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1、1 2 L 2 1 1 1 1 2 L 2 2 2 2 1 2 合 r 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ＝ m 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 5 5 2 1 2 1 1 2 2 微專題 32 雙星或多星模型 1 ．“雙星模型”如圖，各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即  Gm m  ＝m ω 2 r ， Gm m ＝m ω 2r ，其中 r ＋r ＝L.2.“雙星問題”的隱含條件是兩者受到的向心力相等，周期 相等，角速度相同；雙星軌道半徑與質(zhì)量成

2、反比.3.多星問題中，每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向 v2 心力由它們之間的萬有引力的合力提供，即 F ＝m ，以此列向心力方程進(jìn)行求解． 1.(多選)如圖 1 所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的 O 點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)測(cè)得兩顆星之間的距離為 L，質(zhì)量之比為 m ∶m ＝3∶2， 下列說法中正確的是( ) 圖 1 A．m 、m 做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比為 2∶3 B．m 、m 做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為 3∶2 2 C．m 做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 L 1 5 2 D．m 做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 L 2 5

3、 答案 AC 解析 設(shè)雙星 m 、m 距轉(zhuǎn)動(dòng)中心 O 的距離分別為 r 、r ，雙星繞 O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度均為 ω， 據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得 m m G L2  r ω2  ＝m  r ω2  ，又 r ＋r ＝L，m ∶m ＝3∶2 所以可解得 r 1  2 3 ＝ L，r ＝ L m 、m 運(yùn)動(dòng)的線速度分別為 v ＝r ω，v ＝r ω， 1 2 1 2 ＝ M( L 2 T 1 1 2 則 有 ＝m( 2 L 2 ) 2r ，得到恒星的質(zhì)量 M＝ 4 π2L3

4、 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ＝ m 和 G ＝ m 1 2 1 2 L 2 T L2 T 1 1 2 2 故 v  ∶v ＝r ∶r ＝2∶3. 綜上所述，選項(xiàng) A、C 正確． 2．(2020· 吉林長(zhǎng)春市二模)2019 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予了三位天文學(xué)家，以表彰他們對(duì)人類 對(duì)宇宙演化方面的了解所做的貢獻(xiàn)．其中兩位學(xué)者的貢獻(xiàn)是首次發(fā)現(xiàn)地外行星，其主要原理 是恒星和其行星在引力作用下構(gòu)成一個(gè)“雙星系統(tǒng)”，恒星在周期性運(yùn)動(dòng)時(shí)，可通過觀察其 光譜的周期性變化知道其運(yùn)動(dòng)周期，從而證實(shí)其附近存在行

5、星．若觀測(cè)到的某恒星運(yùn)動(dòng)周期 為 T，并測(cè)得該恒星與行星的距離為 L，已知引力常量為 G，則由這些物理量可以求得( ) A．行星的質(zhì)量 B．恒星的質(zhì)量 C．恒星與行星的質(zhì)量之和 D．恒星與行星圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比 答案 C 解析 恒星與行星組成雙星，設(shè)恒星的質(zhì)量為 M，行星的質(zhì)量為 m.以恒星為研究對(duì)象，行星 對(duì)它的引力提供了向心力，假設(shè)恒星的軌道半徑為 r 1  GMm 2π ，由 )2  r 得到行星的質(zhì)量 m ＝  4π2L2r GT2  ，以行星為研究對(duì)象，恒星對(duì)它的引力提供了向心力，假設(shè)行星的軌道半徑為 r

6、， GMm 2π 4π2L2r T 2 GT2  ，則有 M＋m＝ ，故 A、B、D 錯(cuò)誤， GT2 C 正確． 3．(多選)(2020· 湖北隨州市 3 月調(diào)研)2019 年 12 月 20 日，國(guó)防科技大學(xué)領(lǐng)銜研制的我國(guó)天基 網(wǎng)絡(luò)低軌試驗(yàn)雙星在太原衛(wèi)星發(fā)射中心搭載 CZ－4B 火箭成功發(fā)射，雙星順利進(jìn)入預(yù)定軌 道．假設(shè)兩個(gè)質(zhì)量分別為 m 和 m (m >m )的星體 A 和 B 組成一雙星系統(tǒng)，二者中心之間的距 離為 L，運(yùn)動(dòng)的周期為 T，萬有引力常量為 G，下列說法正確的是( ) A．因?yàn)?m >m ，所以星體 A 對(duì)星體 B 的萬有引力大于

7、星體 B 對(duì)星體 A 的萬有引力 m B．星體 A 做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 L m ＋m 2πm L C．星體 B 的線速度大小為 (m＋m )T 4π2L3 D．兩星體的質(zhì)量之和為 GT2 答案 BD 解析 兩者之間的萬有引力提供彼此的向心力，此為相互作用力，大小相等，方向相反，故 m m 2π m m 2π A 錯(cuò)誤；對(duì) A、B 兩星體，根據(jù)牛頓第二定律有 G r ( )2 r ( )2  ，又 2 1 2 1 2 1 2 1 2 故 B 正確；星體 B 的線速度大小為 v＝ 2 ＝ ，故

