《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破18 排列、組合、二項(xiàng)式定理與概率 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破18 排列、組合、二項(xiàng)式定理與概率 理（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、問題18　排列、組合、二項(xiàng)式定理與概率 1．(2012·浙江)若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．60種 B．63種 C．65種 D．66種 答案： D　[對(duì)于4個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，可分三類，即4個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，2個(gè)數(shù)為偶數(shù)2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，4個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，因此共有C＋CC＋C＝66種．] 2．(2012·山東)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能全是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為(　　)． A．232 B．2

2、52 C．472 D．484 答案：C　[若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有C×C×C＝64種，若2張同色，則有C×C×C×C＝144種；若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有C×C×C×C＝192種，剩余2張同色，則有C×C×C＝72種，所以共有64＋144＋192＋72＝472種不同的取法．故選C.] 3．(2012·遼寧)在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32 cm2的概率為(　　)． A. B. C. D. 答案：C　[設(shè)出AC的長(zhǎng)度，先利用矩形面積小于32 cm2求出A

3、C長(zhǎng)度的范圍，再利用幾何概型的概率公式求解．設(shè)AC＝x cm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面積小于32 cm2即為x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，故所求概率為＝.] 4．(2012·廣東)6的展開式中x3的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)． 解析　由6的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展開式中x3的系數(shù)為C＝＝20. 答案　20 排列、組合與二項(xiàng)式定理每年交替考查，主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，難度中等或稍易．考查古典概型時(shí)，常以排列組合為工具，考查概率的計(jì)算． 由于這部分內(nèi)容概

4、念性強(qiáng)，抽象性強(qiáng)，思維方法新穎，因此備考時(shí)：①要讀懂題意，明確解題的突破口，選擇合理簡(jiǎn)潔的標(biāo)準(zhǔn)處理事件；②要牢記排列數(shù)、組合數(shù)、二項(xiàng)展開式公式；③排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具，在復(fù)習(xí)概率時(shí)要抓住概率計(jì)算的核心和這個(gè)工具. 必備知識(shí) 排列、組合 (1)排列數(shù)公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A＝，A＝n！，0?。?(n∈N*，m∈N*，m≤n)． (2)組合數(shù)公式及性質(zhì) C＝＝， C＝，C＝1，C＝C，C＝C＋C. 二項(xiàng)式定理 (1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*)． 通項(xiàng)(展開式的第r＋1

5、項(xiàng))：Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1，…，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)． (2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) ①在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即 C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C. ②二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即 C＋C＋C＋…＋C＝2n. ③二項(xiàng)式展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. (3)賦值法解二項(xiàng)式定理有關(guān)問題，如 3n＝(1＋2)n＝C＋C·21＋C·22＋…＋C·2n等． 古典概型 (1)P(A)＝＝ (2)求古典概型概率的方法和步驟 ①反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信

6、息，理解題意． ②判斷試驗(yàn)是否為等可能性事件，并用字母表示所求事件． ③利用列舉法或排列組合知識(shí)計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m. ④計(jì)算事件中A的概率P(A)＝. 必備方法 1．解排列、組合問題應(yīng)遵循的原則：先特殊后一般，先選后排，先分類后分步． 2．解排列、組合問題的常用策略： a．相鄰問題捆綁法；b.不相鄰問題插空法；c.多排問題單排法；d.定序問題倍縮法；e.多元問題分類法；f.有序分配問題分步法；g.交叉問題集合法；h.至少或至多問題間接法；i.選排問題先取后排法；j.局部與整體問題排除法；k.復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化法． 3．二項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)和差可以通過對(duì)二

7、項(xiàng)式展開式兩端字母的賦值進(jìn)行解決，如(1＋x)n展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和就是展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，只要令x＝1即得，而(1－x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和，直接令x＝－1，這樣就不難類比得到(1＋ax)n展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的和為(1＋|a|)n. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 以實(shí)際生產(chǎn)、生活為背景的排列、組合問題是近幾年的?？純?nèi)容，解題時(shí)要先將問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題后再求解．題目多為中低檔題，為后面學(xué)習(xí)概率做基礎(chǔ)． 【例1】? 某城市舉行奧運(yùn)火炬接力傳遞活動(dòng)，傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒只

8、能從甲、乙兩 人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有________種．(用數(shù)字作答) [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 按照第一棒是否為甲、乙分兩類求解． 解析　按照第一棒是否為甲，乙，可分為兩類： ①第一棒是丙，則第六棒的安排有C種，中間4棒剩余4人全排列，故不同的安排方法有C·C·A＝48種； ②第一棒是甲，乙中一人，則第一棒的安排有C種，最后一棒則只能安排甲，乙中不跑第一棒的一人，中間4棒剩余4人全排列，礦不同的安排方法有C·C·A＝48種． 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可得不同的方案共有48＋48＝96種． 答案　96 對(duì)于排列、組合的綜合題目，一般是將符合要求的

