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2012年高考數(shù)學(xué) 考點11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例

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2012年高考數(shù)學(xué) 考點11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例_第1頁
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1、考點11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu) 化問題舉例 一、選擇題 1.(2012?山東高考文科?T10)與(2012?山東高考理科?T9)相同 函數(shù)的圖象大致為( ) 【解題指南】本題可利用函數(shù)的奇偶性,及函數(shù)零點的個數(shù),取點驗證法可得. 【解析】選D.由知為奇函數(shù),當(dāng)時,y>0,隨著x的變大,分母逐漸變大,整個函數(shù)值越來越接近y軸,只有D選項滿足. 2.(2012·新課標(biāo)全國高考理科·T10)已知函數(shù)f(x)= ,則y=f(x)的圖象大致為( ) 【解題指南】令,通過對單調(diào)性與最值的考查,判斷出在不同的區(qū)間段f(x)的函數(shù)值的正負,最后利用排除法得正確

2、選項。 【解析】選B. 得:或均有,排除 3.(2012·遼寧高考文科·T8)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (A)(1,1] (B)(0,1] (C.)[1,+∞) (D)(0,+∞) 【解題指南】保證函數(shù)有意義的前提下,利用解得單調(diào)減區(qū)間 【解析】選B. 由,又函數(shù)的定義域為 故單調(diào)減區(qū)間為. 4.(2012·陜西高考文科·T9)設(shè)函數(shù)=+,則( ) (A) x=為的極大值點 (B) x=為的極小值點 (C) x=2為的極大值點 (D) x=2為的極小值點 【解題指南】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于0求出極值點,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正、負判斷函數(shù)

3、的單調(diào)性,判斷極值點是極大值點還是極小值點. 【解析】選D. ∵=+,∴,令,即,解得,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以x=2為的極小值點. 5.(2012·福建高考文科·T12)已知,且.現(xiàn)給出如下結(jié)論:①;②;③;④.其中正確結(jié)論的序號是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【解題指南】首先要構(gòu)畫函數(shù)的草圖,因此,要求導(dǎo),分析單調(diào)性,然后分別求出,,,再判斷各命題的真假. 【解析】選C. f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3), 函數(shù)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減,在(3,+∞)上單調(diào)遞增,又因為f(a)=f(b)=f(c)=0,所以

4、a∈(-∞,1),b∈(1,3),c∈(3,+∞), f(1)=4-abc,f(3)=-abc,f(0)=-abc. 又因為f(b)=b3-6b2+9b-abc=b(b2-6b+9)-abc=b[(b-3)2-ac]=0,所以ac為正數(shù),所以a為正數(shù),則有f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0,所以②③正確. 6.(2012·江西高考理科·T10)如右圖,已知正四棱錐S-ABCD所有棱長都為1,點E是側(cè)棱SC上一動點,過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記,截面下面部分的體積為,則函數(shù)的圖象大致為( ) A B

5、 C D 【解題指南】分與兩種情況討論,當(dāng)時,將截面上面部分的幾何體分割為兩個錐體,用間接法求出截面下面部分的體積V(x),然后通過V(x)的解析式得到圖象,當(dāng)時,同理可得。 【解析】選A . ①當(dāng)時,截面為五邊形,如圖所示 由面QEPMN,且?guī)缀误w為正四棱錐,棱長均為1, 易推出,,,四邊形OEQN和OEPM均為全等的直角梯形,此時 = = 求導(dǎo)可知在上為減函數(shù),且 ②當(dāng)時,截面為等腰三角形,如圖所示: 此時 易知在上亦為減函數(shù),且,根據(jù)三次函數(shù)的圖象特征可知選項A符合. 7.(2012·遼寧高考理科·T12)若,則

6、下列不等式恒成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 【解題指南】構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。 【解析】選C. 令,則(x0),故為定義域上的增函數(shù),.所以. 8.(2012·山東高考文科·T12)設(shè)函數(shù),.若的圖象與的圖象有且僅有兩個不同的公共點,則下列判斷正確的是( ) (A)    (B) (C)    (D) 【解題指南】本題利用導(dǎo)數(shù)來求解單調(diào)性. 【解析】選B.設(shè),則方程與同解,故其有且僅有兩個不同零點.由得或.這樣,必須且只須或,因為,故必有由此得

