《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 不等式2 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 不等式2 理（32頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、不等式 發(fā)揮經(jīng)典價值　提高復習效率 何為數(shù)學經(jīng)典題目？數(shù)學經(jīng)典題目就是經(jīng)過歷史選擇出來的最有價值的經(jīng)久不衰的題目 。每個經(jīng)典題目，都經(jīng)得起人們的拷問和時間的考驗；每個經(jīng)典題目，總是蘊含著某種重要的數(shù)學思想和方法；每個經(jīng)典題目，總有其獨特的教育價值和教學功能；每個經(jīng)典題目，都能穿越時間的深度和厚度而又最終超越時間經(jīng)久彌新、與時俱進。數(shù)學教科書上的例習題有不少題目堪當經(jīng)典，本文以其中一道經(jīng)典題目為例，說明經(jīng)典題目在復習教學中的潛能挖掘與應用，以期拋磚引玉。 ? 題目? 已知，且，求證。 ? 本題目是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修不等式選講人教版第十頁習題第11題。這是一道經(jīng)典的

2、條件不等式證明題，解題入口寬、方法多樣，對本題進行一題多解訓練，可達到舉一反三觸類旁通，解讀一題溝通一片以點帶面的復習效果。 ? 證法1（配方法）因為，所以， 所以 ， 所以，當且僅當且且，即時等號成立。 ? 點評? 本解法先消元，將表示成只含的二次式，并將此式當作是以為主元的二次三項式進行配方，再將配方后余下的部分再次配方，然后用實數(shù)平方的非負性，從而使問題得到解決。 ? 證法2（構造二次函數(shù)）因為，所以， 于是， 故當時，最小，此時， 所以， 所以，當且僅當時等號成立。 ? 點評? 本解法通過構造函數(shù)將不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。先消元，將表示成只含的

3、二次式，然后選為主元，將此式當作是含有參數(shù)的以為自變量的二次函數(shù)，求出的最小值，的最小值就是的最小值，從而使問題獲解。 ? 證法3（用重要不等式）因為 ， 所以，當且僅當時等號成立。 ? 點評? 將已知等式兩邊平方是運用重要不等式的關鍵。 ? 證法4（用等號成立的條件構造平方和）由所證不等式等號成立的條件得，， 即，所以，當且僅當時等號成立。 ? 證法5（用等號成立的條件構造配偶不等式）由所證不等式等號成立的條件可構造如下不等式：，，，三式相加得，，所以，當且僅當時等號成立。 ? 點評? 證法4和證法5注意到等號成立的條件是問題獲得簡解的關鍵之所在。 ? 證法6（

4、用柯西不等式）由三元柯西不等式得，即。 ? 證法7（用向量數(shù)量積不等式）構造向量，，由向量數(shù)量積不等式得，，即，當且僅當時等號成立。 ? 證法8（利用直線與圓有公共點解題）把當作參數(shù)當作變量，則即可看作是直角坐標系下的一條直線的方程，設則，此方程可看作是圓心是坐標原點半徑為的圓的方程。因為這兩個方程所組成的方程組有解，所以直線與圓有公共點，故圓心到直線的距離不大于半徑。故，即有解，所以，解得則，即。 ? 點評? 本解法需要有方程思想、數(shù)形結合思想和化歸意識，化靜為動，動中求靜。根據(jù)“方程組有解，則直線與圓有公共點，從而直線到圓心的距離不大于半徑”列不等式，進而使問題得以解決。 ?

