《山東省濟(jì)寧市2013年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí) 專題七 動(dòng)點(diǎn)問題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《山東省濟(jì)寧市2013年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí) 專題七 動(dòng)點(diǎn)問題（21頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題七 動(dòng)點(diǎn)問題 動(dòng)點(diǎn)試題是近幾年中考命題的熱點(diǎn)，與一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識(shí)綜合，構(gòu)成中考試題的壓軸題.動(dòng)點(diǎn)試題大致分為點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、圖形動(dòng)三種類型.動(dòng)點(diǎn)試題要以靜代動(dòng)的解題思想解題.下面就中考動(dòng)點(diǎn)試題進(jìn)行分析. 　　例1?。?006年福建晉州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線PM，使PM⊥AD. 　　1．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，設(shè)直線PM與AD相交于點(diǎn)E，求△APE的面積； 　　2．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A→B的路線運(yùn)動(dòng)，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，（

2、當(dāng)P、Q中的某一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).）過Q作直線QN，使QN∥PM，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤8），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S（cm2）. 　?。?）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式； 　?。?）求S的最大值. 　　1.分析：此題為點(diǎn)動(dòng)題，因此，1)搞清動(dòng)點(diǎn)所走的路線及速度，這樣就能求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)；2）分析在運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的幾種特殊位置. 　　由題意知，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，所走的路線為：A→B→C速度為1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，進(jìn)而求出△APE的面積. 　　略解：由AP=2 ，∠A=60°得AE=1，EP= . 因此. 　　2.分析：兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)

3、動(dòng)，點(diǎn)P在前，點(diǎn)Q在后，速度相等，因此兩點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)A的距離相差總是2cm.P在AB邊上運(yùn)動(dòng)后，又到BC邊上運(yùn)動(dòng).因此PM、QN截平行四邊形ABCD所得圖形不同.故分兩種情況： 　?。?）①當(dāng)P、Q都在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM、QN截平行四邊形ABCD所得的圖形永遠(yuǎn)為直角梯形.此時(shí)0≤t≤6. 　　②當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)，而Q在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出相應(yīng)圖形，所成圖形為六邊形DFQBPG.不規(guī)則圖形面積用割補(bǔ)法.此時(shí)6＜t≤8. 　　 　?、怕越猓孩佼?dāng)P、Q同時(shí)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t≤6. 　　AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函數(shù)PG=(t+2), 　　

4、FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+. 　?、诋?dāng)6＜t≤8時(shí)， 　　S=S平行四邊形ABCD-S△AQF-S△GCP. 　　易求S平行四邊形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2. 　　而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2. 　　∴S=16-t2-(10-t)2=(6＜t≤8　 　?、品治?求面積的最大值時(shí),應(yīng)用函數(shù)的增減性求.若題中分多種情況,那么每一種情況都要分別求出最大值，然

5、后綜合起來得出一個(gè)結(jié)論.此題分兩種情況,那么就分別求出0≤t≤6和6＜t≤8時(shí)的最大值. 0≤t≤6時(shí),是一次函數(shù),應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì),由于一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù),面積S隨t的增大而增大.當(dāng) 6＜t≤8時(shí),是二次函數(shù),應(yīng)用配方法或公式法求最值. 　　略解：由于所以t=6時(shí)，S最大＝； 　　由于S＝(6＜t≤8,所以t=8時(shí)，S最大=6.　 　　綜上所述, 當(dāng)t=8時(shí)，S最大=6. 　　例2．（2006年錦州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線l與菱形OABC

6、的兩邊分別交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方). 　　1.求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； 　　2.設(shè)△OMN的面積為S，直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤6)，試求S與t的函數(shù)表達(dá)式； 　　3.在題(2)的條件下，t為何值時(shí)，S的面積最大？最大面積是多少？ 　　1.分析：由菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)易求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo). 　　解：∵四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)， 　　　∴OA=AB=BC=CO=4.如圖①，過點(diǎn)A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=. 　　　∴A(2, )，B（6, ）. 　　2.分析：直線l在運(yùn)動(dòng)過程中，隨時(shí)間t的變化，△MON的形狀也不斷變化，