7、.不妨設(shè),則.所以,比較系數(shù)得,故.,由此知,故答案為B. 9.(2012·山東高考理科·T12)設(shè)函數(shù),若的圖象與圖象有且僅有兩個不同的公共點,則下列判斷正確的是( ) A.當(dāng)時, B. 當(dāng)時, C. 當(dāng)時, D. 當(dāng)時, 【解題指南】本題利用導(dǎo)數(shù)來求解單調(diào)性. 【解析】選B.令,則,設(shè),。令,則,要使y=f(x)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個不同的公共點只需,整理得,于是可取來研究,當(dāng)時,,解得,此時,此時;當(dāng)時,,解得,此時,此時.答案應(yīng)選B。 另解:令可得。 設(shè) 不妨設(shè),結(jié)合圖形可知, 當(dāng)時如右圖,此時, 即,此時

8、,,即;同理可由圖形經(jīng)過推理可得當(dāng)時.答案應(yīng)選B。 二、解答題 10. (2012·山東高考理科·T22)已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點處的切線與軸平行. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間; (Ⅲ)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意. 【解題指南】(1)由曲線在點處的切線與軸平行可知即可求出k的值.(2)可由(1)的結(jié)論求解判斷單調(diào)區(qū)間.(3)構(gòu)造函數(shù)法求解不等式問題. 【解析】(Ⅰ) 由得 由曲線在點處的切線與軸平行可知, 解得:. (Ⅱ),,令可得, 當(dāng)時,;當(dāng)時,。 于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在內(nèi)為減函數(shù)。 (Ⅲ), 因此,對任意,等價于.

9、令, 則, 因此,當(dāng)單調(diào)遞增; 當(dāng)單調(diào)遞減. 所以的最大值為, 故 設(shè). 因為, 所以時,,單調(diào)遞增, , 故時,, 即 所以. 因此,對任意. 11.(2012·山東高考文科·T22)已知函數(shù)為常數(shù),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點處的切線與x軸平行. (Ⅰ)求k的值; (Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間; (Ⅲ)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意. 【解題指南】(1)由曲線在點處的切線與軸平行可知即可求出k的值.(2)可由(1)的結(jié)論求解判斷單調(diào)區(qū)間.(3)構(gòu)造函數(shù)法求解的最值. 【解析】 (I), 由已知,,∴. (II)由(I)知,. 設(shè),則,

10、即在上是減函數(shù), 由知,當(dāng)時,從而, 當(dāng)時,從而. 綜上可知,的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是. (III)由(II)可知,當(dāng)時,≤0<1+,故只需證明在時成立. 當(dāng)時,>1,且,∴. 設(shè),,則, 當(dāng)時,,當(dāng)時,, 所以當(dāng)時,取得最大值. 所以. 綜上,對任意,. 12.(2012·江西高考理科·T21)若函數(shù)h(x)滿足 (1)h(0)=1,h(1)=0; (2)對任意,有h(h(a))=a; (3)在(0,1)上單調(diào)遞減. 則稱h(x)為補函數(shù)。已知函數(shù) (1)判斷函數(shù)h(x)是否為補函數(shù),并證明你的結(jié)論; (2)若存在,使得h(m)=m,稱m是函數(shù)h(x

11、)的中介元,記時,h(x)的中介元為xn,且,若對任意的,都有Sn< ,求的取值范圍; (3)當(dāng)=0,時,函數(shù)y= h(x)的圖象總在直線y=1-x的上方,求P的取值范圍。 【解題指南】判斷是否為補函數(shù),即是看是否滿足上述三條性質(zhì),可逐條驗證; (1) 先根據(jù)中介元的定義求出中介元,再對求和,求得,通過解不等式,求得的取值范圍; (2) 函數(shù)y= h(x)的圖象總在直線y=1-x的上方,則說明恒成立,然后分離出參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,利用導(dǎo)數(shù)求得最值,最終得到的取值范圍。 【解析】(1)函數(shù)是補函數(shù).證明如下: ①,; ②對任意,有 ; ③令有, 因為所以當(dāng)時,,所以

