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《 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)》PPT課件.ppt

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1、1.對數(shù)的概念 (1)對數(shù)的定義 一般地,如果 ,那么數(shù)x叫做以a為底N 的對數(shù),記作 ,其中 叫做對數(shù)的底數(shù), 叫做真數(shù). (2)幾種常見對數(shù), 2.7 對數(shù)與對數(shù)函數(shù),要點(diǎn)梳理,ax=N(a0且a1),x=logaN,N,,a,,10,,e,logaN,,,,lgN,lnN,2.對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則 (1)對數(shù)的性質(zhì): ;logaaN= (a0且a1). (2)對數(shù)的重要公式: 換底公式: (a,b均大于零且不等于1); 推廣logablogbclogcd= . (3)對數(shù)的運(yùn)算法則: 如果a0且a1,M0,N0,那么 loga(MN)= ;

2、 ; logaMn= (nR); ,N,N,logad,logaM+logaN,logaM-logaN,nlogaM,3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),(0,+),R,(1,0),1,0,,y0,y<0,y<0,y0,增,減,,,,,,,4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為 ,它們的圖象 關(guān)于直線 對稱. 1.(2008全國理,4)若x(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x, 則 ( ) A.a0.ab. c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1), 又-10, ca.cab.,反函數(shù),y=x,基礎(chǔ)自測,C,2.已知3a=5b=

3、A,且 則A的值是 ( ) A.15 B. C. D.225 解析 3a=5b=A,a=log3A,b=log5A, A2=15, 或 (舍去).,B,3.已知log7log3(log2x)=0,那么 等于 ( ) A. B. C. D. 解析 由條件知log3(log2x)=1,log2x=3, Cx=8, ,C,4.(2009新鄭調(diào)研)若f(x)=logax在2,+)上恒有f(x)1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A. B. C.(1,2) D. 解析 據(jù)題意a1,f(x)為增函數(shù), 當(dāng)x2,+)時(shí),f(x)loga2. 故要使f(x)1恒成立, 只

4、需f(x)min=loga21,1

5、2) (3) 【思維啟迪】利用對數(shù)定義求值;利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì). 解 (1)方法一 利用對數(shù)定義求值 設(shè) x=-1 ,題型一 對數(shù)的運(yùn)算,方法二 利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解,(3)原式 =,(2)原式,探究拓展 (1)在對數(shù)運(yùn)算中,先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后再運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并,在運(yùn)算中要注意化同底和指數(shù)與對數(shù)互化. (2)熟練地運(yùn)用對數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對數(shù)計(jì)算、化簡、證明常用的技巧.,比較下列各組數(shù)的大小. (1) (2)log1.10.7與log1.20.7; (3)已知 比較2b,2a,2c的大小關(guān)系.

6、【思維啟迪】(1)引入中間量比較; (2)利用對數(shù)函數(shù)圖象或利用換底公式; (3)利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解. 解 (1) 而,題型二 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小,(2)方法一 0log0.71.1log0.71.2, 即由換底公式可得log1.10.7ac,而y=2x是增函數(shù),2b2a2c.,探究拓展 比較對數(shù)式的大小,或證明等式問題是對數(shù)中常見題型,解決此類問題的方法很多,當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較;若底數(shù)不同,真數(shù)相同,可轉(zhuǎn)化為同底(利用換底公式)或利用對數(shù)函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合解得;若不同底,不同真數(shù),則可利用中間量進(jìn)行比較.,(12分)已知函數(shù)f(x)=logax

7、 (a0,a1),如果對于 任意x3,+)都有|f(x)|1成立,試求a的取值范圍. 【思維啟迪】當(dāng)x3,+)時(shí),必有|f(x)|1成立,可 以理解為函數(shù)|f(x)|在區(qū)間3,+)上的最小值不小于1. 解 當(dāng)a1時(shí),對于任意x3,+),都有f(x)0. 所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3,+)上為增函數(shù), 對于任意x3,+),有f(x)loga3. 4分 因此,要使|f(x)|1對于任意x3,+)都成立. 只要loga31=logaa即可,1

8、 8分 f(x)=logax在3,+)上為減函數(shù), -f(x)在3,+)上為增函數(shù). 對于任意x3,+)都有 |f(x)|=-f(x)-loga3. 10分 因此,要使|f(x)|1對于任意x3,+)都成立, 只要-loga31成立即可, 綜上,使|f(x)|1對任意x3,+)都成立的a的取值范圍是:,探究拓展 本題屬于函數(shù)恒成立問題,即在x3,+)時(shí),函數(shù)f(x)的絕對值恒大于等于1.恒成立問題一般有兩種思路:一是利用圖象轉(zhuǎn)化為最值問題;二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問題.這里函數(shù)的底數(shù)為字母a,因此需對參數(shù)a分類討論.,已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交

9、于 A、B兩點(diǎn),分別過A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖 象交于C、D兩點(diǎn). (1)證明:點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一直線上; (2)當(dāng)BC平行于x軸時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo). 【思維啟迪】(1)證明三點(diǎn)在同一條直線上只需證明 kOC=kOD;(2)解方程組得x1,x2,代入解析式即可求解. (1)證明 設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2, 由題設(shè)知x11,x21, 則點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別為log8x1、log8x2. 因?yàn)锳、B在過點(diǎn)O的直線上,,題型四 對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用,所以 點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2), 由于 OC的斜率為 OD的斜率為 由此可知