7、因此，首先要把所有情況畫出相應(yīng)的圖形，每一種圖形都要相應(yīng)寫出自變量的取值范圍。這是解決動(dòng)點(diǎn)題關(guān)鍵之一. 　　直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)與菱形OABC的兩邊相交有三種情況： 　　 　　①0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交(如圖①). 　?、?＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交(如圖②). 　?、?＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交(如圖③). 　　略解：①∵M(jìn)N⊥OC，∴ON=t. ∴MN=ONtan60°=.∴S=ON·MN=t2. 　　　　?、赟=ON·MN=t·2=t. 　 　　　 ③方法一：設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H.∵M(jìn)N＝2-(t-4)=6-t,

8、 　　　　∴S=MN·OH=(6-t)t=-t2+3t. 　　方法二：設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H.∵S=S△OMH-S△ONH，∴S=t·2-t·(t-4)= - t2+3t. 　　方法三：設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H.∵S=, 　　=4×2=8,=·2·(t-2)= t-2, 　　=·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2, 　　∴S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t. 　　3.求最大面積的時(shí)候，求出每一種情況的最大面積值，然后再綜合每種情況，求出最大值. 　　略解：由2知，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，=×22=2； 　　當(dāng)2＜t≤4時(shí)

9、，=4； 　　當(dāng)4＜t≤6時(shí)，配方得S=-(t-3)2+， 　　∴當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)S＝-t2+3t的最大值是. 　　但t=3不在4＜t≤6內(nèi)，∴在4＜t≤6內(nèi)，函數(shù)S＝-t2+3t的最大值不是. 　　而當(dāng)t＞3時(shí)，函數(shù)S＝-t2+3t隨t的增大而減小，∴當(dāng)4＜t≤6時(shí)，S＜4.　　　　　 綜上所述，當(dāng)t=4秒時(shí)，=4. 　　練習(xí)1 （2006年南安市）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿x軸正方向作勻速運(yùn)動(dòng)．同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿A－B－C－D的路線作勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)

10、，矩形ABCD也隨之停止運(yùn)動(dòng)． 　?、徘驪點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間； 　　⑵設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）. 　　當(dāng)t＝5時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； 　　若⊿OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍）． 　　解:（1）P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間＝（3+5+3）÷1＝11（秒）. 　　（2）當(dāng)t＝5時(shí)，P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC上，此時(shí)OA=10,AB+BP=5，∴BP=2. 　　過點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，則PE=AB=3,AE=BP=2. 　　∴OE=OA+AE=10+2=12.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，3）． 　　分三種情況： 　　．當(dāng)0＜t≤3

11、時(shí)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OA=2t,AP=t，∴s=×2t×t= t2. 　　．當(dāng)3＜t≤8時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OA=2t，∴s=×2t×3=3 t. 　?。?dāng)8＜t＜11時(shí)，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)OA=2t,AB+BC+CP= t， 　　∴DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t.∴s=×2t×(11- t)=- t2+11 t. 　　綜上所述，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：當(dāng)0＜t≤3時(shí)，s= t2；當(dāng)3＜t≤8時(shí)，s=3 t；當(dāng)8＜t＜11時(shí)，s=- t2+11 t . 　　練習(xí)2　如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸

12、上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)（不與B，C重合），連接OD，過點(diǎn)D作DE⊥OD，交邊AB于點(diǎn)E，連接OE． 　　（1）當(dāng)CD=1時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)； 　?。?）如果設(shè)CD=t，梯形COEB的面積為S，那么是否存在S的最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值及此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 　　解：(1) 正方形OABC中，因?yàn)镋D⊥OD，即∠ODE =90°，所以∠COD=90°-∠CDO，而 ∠EDB =90°-∠CDO，所以∠COD =∠EDB.又因?yàn)椤螼CD=∠DBE=90°，所以△CDO∽△BED. 　　所以，即，BE=，則.因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，）． 　　(2

13、) 存在S的最大值． 　　由于△CDO∽△BED，所以，即，BE=t－t2. 　　×4×(4＋t－t2)． 　　故當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值10． 1、（09包頭）如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)． （1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)． ①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請(qǐng)說明理由； ②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？ A Q C D B P （2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都

14、逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？ 解：（1）①∵秒， ∴厘米， ∵厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)， ∴厘米． 又∵厘米， ∴厘米， ∴． 又∵， ∴， ∴． （4分） ②∵， ∴， 又∵，，則， ∴點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒， ∴厘米/秒． （7分） （2）設(shè)經(jīng)過秒后點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇， 由題意，得，解得秒． ∴點(diǎn)共運(yùn)動(dòng)了厘米． ∵， ∴點(diǎn)、點(diǎn)在邊上相遇， ∴經(jīng)過秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇． （12分） 2、（09齊齊哈爾）直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止．點(diǎn)沿線段 運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)沿路線→→