12、函數(shù)在上單調(diào)遞減. (2)當(dāng),由,得: (i)當(dāng)時,中介元; (ii)當(dāng)且時,由(*)得或; 得中介元. 綜合(i)(ii):對任意的.中介元為, 于是,當(dāng)時, 有 當(dāng)無限增大時,無限接近于0,無限接近于, 故對任意的,成立等價于,即. (3)當(dāng)時,,中介元為, (i)當(dāng)時,,中介元為, 所以點不在直線的上方,不符合條件; (ii)當(dāng)時,依題意只須在時恒成立, 也即在時恒成立, 設(shè),則. 由得,且當(dāng)時,,當(dāng)時,, 又因為,所以當(dāng)時,恒成立. 綜上:的取值范圍是. 13.(2012·江西高考文科·T21)已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在上單調(diào)遞減

13、且滿足f(0)=1,f(1)=0. (1)求a的取值范圍; (2)設(shè)g(x)= f(-x)- f′.(x),求g(x)在上的最大值和最小值。 【解題指南】(1)利用f(0)=1,f(1)=0將用表示出來,然后利用f(x)=(ax2+bx+c)ex在上單調(diào)遞減在上恒成立,然后通過分類討論求得a的取值范圍; (2)化簡g(x)= f(-x)- f′(x),通過對g(x)求導(dǎo),然后分類討論求最值。 【解析】(1)由得, 則 依題意須對于任意,有. 當(dāng)時,因為二次函數(shù)的圖象開口向上,而,所以須,即; 當(dāng)時,對任意有,符合條件; 當(dāng)時,對于任意,,符合條件; 當(dāng)時,因,不符合條件.

14、 故的取值范圍為. (2)因, (i)當(dāng)時,,在上取得最小值,在上取得最大值. (ii)當(dāng)時,對于任意,有,在取得最大值,在取得最小值. (iii)當(dāng)時,由得. ① 若,即時,在上單調(diào)遞增,在取得最小值,在取得最大值. ② 若,即時,在取得最大值,在或取得最小值,而, 則當(dāng)時,在取得最小值; 當(dāng)時,在取得最小值. 14.(2012·新課標(biāo)全國高考理科·T21)已知函數(shù)滿足滿足; (1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間; (2)若,求的最大值。 【解題指南】(1)求導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)已知條件求得的解析式,最后求單調(diào)區(qū)間。 (2),,通過研究的性質(zhì),求得的最大值,注意分類討論。

15、 【解析】(1) 令得: 得: 在上單調(diào)遞增 得:的解析式為 且單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為 (2)得 ①當(dāng)時,在上單調(diào)遞增 時,與矛盾 ②當(dāng)時, 得:當(dāng)時, 令;則 當(dāng)時, 當(dāng)時,的最大值為 15.(2012·新課標(biāo)全國高考文科·T21)設(shè)函數(shù)f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間 (

16、Ⅱ)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時,(x-k) f′(x)+x+1>0,求k的最大值 【解題指南】(1)先確定函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)函數(shù),因不確定的正負,故應(yīng)討論,結(jié)合的正負分別得出在每一種情況下的正負,從而確立單調(diào)區(qū)間; (2)分離參數(shù),將不含有參數(shù)的式子看作一個新函數(shù),將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最值問題。 【解析】(1) 的定義域為,. 若,則,所以在單調(diào)遞增. 若,則當(dāng)時, ;當(dāng)時, >0, 所以, 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. (II)由于,所以. 故當(dāng)時, 等價于 ① 令,則. 由(I)知,函數(shù)在單調(diào)遞增.而,所以在存在唯一的零點.故在

17、存在唯一的零點.設(shè)此零點為,則. 當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以在的最小值為.又由,可得,所以. 由于①式等價于,故整數(shù)的最大值為2. 16.(2012·安徽高考理科·T19)設(shè) (I)求在內(nèi)的最小值; (II)設(shè)曲線在點處的切線方程為;求的值。 【解題指南】(1)設(shè);則 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值;(2)曲線在點的切線方程為,則,解出的值. 【解析】(I)設(shè);則 ①當(dāng)時,在上是增函數(shù) 得:當(dāng)時,的最小值為 ②當(dāng)時, 當(dāng)且僅當(dāng)時,的最小值為 (II)

18、 由題意得: 17.(2012·安徽高考文科·T17)設(shè)定義在(0,+)上的函數(shù) (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若曲線在點處的切線方程為,求的值。 【解題指南】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值;(2)曲線在點的切線方程為,則,解出的值. 【解析】(I) 當(dāng)且僅當(dāng)時,的最小值為 (II)由題意得: ① ② 由①②得: 18.(2012·遼寧高考理科·T21)設(shè),曲線與直線在(0,0)點相切。 (1)求的值。 (2)證明:當(dāng)時,。 【解題指南】(1)

