⅰ）知，
令 ，則，，
且
36、 =。
又在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為，則，。
從而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即 在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。所以要使對(duì)
恒成立，只要
成立。
，知
（3）
將（3）代入（1）得，又，注意到函數(shù)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，故。
再由（3）以及函數(shù)2xlnx+x在（1, +∞)內(nèi)單調(diào)遞增，可得。
由（2）解得，。
所以
綜上，的取值范圍為.
29.（2011·浙江高考文科·Ｔ21）(本題滿(mǎn)分15分)設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）求所
37、有的實(shí)數(shù)，使對(duì)恒成立.
注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
【思路點(diǎn)撥】（1）題中直接由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)確定其單調(diào)區(qū)間；（2）題中為不等式恒成立問(wèn)題，只需．
【精講精析】
(Ⅰ）解：因?yàn)椋渲校?
所以.
由于，所以的增區(qū)間為（0，）,減區(qū)間為（,+∞）
（Ⅱ）證明：由題意得， ，即
由（Ⅰ）知在[1,e]內(nèi)單調(diào)遞增，
要使對(duì)恒成立，
只要
解得．
30.（2011天津高考文科T19.）已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求
38、的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）證明：對(duì)任意的在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)
【思路點(diǎn)撥】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2） 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；
（3） 對(duì)分區(qū)間討論函數(shù)零點(diǎn).
【精講精析】
（Ⅰ）【解析】當(dāng)時(shí)，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
（Ⅱ）【解析】，令，解得
因?yàn)?，以下分兩種情況討論：
（1）若變化時(shí)，的變化情況如下表：
+
-
+
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）若，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
+
-
+
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)的單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論：
（1）當(dāng)時(shí)，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
所以對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn).
若
所以?xún)?nèi)存在零點(diǎn).
所以?xún)?nèi)存在零點(diǎn).
所以，對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn).
綜上，對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn).
（2）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，若若
所以?xún)?nèi)存在零點(diǎn)。
若.
所以?xún)?nèi)存在零點(diǎn)。
所以，對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。
綜上，對(duì)任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。
2011年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)10導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例