15、運(yùn)動(dòng)． （1）直接寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)； x A O Q P B y （2）設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 解（1）A（8，0）B（0，6） 1分 （2） 點(diǎn)由到的時(shí)間是（秒） 點(diǎn)的速度是（單位/秒） 1分 當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)（或0）時(shí)， 1分 當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)（或）時(shí)，, 如圖，作于點(diǎn)，由，得， 1分 1分 （自變量取值范圍寫對(duì)給1分，否則不給分．） （3） 1分 3分 3（09深圳）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=－2x－8分別與x軸，y

16、軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（0，k）是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作⊙P. （1）連結(jié)PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系，并說明理由； （2）當(dāng)k為何值時(shí)，以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？ 解：（1）⊙P與x軸相切. ∵直線y=－2x－8與x軸交于A（4，0）， 與y軸交于B（0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由題意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k. 在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP等于⊙P的半徑， ∴⊙P與x軸相切. （2）設(shè)⊙P與直線l交于C，D兩點(diǎn)，連結(jié)PC

17、，PD當(dāng)圓心P在線段OB上時(shí),作PE⊥CD于E. ∵△PCD為正三角形，∴DE=CD=，PD=3， ∴PE=. ∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴. 當(dāng)圓心P在線段OB延長(zhǎng)線上時(shí),同理可得P(0,－－8)， ∴k=－－8， ∴當(dāng)k=－8或k=－－8時(shí)，以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形. 4（09哈爾濱） 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－3，4）， 點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M，AB邊交y軸于點(diǎn)H．

18、 （1）求直線AC的解析式； （2）連接BM，如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個(gè)單位／秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PMB的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）； （3）在（2）的條件下，當(dāng) t為何值時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，并求此時(shí)直線OP與直線AC所夾銳角的正切值． 解： 5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)

19、單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）． A C B P Q E D 圖16 （1）當(dāng)t = 2時(shí)，AP = ，點(diǎn)Q到AC的距離是 ； （2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中，求△APQ的面積S與 t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍） （3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形QBED能否成 為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請(qǐng)說明理由； （4）當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C?時(shí)，請(qǐng)直接寫出t

20、的值． 解：（1）1，； A C B P Q E D 圖4 （2）作QF⊥AC于點(diǎn)F，如圖3， AQ = CP= t，∴． 由△AQF∽△ABC，， 得．∴． ∴， A C B P Q E D 圖5 A C(E) ) B P Q D 圖6 G A C(E) ) B P Q D 圖7 G 即． （3）能． ①當(dāng)DE∥QB時(shí)，如圖4． ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形． 此時(shí)∠AQP=90°． 由△APQ?∽△ABC，得， 即． 解得． ②如圖5，當(dāng)PQ

21、∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形． 此時(shí)∠APQ =90°． 由△AQP?∽△ABC，得 ， 即． 解得． （4）或． ①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C． 連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，如圖6． ，． 由，得，解得． ②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C，如圖7． ，】 6（09河南））如圖，在中，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線從與重合的位置開始，繞點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交邊于點(diǎn)．過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，設(shè)直線的旋轉(zhuǎn)角為．（1）①當(dāng) 度時(shí)，四邊形是等腰梯形，此時(shí)的長(zhǎng)為 ；②當(dāng) 度時(shí)，四邊形是直角梯形，此時(shí)的長(zhǎng)為 ；

22、 O E C B D A l O C B A （備用圖） （2）當(dāng)時(shí)，判斷四邊形是否為菱形，并說明理由． 解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分 （2）當(dāng)∠α=900時(shí)，四邊形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四邊形EDBC是平行四邊形.……………6分 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. ∴AB=4,AC=2. ∴AO== . ……………………8分

23、 在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四邊形EDBC是平行四邊形， ∴四邊形EDBC是菱形 ……………………10分 A D C B M N 7（09濟(jì)南）如圖，在梯形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒． （1）求的長(zhǎng)． （2）當(dāng)時(shí)，求的值． （3）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形． 解：（1）如圖①，過、分別作于，于，則四邊形是矩形 ∴ ……………………1分 在中，