19、點在曲線上,則點的坐標(biāo)滿足曲線方程;同時據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以建立另一個方程,求出a,b;(2) 構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式 【解析】(1)由得圖象過點(0,0)得b=0; 由在點(0,0)的切線斜率, 則 (2)證明:當(dāng)時, 令,則 令,則當(dāng)時, 因此在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù),又 則時, 所以時,,即在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù), 由,則時, 故時, 19.(2012·遼寧高考文科·T21)設(shè),證明: (Ⅰ)當(dāng)x﹥1時, ﹤ ( ) (Ⅱ)當(dāng)時, 【解題指南】構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式 【解析】

20、(1)記,則 當(dāng)時,,所以在上為減函數(shù),則當(dāng)時,, 所以,即 (2)記, 則由(1)得 當(dāng)時,,則 因此函數(shù)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減, 所以時, 即 20.(2012·陜西高考理科·T21)(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù) (Ⅰ)設(shè),,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點; (Ⅱ)設(shè),若對任意,有,求的取值范圍; (Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點,判斷數(shù)列的增減性. 【解題指南】(1)根據(jù)零點存在的條件和函數(shù)的單調(diào)性進行判斷;(2)需要進行分類討論,等價轉(zhuǎn)化等,然后變形整理根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解;(3)通過轉(zhuǎn)化,可得關(guān)系。 【解析】(Ⅰ)當(dāng),,時,. ∵,∴在內(nèi)存在

21、零點. 又當(dāng)時,,∴在上是單調(diào)遞增的, ∴在內(nèi)存在唯一零點. (Ⅱ) 當(dāng)時,,對任意都有等價于在上的最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下: (ⅰ)當(dāng),即時,,與題設(shè)矛盾; (ⅱ)當(dāng),即時,恒成立; (ⅲ)當(dāng),即時,恒成立. 綜上可知,的取值范圍是. 注:(ⅱ)與(ⅲ)也可合并證明如下: 用表示中的較大者. 當(dāng),即時, 恒成立. (Ⅲ)(證法一) 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(),則, ,,于是有 , 又由(Ⅰ)知在上是遞增的,故. 所以,數(shù)列的是遞增數(shù)列. 證法二 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點, , 則的零點在內(nèi),故. 所以,數(shù)列的是遞增數(shù)列. 21.(2

22、012·陜西高考數(shù)學(xué)文科·T21)(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù) (1)設(shè),,證明:在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點; (2)設(shè)n為偶數(shù),,,求b+3c的最小值和最大值; (3)設(shè),若對任意,有,求的取值范圍. 【解題指南】(1)根據(jù)零點存在的條件和函數(shù)的單調(diào)性進行判斷;(2)把兩個絕對值不等式列出表達式,然后轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題;或?qū)Σ坏仁竭M行變形整理,直接整理出結(jié)果;(3)需要進行分類討論、等價轉(zhuǎn)化等,然后變形整理根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解. 【解析】(Ⅰ)當(dāng),,時,. ∵,∴在內(nèi)存在零點. 又當(dāng)時,,∴在上是單調(diào)遞增的, ∴在內(nèi)存在唯一零點. (Ⅱ)(方法一)∵,,, ∴,又,所以,

23、 以為橫坐標(biāo),為縱坐標(biāo)畫出可行域,如圖所示, 觀察可行域可知,在點取到最小值,在點取到最大值0, ∴的最小值為,最大值為0. (方法二)由題意可得, ,即, ① ,即, ② ①2+②得:, 當(dāng)時,;當(dāng)時,, 所以的最小值為,最大值為0. (方法三)由題意知,解得, 所以 又∵,,∴,當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以的最小值為,最大值為0. (Ⅲ)當(dāng)時,,對任意都有等價于在上的最大值與最小值之差,據(jù)此分類討論如下: (ⅰ)當(dāng),即時,,與題設(shè)矛盾; (ⅱ)當(dāng),即時,恒成立; (ⅲ)當(dāng),即時,恒成立. 綜上可知,的取值范圍是. 注:(ⅱ)與(ⅲ)也可合并證