5、 證法9（三角換元法）設則，設。由得，所以，由正弦函數(shù)的有界性得，兩邊平方解得，故。 ? 證法10（構造概率模型）設隨機變量取值為時的概率均為，因為，所以，所以，即，當且僅當時等號成立。 ? 證法11（用琴生不等式）構造函數(shù)，因為是上的凹函數(shù)，由琴生不等式得，，即，所以，當且僅當時等號成立。 ? 證法12（用點面距離公式）可看作是空間直角坐標系下的一個平面的方程，可看作是這個平面內(nèi)任意一點到原點O的距離的平方，由垂線段最短知，當OP與平面垂直時，OP最短從而最小，由點面距離公式得點O到平面的的距離為：，所以，即。 ? 凹凸函數(shù)、琴生不等式是高等數(shù)學的內(nèi)容，但與初等函數(shù)關系密切

6、，是初等數(shù)學與高等數(shù)學的銜接處，點面距離公式是大學空間解析幾何的內(nèi)容，但可當作是平面解析幾何點線距離公式在空間的一個類比拓廣，這些知識可開闊學生的視野，類比推理有利于發(fā)現(xiàn)新知識和數(shù)學思想方法的遷移。 ? 以上從十二個不同的角度來思考解決一個經(jīng)典不等式的證明問題，消元法、配方法、構造法，函數(shù)和方程思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結合思想都是高中數(shù)學重要的數(shù)學思想方法，在以上十二種解法中體現(xiàn)得淋漓盡致。一題多解有利于培養(yǎng)發(fā)散思維、求異思維和綜合運用多種知識解決問題的能力，有利于拓寬解題思路，有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。發(fā)揮經(jīng)典以一當十，解析一題復習一片。對二元一次不等式確定平面區(qū)域的探究 湖北省陽新

7、縣高級中學 鄒生書 　　人教版高二數(shù)學第二冊（上）二元一次不等式確定平面區(qū)域?qū)儆谛略鰞?nèi)容，大綱要求是：了解二元一課次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式（組）。筆者對這部內(nèi)容作了一些研究，本文將得出的重要結論及其在解題中的應用與大家進行交流，希望能對這節(jié)內(nèi)容的教學和學習有所幫助。 　　命題1：已知二元一次函數(shù) ①點P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0上 ②若B≠0，則有 點P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0上方 點P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0下方 ③若A≠0，則有 點P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0右方 點P1（x1,y1）在

8、直線Ax+By+C=0左方 分析：①易證，②、③證法類似，下面對②進行證明。 證明：②當B≠0，直線把坐標平面分成上、下兩個半平面. 設P1（x1,y1）是坐標平面內(nèi)不在l上的任意一點,作直線x=x1交l于點P0，設P0的坐標為(x1,y0). ∵ 點???? ∴ ∴ 即?? 由此可知 點 點 根據(jù)這個命題不難得出直線l同側上的兩個點對應的二元函數(shù)的值符號相同，異側上的兩個點對應的二元函數(shù)值符號相反，即有如下結論： 命題2：已知二元一次函數(shù) ①點在直線 ②點在直線 　　應用舉例： 1、快速準確地確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域. 例1：（人教版高二數(shù)學第

9、二冊第64頁例1）畫出不等式表示的平面區(qū)域. 解法1：異號，由命題1知不等式表示直線下方的平面區(qū)域，如圖所示 解法2：異號，由命題1知不等式表示直線左方的平面區(qū)域，如圖所示 小結：二元一次不等式確定平面區(qū)域的方法： ①點判別法：直線定邊界，一點定區(qū)域，合則在，不合則不在； ②B符號判別法：直線定邊界，符號定區(qū)域，同上異下； ③A符號判別法：直線定邊界，符號定區(qū)域，同右異左. 由例1可知，教材采用點判別法，需要取點，計算函數(shù)值，判斷點與直線的位置關系再確定平面區(qū)域，而符號判別法只需由A（或B）的符號與不等式的符號的異同直接確定平面區(qū)域，相比之下顯得快速準確、實用. 2、巧妙簡

10、捷地求方程含有參數(shù)的直線與已知線段相交時參數(shù)的取值范圍. 例2：直線為端點的線段相交，則k的取值范圍是_______. 分析：這是一道一題多解的好題，但有的解法運算量大，有的解法容易出錯，若用命題2的結論可輕而易舉地得出正確結果，解法如下： 解：設 直線 　　練習題： 1、表示圖中陰影部分的平面區(qū)域內(nèi)的點（x,y）所滿足的約束件是_________. 2、直線在第一象限，則k的取值范圍是_______. 答案：1、???? 2、 錯解剖析得真知（十四）不等式的應用 一、基礎知識導學 ? 1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R+，那么. 2.求函數(shù)定義

