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1、第2章 單自由度線性系統(tǒng)的自由振動,振動：在一定條件下，振動體在其平衡位置附近所做的往復性機械運動。 自由振動：系統(tǒng)僅受到初始條件(初始位移、初始速度)的激勵而引起的振動。 強迫振動：系統(tǒng)在持續(xù)外力激勵下的振動。,組成振動系統(tǒng)的理想元件： 質(zhì)量元件質(zhì)塊 彈性元件彈簧 阻尼元件阻尼器,2.1 振動系統(tǒng)的理想元件,圖示單自由度系統(tǒng)： m表示質(zhì)塊 c表示阻尼器 k表示彈簧,2.1.1 彈簧,彈簧的性質(zhì)：彈簧在外力作用下的響應為其端點產(chǎn)生一定的位移。,假設與說明： (1)一般假設彈簧無質(zhì)量 實際物理系統(tǒng)中的彈簧是有質(zhì)量的。若彈簧質(zhì)量相對較小，則可忽略不計;若彈簧質(zhì)量相對較大，則需考慮彈簧質(zhì)量; (2

2、)假設為線性彈簧 工程實際中，多數(shù)振動系統(tǒng)的振幅不會超出彈簧的線性范圍。 (3)假設彈簧不消耗能量，只以勢能方式貯存能量,彈簧所受外力Fs是位移x的函數(shù)： Fs = f(x) 式中：Fs彈簧的彈性恢復力，和外力方向相反。 線性彈簧： Fs = kx ，k為彈簧剛度系數(shù)，N/m。,彈簧剛度系數(shù)：使彈簧產(chǎn)生單位變形所需要的力或力矩。,,同一彈性元件，根據(jù)所要研究振動方向不同，彈簧剛度系數(shù)亦不同。,以一端固定的等直圓桿為例加以說明，如圖所示。,等效剛度系數(shù),,當確定沿x方向的剛度時，在B處沿x方向加一垂直力F。,B點在x方向的剛度系數(shù)為,根據(jù)材料力學知，B點在x方向的位移為,,當確定沿y方向的剛度

3、時，在B點沿y方向加一橫向力P。,桿作彎曲變形，根據(jù)材料力學知，B點沿y方向的位移,B點沿y方向的剛度系數(shù)為,桿件作轉(zhuǎn)扭，產(chǎn)生扭角，根據(jù)材料力學知，B點沿x軸的扭角為,當確定繞x軸的轉(zhuǎn)動方向的剛度，需要在B端繞x軸轉(zhuǎn)動方向加一扭矩M。,B點繞x軸轉(zhuǎn)動方向的剛度系數(shù)為,彈簧串并聯(lián)與等效彈簧,在機械結(jié)構(gòu)中，彈性元件往往具有比較復雜的組合形式。例如：并聯(lián)彈簧、串聯(lián)彈簧。 為簡化分析，可以用一個“等效彈簧”代替整個組合彈簧。,簡化原則：等效彈簧的剛度與組合彈簧的剛度相等，等效彈簧剛度記為keq。,等效彈簧：對于復雜組合形式的彈性元件，用一個與其具有相同剛度的彈簧來代替，則該彈簧為等效彈簧。,,并聯(lián)彈

4、簧的等效剛度,設彈簧k1、k2所受到的力分別為Fs1、Fs2，則有： Fs1= k1 (x2-x1) Fs2= k2 (x2-x1) 總作用力Fs是Fs1與Fs2之和：Fs=Fs1+Fs2=（k1+ k2）(x2-x1)= keq(x2-x1) 則： keq=k1+ k2,,對于n個剛度分別為ki (il,2,, n)的并聯(lián)彈簧系統(tǒng)，等效剛度：,,結(jié)論：并聯(lián)彈簧的等效剛度是各彈簧剛度的總和。 并聯(lián)彈簧比各組成彈簧都要硬。,串聯(lián)彈簧的等效剛度,串聯(lián)彈簧上各點的作用力Fs相等： Fs= k1 (x0-x1) Fs= k2 (x2-x0) 將以上兩式聯(lián)立，消去x0，得到：,,對于n個剛度分