8、C 錯(cuò)誤；將 G ＝ m 1 1 2 ( m＋m )T 和 G ＝ m 1 2 4 π2L3 GT2 1 2 1 2 ＝ M( L 2 T 2 π T r 地 m r 2 π L 2 T ′ T ′ P Q 2 速 率 v＝ 2 π v T P T T ′ v 因?yàn)?r 1  m m ＋r ＝L，聯(lián)立解得星體 A 和星體 B 的運(yùn)動(dòng)半徑分別為 r ＝ L，r ＝ L， m ＋m m ＋m 2πr 2πm L m m 2π r ( )2 T L2 1 1 T 1 2

9、 m m 2π r ( )2 L2 2 2 T  簡(jiǎn)化后相加，結(jié)合 r ＋r ＝L，可得 m ＋m ＝ ，D 正確． 4．(2020· 河北保定市調(diào)研)把地球和月球看作繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的雙星系統(tǒng)，質(zhì)量分 別為 M、m，相距為 L，周期為 T，若有間距也為 L 的雙星 P、Q，P、Q 的質(zhì)量分別為 2M、 2m，則( ) M A．地、月運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比為 m M B．地、月運(yùn)動(dòng)的加速度之比為 m C．P 運(yùn)動(dòng)的速率與地球的相等 2 D．P、Q 運(yùn)動(dòng)的周期均為 T 2 答案 D Mm 2π 解析 對(duì)地、月有 G

10、 )2r  ＝m( )2r 地  月  ，故軌道半徑與質(zhì)量成反比，即 ＝ ，A M 月 錯(cuò)誤；加速度 a＝( )2 T  r，正比于軌道半徑，反比于質(zhì)量，B 錯(cuò)誤；設(shè) P、Q 的周期為 T′， 2M×2m 2π 2π 則有 G ＝2M( )2r ＝2m( )2r ，軌道半徑與質(zhì)量成反比且地、月間距跟 P、Q 間 距均等于 L，故地球與 P 的軌道半徑 r 相等，于是 2T′  2  ＝T  2，解得 T′＝  2 T，D 正確；由 r 得 ＝ ＝ 2，C 錯(cuò)誤． 地 5．由三個(gè)星體構(gòu)成的系

11、統(tǒng)，叫作三星系統(tǒng)．有這樣一種簡(jiǎn)單的三星系統(tǒng)，質(zhì)量剛好都相同的 三個(gè)星體甲、乙、丙在三者相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上， 繞某一共同的圓心 O 在三角形所在的平面內(nèi)做相同周期的圓周運(yùn)動(dòng)．若三個(gè)星體的質(zhì)量均為 m，三角形的邊長(zhǎng)為 a，萬有引力常量為 G，則下列說法正確的是( ) A．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑均為 a B．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期均為 2πa C．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小均為  a 3Gm 3Gm a Gm2 3Gm2 4π2 a 2πr Gm F 3Gm mm′ Gm m 2 m2 Gm2

12、 1 L 2 L 2 2 n 3Gm D．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小均為 a2 答案 B 解析 質(zhì)量相等的三星系統(tǒng)的位置關(guān)系構(gòu)成一等邊三角形，其中心 O 即為它們的共同圓心， 由幾何關(guān)系可知三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 r＝  3 3  a，故選項(xiàng) A 錯(cuò)誤；每個(gè)星體受到的另外 兩星體的萬有引力的合力提供向心力，其大小  F ＝ 3· ，則 ＝ m a2 a2 T2  r，得 T＝ 2πa  ，故選項(xiàng) B 正確；由線速度公式 v＝ 得 v＝ 3Gm T  a  ，故選項(xiàng) C 錯(cuò)誤；向

13、心加速 度 a＝ ＝ ，故選項(xiàng) D 錯(cuò)誤． m a2 6．(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)．若某個(gè)四星系統(tǒng)中每個(gè) 星體的質(zhì)量均為 m，半徑均為 R，忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，忽略星體自轉(zhuǎn)，則可能 存在如下運(yùn)動(dòng)形式：四顆星分別位于邊長(zhǎng)為 L 的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上(L 遠(yuǎn)大于 R)，在相互之 間的萬有引力作用下，繞某一共同的圓心做角速度相同的圓周運(yùn)動(dòng)．已知引力常量為 G，則 關(guān)于此四星系統(tǒng)，下列說法正確的是( ) L A．四顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑均為 2 m B．四顆星表面的重力加速度均為 G R2 Gm2 C．

14、四顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小為 (2 2＋1) L2 D．四顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度均為  (4＋ 2)Gm 2L3 答案 BD 解析 任一顆星體在其他三顆星體的萬有引力的作用下，合力方向指向?qū)蔷€的交點(diǎn)，圍繞 正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑均為 r＝  2 2  L，故 A 錯(cuò)誤；星體表面的物體 受到的萬有引力等于它受到的重力，即 G ＝m′g，解得 g＝ ，故 B 正確；由萬有引 R2 R2 力定律可得四顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小為 F ＝G ＋2G cos 45°＝ ( ( 2L)2  ＋ 2)，選 ＋ 2)＝mω L 2 2 2 n 項(xiàng) C 錯(cuò)誤；由牛頓第二定律得 F 正確．  Gm2 1 2 ＝ ( 2( L)，解得 ω＝  (4＋ 2)Gm ，故 D 2L3