11、域、值域、方程的有解性、判斷函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，確定參數(shù)的取值范圍等.這些問題一般轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組，或證明不等式. 3.涉及不等式知識解決的實際應用問題，這些問題大體分為兩類：一是建立不等式解不等式；二是建立函數(shù)式求最大值或最小值. ? 二、疑難知識導析 ? 不等式既屬數(shù)學的基礎知識，又是解決數(shù)學問題的重要工具，在解決函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、恒成立問題、方程根的分布、參數(shù)范圍的確定、曲線位置關系的討論、解析幾何、立體幾何中的最值等問題中有廣泛的應用，特別是近幾年來，高考試題帶動了一大批實際應用題問世，其特點是： 1．問題的背景是人們關心的社會熱點問題，如“物價、稅收、銷

12、售收入、市場信息”等，題目往往篇幅較長. 2．函數(shù)模型除了常見的“正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)”等標準形式外，又出現(xiàn)了以“函數(shù)” 為模型的新的形式. ? 三　經(jīng)典例題導講 ? [例1]求y=的最小值. 錯解： y=＝2 y的最小值為2. 錯因：等號取不到，利用均值定理求最值時“正、定、等”這三個條件缺一不可. 正解：令t=,則t,于是y= 由于當t時，y=是遞增的，故當t＝2即x=0時，y取最小值. [例2]m為何值時，方程x2+(2m+1)x+m2－3=0有兩個正根. 錯解：由根與系數(shù)的關系得，因此當時

13、，原方程有兩個正根. 錯因：忽視了一元二次方程有實根的條件，即判別式大于等于0. 正解：由題意： 因此當時，原方程有兩個正根. [例3]若正數(shù)x，y滿足，求xy的最大值． 解：由于x，y為正數(shù)，則6x，5y也是正數(shù)，所以 當且僅當6x=5y時，取“=”號． 因，則，即，所以的最大值為. [例4]?已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值． 分析：經(jīng)過審題可以看出，長方體的全面積S是定值．因此最大值一定要用S來表示．首要問題是列出函數(shù)關系式．設長方體體積為y，其長、寬、高分別為a，b，c，則y=abc．由于a+b+c

14、不是定值，所以肯定要對函數(shù)式進行變形．可以利用平均值定理先求出y2的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來了． 解：設長方體的體積為y，長、寬、高分別是為a，b，c，則 y=abc，2ab+2bc+2ac=S． 而 y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac） 當且僅當ab=bc=ac，即a=b=c時，上式取“=”號，y2有最小值 答：長方體的長、寬、高都等于時體積的最大值為. 說明：對應用問題的處理，要把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，列好函數(shù)關系式是求解問題的關健. ? 四、典型習題導練 ? 1.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果

15、池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 2.證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大. 3.在四面體P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱長的和為m，求這個四面體體積的最大值． 4. 設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相 交，試證明對一切R都有. 5．青工小李需制作一批容積為V的圓錐形漏斗，欲使其用料最省，問漏斗高與漏斗底面半徑應具有怎樣的比例？ 6．輪船每小時使用燃料費用(單位：元)和輪船速度

16、(單位：海里／時)的立方成正比．已知某輪船的最大船速是18海里／時，當速度是10海里／時時，它的燃料費用是每小時30元，其余費用(不論速度如何)都是每小時480元，如果甲、乙兩地相距1000海里，求輪船從甲地行駛到乙地，所需的總費用與船速的函數(shù)關系，并問船速為多少時，總費用最低？ 尋求二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的方法 簡單線性規(guī)劃問題是高考必考知識點，而其基礎在于研究二元一次不等式（組）所對應的平面區(qū)域．下面介紹一些方法來快速準確地確定二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域． ? 方法一：直線定界，特殊點定域 找出一個二元一次不等式（組）在平面直角坐標系內(nèi)所表示的平面