5、別為ki (il,2,, n)的串聯(lián)彈簧系統(tǒng)，等效剛度：,結(jié)論：串聯(lián)彈簧等效剛度的倒數(shù)等于各彈簧剛度的倒數(shù)之和。 串聯(lián)彈簧等效剛度比原來各彈簧的剛度都要小，即串聯(lián)彈簧較其任何一個組成彈簧都要“軟”,彈簧串并聯(lián)等效剛度實例,例1 求圖示系統(tǒng)的等效彈簧剛度。,解： 圖中，彈簧剛度分別為k1和k2； 質(zhì)量m1、 m2通過剛性桿相連，相當于一個質(zhì)塊。 是并聯(lián)彈簧，還是串聯(lián)彈簧？ 并聯(lián)彈簧的特點：各彈簧變形相同，即共位移。 串聯(lián)彈簧的特點：各彈簧受力相同，即共力。 圖中，彈簧k1、k2是“共位移”的，為并聯(lián)彈簧。 系統(tǒng)的等效剛度：keq=k1+ k2,是并聯(lián)彈簧？還是串聯(lián)彈簧？,彈簧串并聯(lián)等效剛度實例

6、,例2 確定圖示混聯(lián)彈簧的等效剛度。,解： k1、k2為并聯(lián)，再與k3串聯(lián)：,,,例3 求圖示振動系統(tǒng)的等效彈簧剛度。,串聯(lián)彈簧,彈簧串并聯(lián)等效剛度實例,例4 求等效彈簧剛度。,彈簧串并聯(lián)等效剛度實例,例5 求圖示振動系統(tǒng)的等效彈簧剛度。,彈簧串并聯(lián)等效剛度實例,2.1.2 阻尼器,阻尼器的性質(zhì)：阻尼器在外力作用下的響應為其端點產(chǎn)生一定的運動速度。,假設與說明： (1)假設阻尼器的質(zhì)量忽略不計。 (2)阻尼器消耗能量，以熱能、聲能等方式耗散系統(tǒng)的機械能。,,阻尼器所產(chǎn)生的阻尼力Fd是速度的函數(shù)：,阻尼力的方向和速度方向相反。,,線性阻尼器（粘性阻尼）：阻尼力Fd是振動速度線性函數(shù)的阻尼器。即：

7、 ，c為阻尼系數(shù)，Nsm。,,,非線性阻尼器：除線性阻尼以外的各種阻尼,(1)庫侖阻尼,亦稱干摩擦阻尼 在振動過程中，質(zhì)塊與平面之間產(chǎn)生庫侖摩擦力Fc。庫侖摩擦力為常數(shù)，方向與質(zhì)塊運動速度方向相反。,,(2)流體阻尼：當物體以較大速度在粘性較小的流體中運動時，由流體介質(zhì)所產(chǎn)生的阻尼。 流體阻尼力FL與速度平方成正比，方向與運動速度方向相反。,,,,(3)結(jié)構(gòu)阻尼,,材料阻尼：由材料內(nèi)部摩擦所產(chǎn)生的阻尼。 滑移阻尼：結(jié)構(gòu)各部件連接面之間相對滑動而產(chǎn)生的阻尼。 結(jié)構(gòu)阻尼：材料阻尼與滑移阻尼統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)阻尼。 試驗表明，對材料反復加載和卸載，其應力應變曲線成一個滯后曲線。,,曲線所圍圖形面積的

8、物理意義：一個循環(huán)中，單位體積材料所消耗的能量。這部分能量以熱能形式耗散掉，從而對結(jié)構(gòu)振動產(chǎn)生阻尼。 試驗表明，多數(shù)金屬結(jié)構(gòu)的材料阻力在一個周期內(nèi)所稍耗的能量Es與振幅的平方成正比：,,2.1.3 質(zhì)塊,質(zhì)塊的性質(zhì)：質(zhì)塊在外力作用下的響應為其端點產(chǎn)生一定的加速度。,,假設：質(zhì)塊為剛體，不消耗能量。,根據(jù)牛頓定理，力F m與加速度成正比：,,如圖所示的單自由度彈簧質(zhì)量振動系統(tǒng)，質(zhì)塊m受到外界激勵力F(t)的作用。,2.2 單自由度線性振動系統(tǒng)的運動微分方程,取質(zhì)塊m取脫離體，質(zhì)塊m受力如圖所示。,x(t)質(zhì)塊位移，靜平衡位置為位移起點； Fs(t)作用在質(zhì)塊上的彈簧力； Fd(t)作用在質(zhì)塊上