10、k1=k2,即O、C、D在同一直線上.,(2)解 由于BC平行于x軸,知log2x1=log8x2, 即得 代入x2log8x1=x1log8x2,得 由于x11,知log8x10,故 又因x11,解得 于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為 探究拓展 本題是典型的在知識交匯點(diǎn)處的命題,若用傳統(tǒng)方法設(shè)直線方程,解方程組求交點(diǎn)必然思路受阻,而充分利用函數(shù)圖象和性質(zhì)及解析幾何的思想方法會(huì)使問題迎刃而解.,方法與技巧 1.指數(shù)式ab=N與對數(shù)式logaN=b的關(guān)系以及這兩種形式的互化 是對數(shù)運(yùn)算法則的關(guān)鍵. 2.在運(yùn)算性質(zhì)logaMn=nlogaM時(shí),要特別注意條件,在無M 0的條件下應(yīng)為logaMn=nloga|M|

11、(nN*且n為偶數(shù)). 3.注意對數(shù)恒等式、對數(shù)換底公式及等式 在解題中的靈活應(yīng)用.,失誤與防范 1.指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax(a0,且a1)互為反 函數(shù),要能從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的 聯(lián)系與區(qū)別. 2.在解決問題的思路和方法上,要注意與指數(shù)進(jìn)行比較. 3.比較兩個(gè)冪值的大小是一種常見的題型,也是一類容易做 錯(cuò)的題目.解決這類問題時(shí),首先要分清是底數(shù)相同還是指 數(shù)相同.如果底數(shù)相同,可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;如果指 數(shù)相同,可利用圖象(如下表),同一坐標(biāo)系下的圖象關(guān)系 當(dāng)?shù)状笥?時(shí),底越大,圖象越靠近坐標(biāo)軸;當(dāng)?shù)仔∮?大于0時(shí),底越小,圖象越靠近坐標(biāo)軸,

12、如果底數(shù)、指數(shù)都不同, 則要利用中間變量.,1.化簡求值. (1) (2)(lg2)2+lg2lg50+lg25; (3)(log32+log92)(log43+log83). 解 (1)原式 (2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25 =2lg2+lg25=lg100=2. (3)原式,2.已知0a1,b1,ab1,則 的大小 關(guān)系是 ( ) A. B. C. D. 解析 01, 又ab1,,C,3.已知函數(shù)f(x)=log2(x2-ax-a)在區(qū)間 上是單調(diào) 遞減函數(shù).求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 令g(x)=x2-a

13、x-a,則 由以上知g(x)的圖象關(guān)于直線 對稱且此拋物線開口 向上.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=log2g(x)的底數(shù)21, 在區(qū)間 上是減函數(shù), 所以g(x)=x2-ax-a在區(qū)間 上也是單調(diào)減函數(shù),且 g(x)0. 解得 故a的取值范圍是,4.已知函數(shù) (1)求f(x)的定義域; (2)求f(x)的值域. 解 (1)f(x)有意義時(shí),有 由、得x1,由得x1,f(x)的定義域是(1,p). (2)f(x)=log2(x+1)(p-x),,,,,.,當(dāng) 即 p3時(shí), 當(dāng) 即13時(shí),f(x)的值域是(-,2log2(p+1)-2; 當(dāng)1

14、g2(p-1)).,1.若函數(shù)y=loga(x+b)(a0,且a1)的圖象過兩點(diǎn)(-1,0) 和(0,1),則 ( ) A.a=2,b=2 B. C.a=2,b=1 D. 解析 由題意得 求得 2.D,A,3.已知點(diǎn)(m,n)在函數(shù)f(x)=ax的圖象上,則下列哪個(gè)點(diǎn)一定 在函數(shù)g(x)=-logax (a0,a1)的圖象上 ( ) A.(n,m)B.(n,-m) C.(m,-n)D.(-m,n) 解析 f(x)=ax與y=logax互為反函數(shù), 又(m,n)在f(x)=ax的圖象上, (n,m)在函數(shù)y=logax的圖象上. 又y=logax與g(x)=-logax關(guān)于x

15、軸對稱, (n,-m)在g(x)=-logax的圖象上.,B,4.(2009宜昌調(diào)研)函數(shù) 的遞增區(qū)間是 ( ) A. (-,1) B. (2,+) C.D. 解析 由x2-3x+20得x2, 當(dāng)x(-,1)時(shí),f(x)=x2-3x+2單調(diào)遞減, 而 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知 在(-,1)上是單調(diào)遞增的,而在(2,+)上是單調(diào)遞減 的.,A,5.D 6.B 7.(2008青島質(zhì)檢)計(jì)算 . 解析 原式 8.2,9.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a1),若函數(shù)y=g(x)圖象上任意一 點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象. (1)寫出函數(shù)

16、g(x)的解析式; (2)當(dāng)x0,1)時(shí)總有f(x)+g(x)m成立,求m的取值范 圍. 解 (1)設(shè)P(x,y)為g(x)圖象上任意一點(diǎn), 則Q(-x,-y)是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn), Q(-x,-y)在f(x)的圖象上, -y=loga(-x+1),即y=g(x)=-loga(1-x). (2)f(x)+g(x)m,即,,設(shè) 由題意知,只要F(x)minm即可. F(x)在0,1)上是增函數(shù), F(x)min=F(0)=0.故m0即為所求. 10. 11.(1) (2) 12.(1) (-,-b)(b,+) (2)奇函數(shù) (3)當(dāng)01時(shí),f(x)分別在(-,-b)和(b,+)上是減函數(shù).,返回,

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