17、區(qū)域的基本方法是： ①畫直線②取特殊點③代值定域④求公共部分 ①畫直線──作出各不等式對應方程表示的直線（原不等式帶等號的作實線，否則作虛線）； ②取特殊點──平面直角坐標系內(nèi)的直線要么過原點，要么不過原點；當直線過原點時我們選取特殊點或（坐標軸上的點），當直線不過原點時我們選取原點做特殊點； ③代值定域──將選取的特殊點代入所給不等式：如果不等式成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點所在的區(qū)域；如果不等式不成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點所在區(qū)域的另一邊． ④求公共部分──不等式組所確定的平面區(qū)域，是各個二元一次不等式所表示平面區(qū)域的公共部分． 例1　畫出不等式組所

18、表示的平面區(qū)域． 解析：①畫直線：不等式對應的直線方程是；不等式對應的直線方程是；在平面直角坐標系中作出直線與（如圖）． ? ? ?? ? ②取特殊點：直線過原點，可取特殊點；直線不過原點，可取特殊點． ? ③將代入，即，不等式不成立，直線另一側區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域；將代入，即，不等式成立，則原點所在區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域．（圖一） ? ④求公共部分：如圖二所示公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域． ? 方法二：法向量判定法 由平面解析幾何知識知道直線（不同時為0）的一個法向量為．以坐標原點作為法向量的始點，可以利用向量內(nèi)積證明如下結論： （1）不等

19、式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量指向的區(qū)域；（大于同向） （2）不等式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量反向的區(qū)域；（小于反向） ? 例2　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域．? 解析：①不等式對應的直線方程是，法向量；不等式對應的直線方程是，法向量；在平面直角坐標系中作出直線與及其相應的法向量（如圖）． ? ? ?? ? ②由于不等式（），平面區(qū)域是法向量指向的區(qū)域（圖一）；不等式（），平面區(qū)域是法向量反向的區(qū)域（圖二）． ? ③然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域． 方法三：未知數(shù)系數(shù)化正法 直線（不同時為0）含有兩個未知數(shù)，于是我們可以將未知數(shù)的系數(shù)分為

20、兩類：項系數(shù)與項系數(shù)來研究． （1）項系數(shù)化正法：顧名思義就是利用不等式性質(zhì)，不等號兩邊同時（移項）將項系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關于的不等式中的不等號來確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域為直線的上方；反之為下方）有結論： 項系數(shù)正值化：上；下． 例3　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域． ? 解析：①不等式對應的直線方程是；不等式對應的直線方程是；在平面直角坐標系中作出直線與（如圖）． ? ?? ? ②將不等式組中每個不等式項系數(shù)正值化，得或（移項）． ③關于的不等式（）即（或者），直線上方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域（圖一）；關于的不等式（）即，直線下方的區(qū)域就是

21、該不等式所表示的平面區(qū)域（圖二）． ? ④然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域． （2）項系數(shù)化正法：同（1）一樣，不等號兩邊同時（或移項）將項系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關于的不等式中的不等號來確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域為直線的右方；反之為左方）有結論： 項系數(shù)正值化：右；左． 可結合例3來對項系數(shù)化正法進行理解． 上述方法中，方法一是尋找二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的常規(guī)方法，思維回路較長，適合對理論的學習，但要快速準確地解決簡單的線性規(guī)劃問題就必須掌握方法二或方法三中之一． 目標函數(shù)幾何意義在變化 線性規(guī)劃是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它是本質(zhì)是“以形

22、助數(shù)”即主要利用形的直觀性來解決問題．由于目標函數(shù)在不斷地變動，呈現(xiàn)出多樣性和隱蔽性，所以我們要認真研究目標函數(shù)的幾何意義，使目標函數(shù)具體化和明朗化．下面舉例說明： ? 一、目標距離化． ? 例1．已知實數(shù)x，y滿足,則的最大值是?????????? ? 分析，目標函數(shù)的幾何意義是表示可行域內(nèi)的點到點（1，1）的距離的平方，畫出可行域可求得 ? 解：如圖，作出可行域，則可知行域內(nèi)點（4，1）到可點（1，1）的距離最大，從圖形中可只是3，故． ? ? 例2．已知實數(shù)滿足，求的最大值． ? 分析：這個目標函數(shù)就顯得有點“隱蔽”了，注意到目標函數(shù)有個絕對值符號，聯(lián)想到