9、的阻尼力。,,根據(jù)牛頓第二定律，得：,單自由度線性系統(tǒng)運動微分方程：,運動微分方程的特點及所解決的問題,運動微分方程的特點： (1)是二階常系數(shù)、非齊次線性常微分方程； (2)方程左邊完全由系統(tǒng)參數(shù)m、c與k所決定，反映了振動系統(tǒng)本身的固有特性； (3)方程右邊是振動系統(tǒng)的驅(qū)動力F(t)，即系統(tǒng)的激勵。,,由運動微分方程所要解決的問題： (1)由m、c、k所決定系統(tǒng)的固有特性； (2)在激勵F(t)作用下，系統(tǒng)會具有什么樣的響應，即x(t)=？,當彈簧與阻尼器水平放置時，無重力影響。系統(tǒng)靜平衡位置與彈簧未伸長時的位置一致。,靜位移對系統(tǒng)運動微分方程的影響,彈簧和阻尼器垂直放置 如圖。,運動微分

10、方程：,彈簧末變形時質(zhì)塊的位置與靜平衡時質(zhì)塊的位置不同,彈簧靜變形量：st=mg/k,取靜平衡位置為坐標原點，向下為坐標正方向， 運動微分方程為：,,,結(jié)論：在線性系統(tǒng)的振動分析中，可以忽略作用于系統(tǒng)上的恒力及其引起的靜態(tài)位移。,自由振動：當F(t)=0時，系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動。 無阻尼自由振動：當F(t)0、 c 0時，系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動。,2.3 單自由度線性系統(tǒng)的無阻尼自由振動,單自由度系統(tǒng)的運動微分方程：,無阻尼自由振動微分方程：,,,設：,,運動微分方程的通解：,,,式中，A1、A2待定系數(shù)； A、待定系數(shù)； A、待定系數(shù)。,由初始條件確定！,無阻尼自由振動：,x(t)振動的角頻率

11、為n。,1、固有角頻率,無阻尼自由振動的固有角頻率，rad/s。,2、固角頻率與振動周期 固有頻率fn：系統(tǒng)每秒鐘振動的次數(shù)，Hz或1s。 振動周期T：系統(tǒng)振動一次所需的時間，s。,,,3、振幅與初相角,,運動微分方程：,初始條件：,,,,(1)無阻尼線性系統(tǒng)的自由振動為等幅簡諧振動。 (2)無阻尼線性系統(tǒng)自由振動的固有角頻率、固有頻率、振動周期僅由系統(tǒng)本身參數(shù)所確定，與激勵、初始條件無關(guān)。 (3)自由振動的振幅和初相角由初始條件所確定。,結(jié)論：,簡諧振動,矢量A與垂直軸x的夾角為nt-，A在x軸上的投影就表示解x(t)=Acos(nt-) 。當nt-角隨時間增大時，意味著矢量A以角速度n按逆

12、時針方向轉(zhuǎn)動，其投影呈諧波變化。,,2.4 無阻尼自由振動固有頻率的求解方法,求無阻尼自由振動固有頻率的方法： (1)運動微分方程方法; (2)靜變形方法; (3)能量法。,,,,微幅振動時，sin，上式簡化為：,解：取為廣義坐標，運動微分方程為：,例1 繞水平軸轉(zhuǎn)動的細長桿，下端附有重錘(直桿重量和錘的體積忽略不計)，組成單擺。桿長為l，擺錘質(zhì)量m，求擺振動的固有頻率。,固有頻率：,2.4.1 根據(jù)運動微分方程求固有頻率,運動微分方程：,固有頻率：,解：取為廣義坐標。,例2 質(zhì)量為M、半徑為r的均質(zhì)圓柱體在半徑為R的圓柱面內(nèi)作無滑動滾動，如圖所示。 (1)取為廣義坐標，應用Lagrange方