24、明如下: 用表示中的較大者. 當(dāng),即時, 恒成立. 22.(2012·浙江高考理科·T22)(本題滿分14分)已知>0,b∈R,函數(shù)f(x)=4x3-2bx-a+b。 (Ⅰ)證明:當(dāng)0x1時, (1)函數(shù)f(x)的最大值為 (2); (Ⅱ)若對x∈恒成立,求的取值范圍。 【解題指南】本題是用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì),求最值時需分類討論求解,要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的確定,同時求的取值范圍時需化為線性規(guī)劃問題解決。 【解析】(Ⅰ)(1) 當(dāng)時,,在上為增函數(shù) = 當(dāng)時,若,即時,在上為減函數(shù) = 若,即時,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù) 而,, ∴當(dāng)時, = 當(dāng)

25、時, = (2)由于,故 當(dāng)時,+|2a-b|﹢a= 當(dāng)時,+|2a-b|﹢a= 設(shè),則 于是 0 1 - 0 + 1 減 極小值 增 1 所以, 所以,當(dāng)時, 即+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a, 且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤≤1對x[0,1]恒成立, ∴. 即和,目標(biāo)函數(shù)為z=a+b. 作圖如下: 由圖易得:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z=a+b過P(1,2)時,有;過Q(0,-1)時,有.

26、∴所求a+b的取值范圍是. 23.(2012·浙江高考文科·T21)(本題滿分15分)已知a∈R,函數(shù). (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間 (2)證明:當(dāng)0≤x≤1時,f(x)+ >0. 【解題指南】考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)時要注意分類討論,而不等式證明可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題。 【解析】(1) 當(dāng)時,,在(-∞,+∞)為增函數(shù) 當(dāng)時, 令,得 令,得 所以在上單增,在上單減,在上單增 綜上,當(dāng)時, 為增函數(shù); 當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間。 (2)由(1)可得當(dāng)時,在為增函數(shù),= 當(dāng)時,因為在上單增,在上單減,在上單增 若,即時,在為減函數(shù)

27、,= ∴f(x)+ 若,即時,在在上單減,在上單增,= 當(dāng)時, f(x)+ 令,則,, 則>0 在為增函數(shù), 當(dāng)時, f(x)+ 綜上,當(dāng)0≤x≤1時,f(x)+ >0. 24.(2012·北京高考理科·T18)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx (1) 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,求a、b的值; (2) 當(dāng)a2=4b時,求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-∞,-1]上的最大值, 【解題指南】第(1)問,交點即在上也在上,在公切點處導(dǎo)數(shù)相等;第(2)問,構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)

28、求單調(diào)區(qū)間與最大值。 【解析】(1), 由已知可得,解得。 (2), ,令,得, , 由得,;由得,。 單調(diào)遞增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間為。 ,, 當(dāng),即時,在上為增函數(shù), 當(dāng),即時,在上增,在上減,所以在處取得唯一極大值也是最大值; 當(dāng),即時,在上增,在上減,在上增,且,。 綜上,當(dāng)時,f(x)+g(x)的最大值為;當(dāng)時,f(x)+g(x)的最大值為1。 25.(2012·北京高考文科·T18)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (I) 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,求,a,b的值; (II)

29、當(dāng)a=3,b=-9時,若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28,求k的取值范圍。 【解題指南】第(1)問,交點即在上也在上,在公切點處導(dǎo)數(shù)相等;第(2)問,構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,結(jié)合h(x)的圖象,即可求出k的取值范圍。 【解析】(1), 由已知可得,解得。 (2) ,令,得 -3 1 + 0 - 0 + 增 28 減 -5 增 當(dāng)時,取極大值38;當(dāng)時,取極小值-5。 而, 如果在區(qū)間[k,2]上的最大值為28,則。 26.(2012·湖南高考理科·T22)已知函數(shù)f(x)=eax-

30、x,其中a≠0。 (1) 若對一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合。 (2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)(x1<x2),記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)>k成立?若存在,求x0的取值范圍;若不存在,請說明理由。 【解題指南】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想,轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為,從而得出a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理,通過構(gòu)造函數(shù)

31、,研究這個函數(shù)的單調(diào)性及最值來進行分析判斷. 【解析】(Ⅰ)若,則對一切,,這與題設(shè)矛盾,又, 故. 而令 當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增,故當(dāng)時,取最小值 于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)      .                 ?、? 令則 當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減. 故當(dāng)時,取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)即時,①式成立. 綜上所述,的取值集合為. (Ⅱ)由題意知, 令則 令,則. 當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增. 故當(dāng),即 從而,又 所以 因為函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使單調(diào)遞增,故這樣的是唯一的,且.故當(dāng)且僅當(dāng)時, .