23、點到直線的距離公式的結構特點，那么就可順利解決了．，也是說表示為可行域內(nèi)的點到直線距離的倍． ? 解：作出可行域，（如上圖）可知可行域內(nèi)的點（7，9）到直線的距離最大，所以 ? 二、目標角度化． ? 已知為直角坐標系原點，的坐標均滿足不等式組，則的最小值等于????????? ． ? ? ? ? 分析：作出相應的可行域，可知越大，則越小，所以可知在（1，7）（4，3）此時與原點O的張角最大 ? 解：畫出可行域，不失一般性，不妨設P（1，7），Q（4，3）；則，，則，所以． ? 三、目標斜率化． ? 例4．已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是_____.

24、? 分析，觀察的結構特征，令人想到平面內(nèi)的兩點間的斜率公式，可得表示可行域內(nèi)的點與原點之間的斜率，結個可行域可得其取值范圍是，具體的過程留給聰明的讀者． ? 四、目標投影化． ? 例5．已知點（O為原點）的最大值為????????????? ． ? ? 分析：這個目標函數(shù)更為隱蔽了，表示的是是方向上的投影． ? 解：作出可行域，則可知P（5，2），則=（5，2），則在上的投影是PQ，可看作點P到直線是距離 ? 五、目標面積化． ? 例6已知實數(shù)滿足，求的最大值． ? 分析：表示可行域內(nèi)的點（正好在第一象限）到兩坐標軸距離的乘積的兩倍，即過該點作兩坐標軸的垂

25、線，長線段與兩坐標軸所圍成的面積的2倍，可知當時取得最大值，最大值是 ? 同學們應該知道目標函數(shù)是直線的截距的這種類型的基礎上，還要知道距離、投影、斜率、角度、面積等幾種常見的形式．這樣我們的在解決線性規(guī)劃問題上才能心中有“形”．下面提供部分習題請同學們完成． ? （1）若函數(shù)是定義在上的函數(shù)，則函數(shù)的值域是（??? ） ? ??????????????????????????????? A．???????????? B．?????????? C．?? D． ? （2）約束條件，目標函數(shù)的最小值是??????????? ? （3）已知（是坐標原點）的最大值為???????

26、??? ? 答案：（1）D??? （2）? 0?????? （3）5 錯解剖析得真知（十三）簡單的線性規(guī)劃 ? 一、知識導學 ? 1. 目標函數(shù): Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一個含有兩個變 量 ｘ 和ｙ 的 函數(shù)，稱為目標函數(shù)． 2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域. 3. 整點:坐標為整數(shù)的點叫做整點． 4.線性規(guī)劃問題:求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題．只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決． 5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃． ? 二、疑難知識導析 ? 線性規(guī)劃是一門研究如何

27、使用最少的人力、物力和財力去最優(yōu)地完成科學研究、工業(yè)設計、經(jīng)濟管理中實際問題的專門學科.主要在以下兩類問題中得到應用：一是在人力、物力、財務等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給一項任務，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務. 1.對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線． 2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點法”：任選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標是否滿足所給的不等式，若適合，則該點所在的一側即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側為所求的平面區(qū)域．若直 線 不 過 原點，通 常 選 擇 原 點 代入

28、檢驗． 3. 平 移 直 線 ｙ＝－kｘ ＋Ｐ時，直線必須經(jīng)過可行域． 4.對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點． 5.簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解. ? 三、經(jīng)典例題導講 ? [例1] ．畫出不等式組表示的平面區(qū)域. 錯解：如圖（1）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.

