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1、考點49 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型
一、選擇題
1.(2012·湖北高考理科·T8)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A,OB為直徑作兩個半圓。在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自陰影部分的概率是( )
A. B. C. D.
【解題指南】本題考查幾何概型,解答的關(guān)鍵是充分利用圖形的特征,求出陰影部分的面積,再帶入概率公式求解.
【解析】選A. 設(shè)OA=2, 則扇形OAB面積為π.陰影部分的面積為: ,由可知結(jié)果.
2.(2012·湖北高考文科·T10)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以O(shè)A
2、,OB為直徑作兩個半圓。在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自陰影部分的概率是( )
A. B. C. D.
【解題指南】本題考查幾何概型,解答的關(guān)鍵是充分利用圖形的特征,求出陰影部分的面積,再帶入概率公式求解.
【解析】選C. 設(shè)OA=2, 則扇形OAB面積為π.陰影部分的面積為: ,由可知結(jié)果.
3.(2012·北京高考文科·T3)與(2012·北京高考理科·T2)相同
設(shè)不等式組,表示平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點,則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是( )
(A) (B) (C
3、) (D)
【解題指南】分別求出平面區(qū)域D及到原點距離大于2的點所對應(yīng)區(qū)域的面積,作比即可求出概率.
【解析】選D.平面區(qū)域D的面積為4,到原點距離大于2的點位于圖中陰影部分所示,其面積為4-,所以概率為.
4.(2012·遼寧高考文科·T11)在長為12cm的線段AB上任取一點C. 現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積大于20cm2的概率為( )
(A) (B) (C) (D)
【解題指南】設(shè)其中一段長為cm,則另一段長為cm,其中cm,
利用求得的取值范圍,利用幾何概型求
4、得概率.
【解析】選C. 設(shè)其中一段AC長為cm,則另一段BC長為cm,其中cm
由題意,則點C的取值長度8cm,故概率為.
5.(2012·遼寧高考理科·T10)在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形,領(lǐng)邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積小于32cm2的概率為( )
(A) (B) (C) (D)
【解題指南】設(shè)其中一段長為cm,則另一段長為cm,其中cm,
利用求得的取值范圍,利用幾何概型求得概率.
【解析】選C. 設(shè)其中一段AC長為cm,則另一段BC長為cm,其中cm
由題
5、意,則點C的選取的長度4+4=8cm,故概率為.
6.(2012·安徽高考文科·T10)袋中共有6個除了顏色外完全相同的球,其中有1個紅球,2個白球和3個黑球,從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于( )
(A) (B) (C) (D)
【解題指南】將所有結(jié)果一一列出,根據(jù)古典概型即可求出兩球顏色為一白一黑的概率.
【解析】選.1個紅球,2個白球和3個黑球記為
從袋中任取兩球共有15種;
滿足兩球顏色為一白一黑有種,概率等于.
二、填空題
7. (2012·江蘇高考·T6)現(xiàn)有10個數(shù),它們能構(gòu)成一個以1為首項,-3為公比的等
6、比數(shù)列,若從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù),則它小于8的概率是 .
【解題指南】從等比數(shù)列的通項公式和等可能事件的概率,兩方面處理.
【解析】這十個數(shù)是,所以它小于8的概率等于.
【答案】.
8.(2012·浙江高考文科·T12)從邊長為1的正方形的中心和頂點這五點中,隨機(jī)(等可能)取兩點,則該兩點間的距離為的概率是___________.
【解題指南】古典概型問題, 該兩點間的距離為的情況可列舉得出.
【解析】若使兩點間的距離為,則為對角線一半,選擇點必含中心,概率為.
【答案】.
9.(2012·新課標(biāo)全國高考理科·T15)某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成
7、,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作,設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布N(1000,),且各個元件能否正常相互獨立,那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為
【解題指南】由正態(tài)分布的意義求得三個元件使用壽命超過1000小時的概率,然后將部件的使用壽命超過1000小時的可能情況列出,利用相互獨立事件的概率公式求解.
【解析】設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1000小時的事件分別記為A,B,C,顯然
該部件的使用壽命超過1000的事件為,
該部件的使用壽命超過1000小時的概率為.
【答案】.
三、解答題
10.(2
8、012·江西高考文科·T18)如圖所示,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0,)B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個點中隨機(jī)選取3個點.
(1)求這3點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的概率;
(2) 求這3點與原點O共面的概率.
【解題指南】把從6個點中取3個點的情況全部列舉出來,然后找出(1)(2)情況中所包含的基本事件的個數(shù),然后把比值求出得所求概率.
【解析】從這6個點中隨機(jī)選取3個點的所有可能結(jié)果是:
軸上取2個點的有,共4種
軸上取2個點的有,,,,共4種
軸上取2個點的有,,,共4種
所選取的3個點有不同坐標(biāo)軸
9、上有,,
共8種.因此,從這6個點中隨機(jī)選取3個點的所有可能結(jié)果共20種.