32、綜上所述,存在使成立.且的取值范圍為 . 27.(2012·湖南高考文科·T22)(本小題滿分13分) 已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0. (1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;(2)在函數(shù)f(x)的圖象上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1

33、合;第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷. 【解析】令. 當(dāng)時單調(diào)遞減;當(dāng)時單調(diào)遞增,故當(dāng)時,取最小值 于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)      .                 ?、? 令則 當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減. 故當(dāng)時,取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時,①式成立. 綜上所述,的取值集合為. (Ⅱ)由題意知, 令則 令,則. 當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增. 故當(dāng),即 從而,又 所以 因為函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在 使即成立. 28.(201

34、2·江蘇高考·T18)(本小題滿分16分)若函數(shù)y=f(x)在處取得極大值或極小值,則稱為函數(shù)y=f(x)的極值點.已知a,b是實數(shù),1和是函數(shù)的兩個極值點. (1)求a和b的值; (2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求的極值點; (3)設(shè),其中,求函數(shù)的零點個數(shù). 【解題指南】(1)求出的導(dǎo)數(shù),根據(jù)1和是函數(shù)的兩個極值點代入列方程組求解即可。(2)由(1)得,,求出,令,求解討論即可。(3)比較復(fù)雜,先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況;再考慮函數(shù)的零點。 【解析】(1)由得 又因1和是函數(shù)的兩個極值點.所以的兩個根為1和。由根與系數(shù)的關(guān)系得 所以a=0,b=-3此時 (2)由得 當(dāng)時即

35、,此時函數(shù)單調(diào)遞增。 當(dāng)時即,此時函數(shù)單調(diào)遞減。 所以函數(shù)的極大值點。 (3)令,則。 先討論關(guān)于的方程 根的情況: 當(dāng)時,由(2)可知,的兩個不同的根為1 和一2 ,注意到是奇函數(shù),∴的兩個不同的根為一和2。 當(dāng)時,∵, , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。 由(1)知。 ① 當(dāng)時, ,于是是單調(diào)增函數(shù),從而。 此時在無實根。 ② 當(dāng)時.,于是是單調(diào)增函數(shù)。 又∵,,的圖象不間斷, ∴ 在(1 , 2 )內(nèi)有唯一實根。 同理,在(一2 ,一1 )內(nèi)有唯一實根。 ③ 當(dāng)時,,于是是單調(diào)減兩數(shù)。 又∵, ,的圖象不間斷, ∴在(一1,1 )內(nèi)有唯一實根

36、。 因此,當(dāng)時,有兩個不同的根滿足;當(dāng) 時 有三個不同的根,滿足。 現(xiàn)考慮函數(shù)的零點: ( i )當(dāng)時,有兩個根,滿足。 而有三個不同的根,有兩個不同的根,故有5 個零點。 ( 11 )當(dāng)時,有三個不同的根,滿足。 而有三個不同的根,故有9 個零點。 綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)有5 個零點;當(dāng)時,函數(shù)有9 個零點。 29.(2012·福建高考理科·T20) (本小題滿分14分)已知函數(shù). (Ⅰ) 若曲線在點處的切線平行于軸,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(本題的切線正好是x軸,應(yīng)改為垂直于y軸) (Ⅱ) 試確定的取值范圍,使得曲線上存在唯一的點P,曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P

37、. 【解題指南】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,一元二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,抽象概括能力,推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想,分類與整合思想,有限與無限思想. 【解析】(Ⅰ)由于 曲線在點處的切線斜率為 所以,即 此時,由得 當(dāng),有, 當(dāng),有, 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為. (Ⅱ)設(shè)點; 曲線在點處的切線方程為 令; 故曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點等價于函數(shù)有唯一零點. 因為,且 ⑴若時, 當(dāng)時,,則時, 當(dāng)時,,則時, 故只有唯一零點,由的任意性,不符合條件. ⑵若,令 則,