29、 錯因一是實虛線不清，二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯了. 正解：如圖（2）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域. ? ?[例2] 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范圍. 錯解：由于　1x－y2　?、? 2x+y4　　?、? ①+② 得32x6???? ③ ①×(－1)+② 得：02y3? ④. ③×2+④×(－1)得. 34x－2y12 錯因：可行域范圍擴大了. 正解：線性約束條件是： 令z＝4x－2y， 畫出可行域如圖所示， 由得A點坐標（1.5，0.5）此時z＝4×1.5－2×0.5＝5. 由得B點坐標（3，1）此時z＝4×3－2×1＝1

30、0. ? 54x－2y10 ? ?[例3] 已知,求x2+y2的最值. 錯解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界）， 令z= x2+y2 由得A點坐標（4，1）， 此時z＝x2+y2＝42+12＝17， 由得B點坐標（－1，－6）， 此時z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37， 由得C點坐標（－3，2）， 此時z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13， ? 當時x2+y2取得最大值37，當時x2+y2取得最小值13. 錯因：誤將求可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方的最值誤認為是求三點A、B、C到原點的距離的平方的最值. 正解：不等式組表示的平面

31、區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界）， 令z= x2+y2,則z即為點（x，y）到原點的距離的平方. 由得A點坐標（4，1）， 此時z＝x2+y2＝42+12＝17， 由得B點坐標（－1，－6）， 此時z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37， 由得C點坐標（－3，2）， 此時z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13， 而在原點處，，此時z＝x2+y2＝02+02＝0， ? 當時x2+y2取得最大值37，當時x2+y2取得最小值0. ? [例4]某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)

32、每個書櫥需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤最大？ 分析： 數(shù)據(jù)分析列表 ? 書桌 書櫥 資源限制 木料（m3） 0．1 0．2 90 五合板（m2） 2 1 600 利潤（元/張） 80 120 ? 計劃生產(chǎn)（張） x y ? 設生產(chǎn)書桌x張，書櫥y張，利潤z元，則約束條件為 目標函數(shù)z=80x+120y 作出上可行域： 作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過點A（100，400）時，即

33、合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書桌100張，書櫥400張，有最大利潤為 zmax=80×100+400×120=56000(元) 若只生產(chǎn)書桌，得0

34、每張鋼板的面積，第一種為1m2，第二種為2 m2，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各12、15、27塊，請你們?yōu)樵搹S計劃一下，應該分別截這兩種鋼板多少張，可以得到所需的三種規(guī)格成品，而且使所用鋼板的面積最??？只用第一種鋼板行嗎？ ?? 解：設需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，所用鋼板面積為z m2，則 ??? 目標函數(shù)z=x+2y 作出可行域如圖 作一組平行直線x+2y=t， 由 可得交點， 但點不是可行域內(nèi)的整點，其附近的整點（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20 若只截第一種鋼板，由上可知x≥27，所用鋼板面

35、積最少為z=27(m2);若只截第二種鋼板，則y≥15，最少需要鋼板面積z=2×15=30(m2).它們都比zmin大，因此都不行. 答：略 ?[例6]設，式中滿足條件，求的最大值和最小值. 解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過程知， 當與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個， 當經(jīng)過點時，對應最小，∴，． 說明：1．線性目標函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得； ????? 2．線性目標函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個. ? 四、典型習題導練 ? 1．畫出不等式－+2y－4＜0表示的平面區(qū)域. ?

36、 2．畫出不等式組表示的平面區(qū)域? 3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件 4.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1000元，運費500元，可得產(chǎn)品90千克；若采用乙種原料，每噸成本為1500元，運費400元，可得產(chǎn)品100千克，如果每月原料的總成本不超過6000元，運費不超過2000元，那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？ 5.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8

37、小時和9小時，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？ 6．（06年高考廣東）在約束條件下，當時，目標函數(shù) ?? 的最大值的變化范圍是 ?? A.[6,15]?????????? ?????? B.[7,15] C.[6,8]??????????????????? D.[7,8] ?線性規(guī)劃解法賞析 “最優(yōu)化”問題中的簡單線性規(guī)劃是高考常考知識點，屬于不等式模塊，重點考查學生的動手操作能力。隨著新課程改革的全面施行，現(xiàn)有的人教版教材把不等式內(nèi)容進行了很大程度的推廣和深化。高中數(shù)學的教學，不是把已有的簡單問題復雜