(1)選取的這3個點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的所有可能結(jié)果有:,共2種,因此,這3個點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的概率為 .
(2)選取的這3個點與原點O共面的所有可能結(jié)果有:
,,共12種,因此,這3個點與原點O共面的概率為
.
11.(2012·山東高考文科·T18)袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號分別為1,2.
(Ⅰ)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率;
(Ⅱ)現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片,從這六張卡片
10、中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率.
【解題指南】(I)本題考查古典概型,要將基本事件都列出,然后找兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4所含的基本事件的個數(shù),由古典概型概率公式求得結(jié)果.(II)再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片,列出基本事件,然后找出這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4所含的基本事件的個數(shù),由古典概型概率公式求得結(jié)果.
【解析】(I)從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下10種:紅1紅2,紅1紅3,紅1藍(lán)1,紅1藍(lán)2,紅2紅3,紅2藍(lán)1,紅2藍(lán)2,紅3藍(lán)1,紅3藍(lán)2,藍(lán)1藍(lán)2.其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有3種情況,故所求的概率為.
(II)加入一
11、張標(biāo)號為0的綠色卡片后,從六張卡片中任取兩張,除上面的10種情況外,多出5種情況:紅1綠0,紅2綠0,紅3綠0,藍(lán)1綠0,藍(lán)2綠0,即共有15種情況,其中顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有8種情況,所以概率為.
12.(2012·天津高考文科·T15)某地區(qū)有小學(xué)21所,中學(xué)14所,大學(xué)7所,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.
(I)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目.
(II)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析,
(1)列出所有可能的抽取結(jié)果;
(2)求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率.
【解題指南】按抽取的比例計算抽取的學(xué)校數(shù)目;
12、用列舉法、古典概率公式計算概率.
【解析】(I)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.
(II)(1)在抽取到的6所學(xué)校中,3所小學(xué)分別記為,2所這中學(xué)分別記為,1所大學(xué)記為,則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為,,,,共15種.
(2)從這6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為,共3種,所有.
13. (2012·新課標(biāo)全國高考文科·T18)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售。如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(Ⅰ)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,
13、n∈N)的函數(shù)解析式.
(Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
10
20
16
16
15
13
10
(1)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù);
(2)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率.
【解題指南】(I)根據(jù)題意建立利潤與需求量的分段函數(shù);
(II)(1)由表中數(shù)據(jù),每一段上的(天數(shù)利潤)求和后再取平均值,即得平均數(shù);(2)通過表
14、格求得各段上的頻率,然后利用互斥事件的概率加法公式求得不少于75元的概率.
【解析】(I)當(dāng)日需求理時,利潤.
當(dāng)日需求量時,利潤.
所以關(guān)于的函數(shù)解析式為
.
(II)(1)這100天中有10天的日利潤為55元,20天的日利潤為65元.16天的日利潤為75元,54天的日利潤為85元,所以這100天的日利潤的平均數(shù)為
.
(2)利潤不低于75元當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于16枝,故當(dāng)天的利潤不少于75元的概率為.
14.(2012·陜西高考文科·T19)(本小題滿分12分)
假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等,為了解他們的使用壽命,現(xiàn)從兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽
15、取100個進(jìn)行測試,結(jié)果統(tǒng)計如下:
(Ⅰ)估計甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率;
(Ⅱ)這兩種品牌產(chǎn)品中,,某個產(chǎn)品已使用了200小時,試估計該產(chǎn)品是甲品牌的概率.
【解題指南】根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)和其他已知數(shù)據(jù)計算有關(guān)頻率作為概率的估計值.
【解析】(Ⅰ)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的頻率為,用頻率估計概率,所以,甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率為.
(Ⅱ)根據(jù)抽樣結(jié)果,壽命大于200小時的產(chǎn)品有75+70=145個,其中甲品牌產(chǎn)品是75個,所以在樣本中,壽命大于200小時的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是,用頻率估計概率,所以已使用了200小時的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為.
15.(2012·福建高考文科·T17) (本小題滿分12分)
在等差數(shù)列和等比數(shù)列中,,,的前10項和.
(Ⅰ)求和;
(Ⅱ)現(xiàn)分別從和的前3項中各隨機(jī)抽取一項,寫出相應(yīng)的基本事件,并求這兩項的值相等的概率.
【解題指南】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、古典數(shù)列等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想.
【解析】(Ⅰ)設(shè)的公差為,的公比為.依題意得
,
解得,,
所以,.
(Ⅱ)分別從和的前3項中各隨機(jī)抽取一項,得到的基本事件有9個:
,,,,,,,,
符合題意的基本事件有2個:,.
故所求的概率.