38、令,得 記 則當(dāng)時,,從而在內(nèi)單調(diào)遞減; 則當(dāng)時,,從而在內(nèi)單調(diào)遞增; ①當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時,,知在上單調(diào)遞增 所以函數(shù)在R上有且只有一個零點 ②當(dāng)時,由于在內(nèi)單調(diào)遞增,且, 則當(dāng)時,有, 任取,有 又當(dāng)時,易知 其中,, 由于,則必存在,使得 所以,故在內(nèi)存在零點,即在上至少有兩個零點。 ③若,仿②并利用,可證函數(shù)在上至少有兩個零點 綜上所述,當(dāng)時,曲線上存在唯一的點使該點處的切線與曲線只有一個公共點 30.(2012·廣東高考理科·T21)(本小題滿分14分) 設(shè)a<1,集合, (1)求集合D(用區(qū)間表示) (2)求函數(shù)在D內(nèi)的極值點。 【解題

39、指南】 (1)解本題的關(guān)鍵是確定集合B,構(gòu)造, 因為,因為,所以3a-9<0,方了便于比較g(x)=0的根與0的大小關(guān)系,按分四類進行討論。 (2)因為,, 所以由(1)知,時,在D內(nèi)無極值點。 然后分別和時,的極值即可. 【解析】(1)令 時,,方程有兩個不等實根,又 , 時, 時, 時,. 時, , 綜上得時, 時, 時, 時, . (2) 在上是增函數(shù),在是減函數(shù), 由(1)知,時,在D內(nèi)無極值點。 時,在D內(nèi)有極大值點x=1,無極小值點。 時,在D內(nèi)有極大值點,極小值點 31.(2012·廣東高考文科·T21)同(2

40、012·廣東高考理科·T21) 設(shè),集合. (1)求集合(用區(qū)間表示) (2)求函數(shù)在內(nèi)的極值點. 【解題指南】 (1)解本題的關(guān)鍵是確定集合B,構(gòu)造, 因為,因為,所以3a-9<0,方了便于比較g(x)=0的根與0的大小關(guān)系,按分四類進行討論。 (2)因為,, 所以由(1)知,時,在D內(nèi)無極值點。 然后分別和時,的極值即可. 【解析】(1)令 時,,方程有兩個不等實根,又 , 時, 時, 時,. 時, , 綜上得時, 時, 時, 時, . (2) 在上是增函數(shù),在是減函數(shù), 由(1)知,時,在D內(nèi)無極值點。 時,在D內(nèi)

41、有極大值點x=1,無極小值點。 時,在D內(nèi)有極大值點,極小值點。 32.(2012·湖北高考文科·T22)(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù),n為正整數(shù),a,b為常數(shù),曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y=1. (1)求a,b的值; (2)求函數(shù)f(x)的最大值 (3)證明:f(x)< . 【解題指南】本題考查導(dǎo)數(shù)在解函數(shù)中的應(yīng)用,本題(1)易解,(2)問中直接求導(dǎo),求零點討論單調(diào)性求解;(3)要構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明( 【解析】(1).因為 ,由點(1,f(1))在x+y=1上,則1+b=1,所以b=0.又,又切線x+y=1的斜率為-1,則a=1. 故:

42、a=1,b=0. (2).由(1)知, ,.令 得,即在(0,+)上有唯一零點.在(0, )上,,故單調(diào)遞增;而在(,+)上, ,故單調(diào)遞減. 故. (3).令則.在(0,1)上, ,故單調(diào)遞減;而在(1,+)上, ,故單調(diào)遞增,所以在(0,+)上的最小值為.所以.即令,得,即,也就是,由(2)知上式成立.故 f(x)< . 33.(2012·天津高考理科·T20) 已知函數(shù)的最小值為,其中. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若對任意的,有成立,求實數(shù)的最小值; (Ⅲ)證明. 【解題指南】(1)由導(dǎo)數(shù)求得最小值得出a的值; (2) 當(dāng)K>0時設(shè)函數(shù),將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題

43、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解; (3) 對a進行討論,綜合應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行證明。 【解析】(1)函數(shù)的定義域為,, 由,當(dāng)x變化時,的變化情況如下表: __ 0 + 極小值 因此,在x=1-a處取得最小值,故由題意。 (2) 當(dāng)時,取x=1,有不合題意。 當(dāng)k>0時,令即 令, ①當(dāng)時,在上恒成立,因此g(x)在上單調(diào)遞減。從而對于任意的,總有,即上恒成立。故符合題意。 ②當(dāng)對于內(nèi)單調(diào)遞增。因此當(dāng)取,即不成立,故不合題意。 綜上,的最小值為。 (3) 當(dāng)n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立, 當(dāng)時, = =, 在(2)中取,得,從而 ,所以有 = =, 綜上,.

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