38、化，而是應該在比學生理解掌握的知識水平更低的層次來思考解決問題的方法，讓學生感覺數(shù)學不是高不可攀的。因此，有必要對線性規(guī)劃問題的解法做一下梳理強化，結合例題多策略求解，以便學生參考選擇適合自己的方法。 ? （人教B版）例3 兩個居民小區(qū)的居委會組織本小區(qū)的中學生，利用雙休日去市郊的敬老院參加獻愛心活動，兩個小區(qū)都有同學參加。已知小區(qū)的每位同學往返車費是3元，每人可為5位老人服務；小區(qū)的每位同學往返車費是5元，每人可為3位老人服務。如果要求區(qū)參與活動的同學比區(qū)參與活動的同學多，且去敬老院的往返總車費不超過37元。怎樣安排兩區(qū)參與活動同學的人數(shù)，才能使受到服務的老人最多？受到服務的老人最多是多

39、少？ ? 解：依題意可列表如下： 地區(qū) 往返車費（元） 服務人數(shù)（人） 區(qū) 區(qū) 要求 不超過 ? 設兩區(qū)參與活動的人數(shù)分別為、，則受到服務的老人的人數(shù)為 ? ? 其中滿足下列條件 ? ? 于是問題轉(zhuǎn)化為，在滿足上述約束條件下，求式子的最大值。 ? 【解法一】線定界，點定域，距離確定最優(yōu)解 ? ①在同一坐標系下作約束條件不等式對應的直線：不等式、與對應的直線方程分別為、與；在同一平面直角坐標系中作出直線（實線）、（實線）與（實線）。 ? ②取特殊點確定約束條件表示的可行域：平面直角坐標系中的直線分為過原點和不過原點兩類，不過原

40、點的直線定域取特殊點；過原點的直線定域取特殊點或。 ? ? ③可行域中的點到目標函數(shù)直線的距離確定最優(yōu)解：作出直線：，結合圖中所示可行域，容易看出點到直線的距離最大，若是整點，則是最優(yōu)解。 ? 【解法二】線定界，號定域，距離確定最優(yōu)解 ? ①在同一坐標系下作約束條件不等式對應的直線。（同解法一） ? ②將約束條件中各不等式的項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)：。由下列結論，通過不等號來確定約束條件表示的可行域： ? （或），且，則不等式所表示的平面區(qū)域為直線上方（大于上）； ? （或），且，則不等式所表示的平面區(qū)域為直線下方（小于下）。 ? ③可行域中的點到目標函數(shù)直線的距離確定

41、最優(yōu)解：作出直線：，結合圖中所示可行域，容易看出點到直線的距離最大，若是整點，則是最優(yōu)解。 ? 【解法三】線定界，方向定域，距離確定最優(yōu)解 ? ①在同一坐標系下作約束條件不等式對應的直線。（同解法一） ? ②約束條件化為：，直線（不同時為0）的一個法向量為（設其以坐標原點為始點），由下列結論確定約束條件表示的可行域： ? （或），則不等式所表示的平面區(qū)域為同向（大于同向）； ? （或），則不等式所表示的平面區(qū)域為反向（小于反向）。 ? ③可行域中的點到目標函數(shù)直線的距離確定最優(yōu)解：作出直線：，結合圖中所示可行域，容易看出點到直線的距離最大，若是整點，則是最優(yōu)解。 §5

42、.3 基本不等式的證明 ? 一、知識導學 ? 1.比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數(shù)大小順序和運算性質(zhì)的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法). (1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊

43、差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結論.應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時一般使用差值比較法. (2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大于1或小于1.應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法. 2.綜合法：利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質(zhì)和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出?/p>