24、 2分 在中，由勾股定理得， ∴……………3分 （2）如圖②，過作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形 ∵ （圖①） A D C B K H ∴ ∴ ∴……………4分 由題意知，當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)， ∵ ∴ 又 ∴ （圖②） A D C B G M N ∴……………5分 即 解得，……………6分 （3）分三種情況討論： ①當(dāng)時(shí)，如圖③，即 ∴……………7分 A D C B M N （圖③） （圖④） A D C B M N H E ②當(dāng)時(shí)，如圖④，過作于 解法一： 由等腰

25、三角形三線合一性質(zhì)得 在中， 又在中， ∴ 解得 8分 解法二： ∵ ∴ ∴ 即 ∴……………8分 ③當(dāng)時(shí)，如圖⑤，過作于點(diǎn). 解法一：（方法同②中解法一） （圖⑤） A D C B H N M F 解得 解法二： ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 綜上所述，當(dāng)、或時(shí)，為等腰三角形 9分 8（09江西）如圖1，在等腰梯形中，，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，. （1）求點(diǎn)到的距離； （2）點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，過作交折線于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè). ①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖2），的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長(zhǎng)；若

26、改變，請(qǐng)說明理由； A D E B F C 圖4（備用） A D E B F C 圖5（備用） A D E B F C 圖1 圖2 A D E B F C P N M 圖3 A D E B F C P N M （第25題） ②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解（1）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn) 1分 ∵為的中點(diǎn)， ∴ 在中，∴……………2分 ∴ 即點(diǎn)到的距離為……………3分 （2）①當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀不發(fā)生改變．

27、 圖1 A D E B F C G ∵∴ ∵∴， 同理……………4分 如圖2，過點(diǎn)作于，∵ ∴ 圖2 A D E B F C P N M G H ∴ ∴ 則 在中， ∴的周長(zhǎng)= 6分 ②當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀發(fā)生改變，但恒為等邊三角形． 當(dāng)時(shí)，如圖3，作于，則 類似①， ∴ 7分 ∵是等邊三角形，∴ 此時(shí)， 8分 當(dāng)時(shí)，如圖4，這時(shí) 此時(shí)， 當(dāng)時(shí)，如圖5， 則又 ∴ 因此點(diǎn)與重合，為直角三角形． ∴ 此時(shí)， 綜上所述，當(dāng)或4或時(shí)，為等腰三角形． 10分 9（09蘭州）如圖①，正方形 ABCD中，

28、點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4）， 點(diǎn)C在第一象限．動(dòng)點(diǎn)P在正方形 ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D勻速運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)， 設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒． (1)當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)（長(zhǎng)度單位）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度； (2)求正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)； (3)在（1）中當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)； (4)如果點(diǎn)P、Q保持原速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿A→B→C→D勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP與PQ能否相

29、等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請(qǐng)說明理由． 解：（1）（1，0）……………1分 點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度每秒鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度．……………2分 （2） 過點(diǎn)作BF⊥y軸于點(diǎn)，⊥軸于點(diǎn)，則＝8，． ∴． 在Rt△AFB中，……………3分 過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)． ∵ ∴△ABF≌△BCH． ∴． ∴． ∴所求C點(diǎn)的坐標(biāo)為（14，12）． ……………4分 （3） 過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥軸于點(diǎn)N， 則△APM∽△ABF． ∴． ． ∴． ∴． 設(shè)△OPQ的面積為（平方單位） ∴（0≤≤10） ……………5分 說明:未注

30、明自變量的取值范圍不扣分． ∵<0 ∴當(dāng)時(shí)， △OPQ的面積最大． 6分 此時(shí)P的坐標(biāo)為（，） ． 7分 （4） 當(dāng) 或時(shí)， OP與PQ相等． 9分 10（09臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．，且EF交正方形外角的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF． 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以． 在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究： （1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”

31、仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由； A D F C G E B 圖1 （2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由． 解：（1）正確． （1分） 證明：在上取一點(diǎn)，使，連接． （2分） ．，． 是外角平分線， ， ． ． ，， ． （ASA）．……………（5分） ．……………（6分） （2）正確．……………（7分） 證明：在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)． 使，連接．…………

32、…（8分） ． ． 四邊形是正方形， ． ． ． （ASA）．……………（10分） ．……………（11分） x y B O A 11（09天津）已知一個(gè)直角三角形紙片，其中．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)． （Ⅰ）若折疊后使點(diǎn)與點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （Ⅱ）若折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)為，設(shè)，，試寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并確定的取值范圍； （Ⅲ）若折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)為，且使，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)． 解（Ⅰ）如圖①，折疊后點(diǎn)與點(diǎn)重合， x y B O A 則. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 則. 于是. 在中，由勾股定理