9、元素取出或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列，即一般策略為先組合后排列．分組時(shí)，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)． 【突破訓(xùn)練1】 由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字，且1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是(　　)． A．72 B．96 C．108 D．144 答案： C　[從2,4,6三個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，有C種方法，將其余兩個(gè)偶數(shù)全排列，有A種排法，當(dāng)1,3不相鄰且不與5相鄰時(shí)有A種方法，當(dāng)1,3相鄰且不與5相鄰時(shí)有A·A種方法，故滿足題意的偶數(shù)個(gè)數(shù)有C·A(A＋A·A)＝108.] 求二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)、特定項(xiàng)、二項(xiàng)式或項(xiàng)的系

10、數(shù)，常以選擇、填空題形式考查，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用有時(shí)也在數(shù)列壓軸題中出現(xiàn)，主要是利用二項(xiàng)式定理及不等式放縮法證明不等式．　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2011·安徽)設(shè)(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________. [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 由Tr＋1＝Cx21－r(－1)r求解． 解析　Tr＋1＝Cx21－r(－1)r，∴a10＝C(－1)11，a11＝C(－1)10， ∴a10＋a11＝－C＋C＝－C＋C＝0. 答案　0 1.利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解時(shí)，注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的

11、區(qū)別． 2．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用不僅要注重它的“正用”，而且重視它的“逆用”；還要注意特殊值法的使用． 【突破訓(xùn)練2】 若n展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(　　)． A．360 B．180 C．90 D．45 答案： B　[依題意知：n＝10， ∴Tr＋1＝C()10－rr＝C2r·x5－r， 令5－r＝0得：r＝2，∴常數(shù)項(xiàng)為：C22＝180.] 對(duì)于古典概型的考查常將等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等多種事件交匯在一起進(jìn)行考查，是高考考查的重點(diǎn)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? (2012·天津六校三模)盒內(nèi)有大小相同的9

12、個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球，規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得－1分．現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球． (1)求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率； (2)求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] (1)間接法求概率；(2)用組合知識(shí)求概率． 解　(1)P＝1－＝. (2)記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事件B，“取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為事件C，則P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝. 有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與

13、排列、組合的相關(guān)知識(shí)．對(duì)于較復(fù)雜的題目，要注意正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏． 【突破訓(xùn)練3】 有編號(hào)為A1，A2，…，A10的10個(gè)零件，測(cè)量其直徑(單位：cm)，得到下面數(shù)據(jù)： 編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 直徑 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品． (1)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率； (2)從一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè)． (ⅰ)用零件的編號(hào)列出所有可能的抽

14、取結(jié)果； (ⅱ)求這2個(gè)零件直徑相等的概率． 解　(1)由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個(gè)．設(shè)“從10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為事件A，則P(A)＝＝. (2)(ⅰ)一等品零件的編號(hào)為A1，A2，A3，A4，A5，A6.從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15種． (ⅱ)“從一等品零件中，隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”(記為

15、事件B)的所有可能結(jié)果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6種． 所以P(B)＝＝. 防范二項(xiàng)式展開式中的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn)1：二項(xiàng)式(a＋b)n展開式的通項(xiàng)中，因a與b的順序顛倒而容易出錯(cuò) 【示例1】? (2012·江蘇蘇北四市調(diào)研)n展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162，則x的一次項(xiàng)系數(shù)為________． 解析　據(jù)題意有：C22－＝162，即2n(n－1)＋2n＝162.∴n＝9. 則Tr＋1＝C()9－rr＝C(－2)rx－. 由－＝1，∴r＝3. ∴T4＝(－1)3·23·Cx＝－672x.

16、 答案?。?72 老師叮嚀：若與的順序顛倒，項(xiàng)隨之發(fā)生變化，導(dǎo)致出錯(cuò)．一般地，二項(xiàng)式(a＋b)n與(b＋a)n的通項(xiàng)公式不同，對(duì)應(yīng)項(xiàng)也不相同，在遇到類似問題時(shí)，要注意區(qū)分． 【試一試1】 已知(1＋3x)n的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于120，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為________． 解析　由已知得C＋C＋C＝121，則n(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15，所以，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8. 答案　T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8 易錯(cuò)點(diǎn)2：二項(xiàng)式展開中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的概念掌握不清，容

17、易混淆，導(dǎo)致出錯(cuò) 【示例2】? (2012·山東青島一模)如果n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是(　　)． A．7 B．－7 C．21 D．－21 解析　當(dāng)x＝1時(shí)，n＝2n＝128，∴n＝7， 即7，根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式得 Tr＋1＝C(3x)7－r(－1)rr＝C37－r(－1)rx7－r. ∴7－r＝－3，r＝6時(shí)對(duì)應(yīng)，即 T6＋1＝C37－6(－1)6＝7×3×＝.故項(xiàng)系數(shù)為21. 答案　C 老師叮嚀：展開式中\(zhòng)f(1,x3)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C＝7，項(xiàng)的系數(shù)為21，因此在解此類問題時(shí)，須注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系. 【試一試2】 5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為(　　)． A．－40 B．－20 C．20 D．40 答案： D　[因?yàn)檎归_式各項(xiàng)系數(shù)和為2，所以取x＝1得： (1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1. 二項(xiàng)式即為：5，它的展開式的常數(shù)項(xiàng)為： xC(2x)23＋C(2x)32＝4C＝40.]