44、結論”.即從已知Ａ逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論Ｂ. 3.分析法：是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.用分析法證明書寫的模式是：為了證明命題Ｂ成立，只需證明命題Ｂ1為真，從而有…，這只需證明Ｂ2為真，從而又有…，……這只需證明Ａ為真，而已知Ａ為真，故Ｂ必為真.這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件. 4.反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式Ａ>Ｂ，先假設Ａ≤Ｂ，由題設及其它性質(zhì)，推出矛盾，

45、從而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法. 5.換元法：換元法是對一些結構比較復雜，變量較多，變量之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換，以便簡化原有的結構或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法.主要有兩種換元形式.(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示.此法如果運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題； (2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)

46、式不變)和給定字母順序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ進行換元. ? 二、疑難知識導析 ? 1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向. 2.分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因為它方向明確，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣.但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把“只需證明

47、”等字眼不寫，就成了錯誤.而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程.因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的.如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關系.分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點. 3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件.如果非要“步步可逆”，則

48、限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價命題了.用分析法證明問題時，一定要恰當?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語. 4.反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以導出矛盾. 5.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現(xiàn)錯誤的結果.這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用.　　 ? 三、經(jīng)典例題導講 ? [例1] 已知a>b(ab),比較與的大小. 錯解： a>b(ab)，<. 錯因：簡單的認為大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正確的結論是：當兩數(shù)同號時，大數(shù)

49、的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大. 正解：，又 a>b(ab)， (1)當a、b同號時，即a>b>0或b0,b－a<0, ,<. (2)當a、b異號時，則a>0,b<0, >0,<0>. [例2] 當a、b為兩個不相等的正實數(shù)時，下列各式中最小的是（　?。? A.　　　B.　　　C.　　　D. 錯解：所以選B. 錯因是由于在、、中很容易確定最小，所以易誤選B.而事實上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正確的結論，就需要全面比較，不可遺漏與前三者的大小比較. 正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知選項A、B、C中，最小，而＝，由當ab時，a+b>2,

50、兩端同乘以，可得（a+b）·＞2ab, ＜，因此選D. [例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值. 錯解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8, ∴(a+)2+(b+)2的最小值是8. 錯因：上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的.因此，8不是最小值. 正解：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4 ???????????? = (

51、1－2ab)(1+)+4， 由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17， ∴原式≥×17+4= (當且僅當a=b=時，等號成立)， ∴(a + )2 + (b + )2的最小值是. [例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，試比較的大小. 解法一： ????? ????? ∵0 < 1 - x2 < 1,? ???∴ ????? ∴ 解法二： ????? ????? ∵0 < 1 - x2 < 1, ?1 + x > 1,? ∴ ????? ∴?? ∴ 解法三：∵0 < x < 1,? ∴0 < 1 - x < 1,? 1

52、 < 1 + x < 2, ????? ∴ ????? ∴左 - 右 = ????? ∵0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1? ∴ ????? ∴ ?? [例5]已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd 證：證法一（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正數(shù) ?????????????? ∴要證：xy≥ac + bd ??????????????? ?只需證：(xy)2≥(ac + bd)2 ???????????????? 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2

53、 + 2abcd ???????????????? 展開得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd ???????????????? 即：a2d2 + b2c2≥2abcd???? 由基本不等式，顯然成立 ?????????????? ∴xy≥ac + bd 證法二（綜合法）xy = ???????????????? ≥ 證法三（三角代換法） ????? ∵x2 = a2 + b2，∴不妨設a = xsina,? b = xcosa y2 = c2 + d2??????????????? c = ysinb,? d = yco

54、sb ??????????? ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy [例6] 已知x > 0，求證： 證：構造函數(shù) 則， 設2≤a 0,? ab - 1 > 0,? ab > 0? ∴上式 > 0 ∴f (x)在上單調(diào)遞增，∴左邊 ? 四、典型習題導練 ? 1.比較（a+3）(a－5)與（a+2）（a-4）的大小. 2.已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證： 3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證： 4.若，求證： 5.若x > 1，y > 1，求證： 6．證明：若a > 0，則