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1、實二次型的合同標準形與正交標準形,楊忠鵬陳智雄晏瑜敏林志興,2007年6月30日,莆田學院數(shù)學系,福建省高等代數(shù)與線性代數(shù)課程建設第八次研討會,一、二次型的基本問題,（1）,（1）可被唯一表示為,（2）,基本問題：,（3）,其中 , 可逆,常用的實二次型化簡,二、目前的教材處理情況,1. 北大教材1,將基本知識分散處理于三部分,距離遠、聯(lián)系差,,2. 張禾瑞、郝鈵新：高等代數(shù)（第四版）2,福師大所編教材3的處理與2相似（只講 第六章 二次型，第七章 歐氏空間），3另一個特點是二次型從簡單的線性函數(shù)和雙線性函數(shù)入門（也綜合1的較高的起點）.,3. 非數(shù)學專業(yè)教材,兩種標準形是緊密出現(xiàn)的,4.

2、 新出版的一些高等代數(shù)教材,姚慕生8,實對稱矩陣的正交相似標準型是比一般合同標準型更強有力的工具.（見8,P246）,張賢科9,結構有較大變化，分三部分：, 選學內容,三、幾點看法,1. 實二次型兩種標準形的重要性,數(shù)學專業(yè)教材,新編教材,2. 要注重討論的幾何背景,合同標準形可給出二次曲面的仿射分類,9,8.8 二次曲面的仿射分類, 定理8.13,9, 9.5 二次曲面的正交分解, 定理9.12,3. 要加強對正交矩陣相關性質的教學,運算性質,與正交標準形相關的矩陣分解,應用:,i) 分解,設 , 如果 ,則有唯一的正交矩陣 和正上三角矩陣 使得 .,) 矩陣偶 (文獻1

3、 第九章 補充題10),設 都是實對稱矩陣且 是正定的,證明存在實可逆 矩陣 , 使 與 同時為對角矩陣.,) 正定矩陣的正定平方根,設 是一個正定矩陣, 證明存在一個正定矩陣 ,使得 .,) 極分解（北師大高等代數(shù)第四版9.4習題）,設 為可逆矩陣, 證明存在正定矩陣 和正交 矩陣 , 使得 .,) 奇異值分解,設 為可逆矩陣, 證明存在正交矩陣 和 使 得,參考文獻：,1 北京大學編, 高等代數(shù)（第三版）, 高等教育出版社, 2003年.,2 張禾瑞, 郝鈵新編, 高等代數(shù)(第四版), 高等教育出版社, 1999年.,3 陳昭木,陳清華,王華雄,林亞南編著, 高等代數(shù)(下), 福建教育出版社, 1992年.,4 居余馬, 線性代數(shù)(第二版), 清華大學出版社, 2002年.,5 同濟大學應用數(shù)學系編, 線性代數(shù)(第四版), 高等教育出版社, 2003年.,6 吳贛昌 主編, 線性代數(shù)(理工類), 中國人民大學出版社, 2006年.,7 邱維聲, 高等代數(shù)(上冊), 高等教育出版社, 北京, 2002年.,8 姚慕生, 高等代數(shù)(大學數(shù)學學習方法指導叢書), 復旦大學出版社, 2002年.,9 張賢科,許甫華, 高等代數(shù)學(第二版), 清華大學出版社, 2004年.,謝 謝 !,