13、程建立系統(tǒng)運動微分方程； (2)若系統(tǒng)做微幅振動，將運動微分方程線性化，并求固有頻率。,,,(1)系統(tǒng)動能,因：,(2)系統(tǒng)勢能 取圓柱體在鉛垂線位置時質(zhì)心所在位置為勢能零點。,,(3)Lagrange函數(shù),(4)運動微分方程,,,,(5)微幅振動微分方程,,,,固有頻率:,,,2.4.2 根據(jù)彈簧靜變形計算固有頻率,例3 均勻懸臂梁長為l，彎曲剛度為EJ，重量不計，自由端附有重為P=mg的物體，如圖所示。試寫出物體的振動微分方程，并求出頻率。,解：由材料力學知，在物體重力作用下，梁自由端靜撓度為:,固有頻率為:,對于能量無耗散的振動系統(tǒng)，自由振動時系統(tǒng)的機械能守恒。,對時間求導，得,兩個特殊

14、位置：靜平衡位置、最大位移位置。 靜平衡位置：系統(tǒng)勢能等于零，動能達到最大值Tmax。 最大位移位置：系統(tǒng)動能等于零，勢能達到最大值Vmax。,求系統(tǒng)運動微分方程,求固有頻率,2.4.3 應用能量法計算固有頻率,無阻尼自由振動對初始條件的響應：,,,最大位移（振幅）與最大速度 ：,,最大動能與最大勢能 ：,,,,固有頻率 ：,,例4 質(zhì)量為m，半徑為r的實心圓柱體，在半徑為R的圓柱形面上無滑動地滾動。求圓柱體繞平衡位置作微小振動時的固有頻率n。,解：取為廣義坐標。,最大動能:,簡諧振動時,最大勢能:,由TmaxUmax得:,,例5 如圖，擺輪2上鉸接搖桿1，不計搖桿質(zhì)量。搖桿1的另一端裝有質(zhì)量

15、m，在搖桿上聯(lián)結(jié)剛度為k的兩個彈簧以保持擺在垂直方向的穩(wěn)定位置。系統(tǒng)對0點的轉(zhuǎn)動慣量為Ie，其余參數(shù)如圖，用能量法確定系統(tǒng)固有頻率。,最大動能:,最大勢能:,由TmaxUmax:,解：取為廣義坐標。設A為振幅、n為固有頻率：,,,,,在前面的討論中，都忽略了彈簧的質(zhì)量。當彈簧本身的質(zhì)量占系統(tǒng)總質(zhì)量較小時，這樣的簡化，一般能夠滿足工程實際問題的需要。 在工程實際問題中，若彈簧本身質(zhì)量占系統(tǒng)總質(zhì)量的比例較大，則有必要考慮彈簧質(zhì)量。 忽略彈簧的質(zhì)量，將會導致計算出來的固有頻率偏高。 如何考慮彈簧本身的質(zhì)量，以確定其對振動頻率的影響，瑞利(Rayleigh)提出的一種近似方法。,考慮彈性元件質(zhì)量

16、對固有頻率的因影響,例6 如圖所示系統(tǒng)，彈簧剛度為k，彈簧長度為L、彈簧線密度為，彈簧質(zhì)量m，且mL；質(zhì)塊質(zhì)量為m。求系統(tǒng)自由振動的固有頻率。,,,,,解：假設： (1)彈簧各截面位移與其距固定端處的原始距離成正比，即距固定端l處的彈簧位移為xl/L。 (2)彈簧在l處微段dl的運動速度為l/L 。 (3)系統(tǒng)為簡諧振動，即有：,(2)最大動能 系統(tǒng)最大動能包括質(zhì)塊m的最大動能T1max和彈簧的最大功能T2max：,(1)最大勢能,由TmaxUmax:,,,(3)固有頻率,,結(jié)論：質(zhì)量為m 的均質(zhì)線性彈簧質(zhì)量振動系統(tǒng)，系統(tǒng)的等效質(zhì)量為m+m/3，即彈簧質(zhì)量m的1/3進入等效質(zhì)量。,例7 設一均質(zhì)等截面簡支梁，如圖所示。在中間有一集中質(zhì)量m，梁的線密度,如把梁本身質(zhì)量考慮在內(nèi)，試計算此系統(tǒng)的固有頻率和梁的等效質(zhì)量。,解：假定梁在自由振動時動撓度曲線和簡支梁中間有集中靜載荷mg作用下的靜撓度曲線一樣。,,梁的動能為,梁中點撓度。,系統(tǒng)為簡諧振動，即有：,系統(tǒng)最大勢能：,,由TmaxUmax:,固有頻率,