33、，得， x y B O A 即，解得. 點(diǎn)的坐標(biāo)為.……………4分 （Ⅱ）如圖②，折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)為, 則. 由題設(shè)， 則， 在中，由勾股定理，得. ， 即 6分 由點(diǎn)在邊上，有， 解析式為所求. 當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小， 的取值范圍為. 7分 （Ⅲ）如圖③，折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)為，且. 則. 又，有. . 有，得. 9分 在中， 設(shè)，則. 由（Ⅱ）的結(jié)論，得， 解得. 圖（1） A B C D E F M N 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 10分 12（09太原）問題解決 如圖（1），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上一點(diǎn)

34、（不與點(diǎn)，重合），壓平后得到折痕．當(dāng)時(shí)，求的值． 方法指導(dǎo)： 為了求得的值，可先求、的長(zhǎng)，不妨設(shè)：=2 類比歸納 在圖（1）中，若則的值等于 ；若則的值等于 ；若（為整數(shù)），則的值等于 ．（用含的式子表示） 聯(lián)系拓廣 圖（2） N A B C D E F M 如圖（2），將矩形紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），壓平后得到折痕設(shè)則的值等于 ．（用含的式子表示） 解：方法一：如圖（1-1），連接． 由題設(shè)，得四邊形和四邊形關(guān)于直線對(duì)稱． ∴垂直平分．∴……………1分

35、∵四邊形是正方形，∴ ∵設(shè)則 在中，． N 圖（1-1） A B C D E F M ∴解得，即…………3分 在和在中， ， ， ∴…………5分 設(shè)則∴ N 圖（1-2） A B C D E F M G 解得即…………6分 ∴…………7分 方法二：同方法一，…………3分 如圖（1－2），過點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接 ∵∴四邊形是平行四邊形． ∴ 同理，四邊形也是平行四邊形．∴ 　　　∵ 　　　 　　　在與中 　　　∴ ５分 ∵…………6分 ∴…………7分 類比歸納 （或）；； …………10分 聯(lián)

36、系拓廣 …………12分 07 08 09 動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù) 兩個(gè) 一個(gè) 兩個(gè) 問題背景 特殊菱形兩邊上移動(dòng) 特殊直角梯形三邊上移動(dòng) 拋物線中特殊直角梯形底邊上移動(dòng) 考查難點(diǎn) 探究相似三角形 探究三角形面積函數(shù)關(guān)系式 探究等腰三角形 考 點(diǎn) ①菱形性質(zhì) ②特殊角三角函數(shù) ③求直線、拋物線解析式 ④相似三角形 ⑤不等式 ①求直線解析式 ②四邊形面積的表示 ③動(dòng)三角形面積函數(shù)④矩形性質(zhì) ①求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo) ②探究平行四邊形 ③探究動(dòng)三角形面積是定值 ④探究等腰三角形存在性 特 點(diǎn) ①菱形是含60°

37、的特殊菱形； △AOB是底角為30°的等腰三角形。 ②一個(gè)動(dòng)點(diǎn)速度是參數(shù)字母。 ③探究相似三角形時(shí)，按對(duì)應(yīng)角不同分類討論；先畫圖，再探究。 ④通過相似三角形過度，轉(zhuǎn)化相似比得出方程。 ⑤利用a、t范圍，運(yùn)用不等式求出a、t的值。 ①觀察圖形構(gòu)造特征適當(dāng)割補(bǔ)表示面積 ②動(dòng)點(diǎn)按到拐點(diǎn)時(shí)間分段分類 ③畫出矩形必備條件的圖形探究其存在性 ①直角梯形是特殊的（一底角是45°） ②點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線動(dòng) ③線動(dòng)中的特殊性（兩個(gè)交點(diǎn)D、E是定點(diǎn)；動(dòng)線段PF長(zhǎng)度是定值，PF=OA） ④通過相似三角形過度，轉(zhuǎn)化相似比得出方程。 ⑤探究等腰三角形時(shí)，先畫圖，再探究（按邊相等分類討論） 三年共同點(diǎn)：①特殊四邊形為背景；②點(diǎn)動(dòng)帶線動(dòng)得出動(dòng)三角形；③探究動(dòng)三角形問題（相似、等腰三角形、面積函數(shù)關(guān)系式）；④求直線、拋物線解析式；⑤探究存在性問題時(shí)，先畫出圖形，再根據(jù)圖形性質(zhì)探究答案。