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(新課程)2013高中數(shù)學(xué) 《第三章 三角恒等變換》章末質(zhì)量評估 蘇教版必修4

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1、章末質(zhì)量評估(三) (時間:120分鐘 滿分:160分) 一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分) 1.cos2 75°+cos2 15°+cos 75°cos 15°的值為________. 解析 原式=sin2 15°+cos2 15°+sin 15°·cos 15°=1+sin 30°=. 答案  2.sin 45°·cos 15°+cos 225°·sin 15°的值為________. 解析 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45°·sin 15°=sin(45°-15°)=. 答案  3.(2010·高考全國卷Ⅱ)已知sin α=,則c

2、os(π-2α)=________. 解析 cos(π-2α)=-cos 2α=2sin2α-1=2×-1=-. 答案?。? 4.已知tan=,tan=,則tan(α+β)的值為________. 解析 tan ===1. 答案 1 5.已知f(cos x)=cos 2x,則f(sin 15°)=________. 解析 f(cos x)=2cos2 x-1 ∴f(sin 15°)=2sin2 15-1=-cos 30°=- 答案 - 6.若tan α=2,則的值是________. 解析?。剑剑? 答案  7.函數(shù)y=sin x+cos x,x∈的最大值為_____

3、___. 解析 y=sin x+cos x=2sin ∵x∈ ∴x+∈ ∴當(dāng)x+=,即x=時,ymax=2. 答案 2 8.若cos α=-,α是第三象限角,則=________. 解析 === ∵α是第三象限角,∴sin α=-,∴原式=-. 答案?。? 9.已知sin α=,且sin α-cos α>1,則sin 2α=________. 解析 sin α-cos α>1 ∴1-2sin α·cos α>1 ∴sin α·cos α<0 sin α= ∴cos α=- ∴sin 2α=2××=- 答案?。? 10.△ABC中,tan A=-2,tan B=,

4、則C=________. 解析 ∵tan A=-2,tan B= ∴tan(A+B)==-1 ∵tan C=-tan(A+B)=1而C∈(0,π),∴C=. 答案  11.函數(shù)y=的最大值與最小值分別為________. 解析 設(shè)t=sin x+cos x, 則t=sin(-≤t≤),sin xcos x=, 所以y=(t-1)(t≠-1), 所以ymin=-,ymax=. 答案 、 12.若0<α<,-<β<0,cos=,cos-=,則cos=________. 解析 0<α<,∴<α+<π ∵cos= ∴sin=, ∵-<β<0 ∴-∈ ∴sin= ∴c

5、os=cos =cos·cos+sin·sin =×+×=. 答案  13.已知f(α)=,α∈,則f(α)取得最大值時α的值是________. 解析 f(α)== ===sin 2α, 當(dāng)2α=,即α=時,函數(shù)f(α)取得最大值. 答案  14.已知f(x)=sin-cos,則f(1)+f(2)+…+f(2 010)+f(2 011)=________. 解析 ∵f(x)=sin-cos =2sin=2sinx, ∴f(x)的周期T==8. 又f(1)+f(2)+…+f(8)=0, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)+f(2 011) =251×0+f

6、(1)+f(2)+f(3) =2sin+2sin+2sin =+2+=2+2. 答案 2+2 二、解答題(本大題共6小題,共90分) 15.(本小題滿分14分)(1)化簡 ,(0<θ<π). (2)求值-sin 10°. 解 (1)原式= == 因?yàn)?<θ<π,所以0<<,所以cos>0,所以原式=-cos θ. (2)原式=-sin 10° =-sin 10°· =-sin 10°· =-2cos 10°= = = ==. 16.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=cos-cos. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求g(x)=f(-2-x);

7、當(dāng)x∈[0,2]時,求函數(shù)y=g(x)的最大值. 解 (1)f(x)=cosxcos+sinxsin-cos=sinx-cosx=sin. 故f(x)的最小正周期為T==8. (2)由題設(shè)條件得g(x)=f(-2-x)= sin=sin =-cos=-cos. 當(dāng)0≤x≤2時,≤x+≤, 設(shè)t=x+, 則y=-cos t,且t∈[0,π]時是增函數(shù), 因此y=g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為 g(x)max=-cos=. 17.(本小題滿分14分)已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈,且a⊥b. (1)求t

8、an α的值; (2)求cos的值. 解 (1)∵a⊥b,∴a·b=0. 而a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α), 故a·b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0. 由于cos α≠0,∴6tan2α+5tan α-4=0. 解之,得tan α=-,或tan α=. ∵α∈,tan α<0,故tan α=(舍去). ∴tan α=-. (2)∵α∈, ∴∈. 由tan α=-, 求得tan=-或tan=2(舍去). ∴sin=,cos=-, cos=coscos-sinsin =-×-×=-. 18

9、.(本小題滿分16分) 已知函數(shù)f(x)=2sin2-cos 2x. (1)求f(x)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若關(guān)于x的方程f(x)-m=2在x∈上有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解 (1)f(x)=2sin2-cos 2x =1-cos-cos 2x =1+sin 2x-cos 2x =2sin+1, 周期T=π;2kπ-≤2x-≤2kπ+, 解得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)x∈,所以2x-∈, sin∈, 所以f(x)的值域?yàn)閇2,3]. 而f(x)=m+2, 所以m+2∈[2,3], 即m∈[0,1]. 19.(本小題滿分16分)已知函數(shù)

10、f(x)=2sin xcos x+2cos2 x-1(x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值; (2)若f(x0)=,x0∈,求cos 2x0的值. 解 (1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2 x-1,得 f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2 x-1) =sin 2x+cos 2x=2sin, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π. 因?yàn)閒(x)=2sin在區(qū)間上為增函數(shù), 在區(qū)間上為減函數(shù), 又f(0)=1,f=2,f=-1, 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2, 最小值為-1. (2)由(1)可知f(x0)=

11、2sin. 因?yàn)閒(x0)=,所以sin=. 由x0∈, 得2x0+∈, 從而cos=-=-. 所以cos 2x0=cos =coscos+sinsin=. 20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(t)= ,g(x)=cos x·f(sin x)+sin x·f(cos x),x∈. (1)將函數(shù)g(x)化簡成Asin(ωx+φ)+B,(A>0,ω>0),φ∈[0,2π)的形式. (2)求函數(shù)g(x)的值域. 解 (1)g(x)=cos x·+sin x· =cos x·+sin x· =cos x·+sin x·. 因?yàn)閤∈, 所以|cos x|=-cos x,|sin x|=-sin x. 所以g(x)=cos x·+sin x· =sin x+cos x-2=sin-2. (2)由π<x≤, 得<x+≤. 令u=x+,則<u≤. 因?yàn)閟in u在上為減函數(shù), 在上為增函數(shù),又sin<sin, 所以sin≤sin<sin(當(dāng)x∈時 ), 即-1≤sin<-, 所以--2≤sin-2<-3. 故g(x)的值域?yàn)閇--2,-3).

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