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1、考點33 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積
一、選擇題
1.(2012·江西高考文科·T7)若一個幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為( )
A. B.5 C.4 D.
【解題指南】由三視圖想像出幾何體的直觀圖,由直觀圖求得體積。
【解析】選D.由三視圖可判斷該幾何體為直六棱柱,其底面積為4,高為1,所以體積為4.
2.(2012·新課標(biāo)全國高考文科·T7)與(2012·新課標(biāo)全國高考理科·T7)相同
如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視
2、圖,則此幾何體的體積為( )
A.6 B.9 C.12 D.18
【解題指南】由三視圖想像出幾何體的直觀圖,由直觀圖求得體積。
【解析】選B.由題意知,此幾何體是三棱錐,其高h=3,相應(yīng)底面面積為.
3.(2012·新課標(biāo)全國高考理科·T11)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為( )
B. C. D.
【解題指南】思路一:取AB的中點為將
3、棱錐分割為兩部分,利用求體積;思路二:設(shè)點到面的距離為d,利用求體積;
思路三:利用排除法求解.
【解析】選A 方法一:是球O的直徑,
,,,取AB的中點為,顯然,,平面CDS
在中,,,,利用余弦定理可得
故,
+
方法二:的外接圓的半徑,點到面的距離
為球的直徑點到面的距離為
此棱錐的體積為.
方法三:排除.
4.(2012·新課標(biāo)全國高考文科·T8)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為,則此球的體積為( )
(A)π (B)4π (C)4π (D)6π
【解題指南】利用球心到截面的距離、截面圓
4、的半徑、球的半徑之間滿足勾股關(guān)系求得球的半徑,然后利用公式求得球的體積。
【解析】選B 設(shè)球O的半徑為R,則,故.
5.(2012·陜西高考文科·T8)將正方形(如圖1所示)截去兩個三棱錐,得到圖2所示的幾何體,則該幾何體的左視圖為 ( )
【解題指南】結(jié)合原正方體,確定兩個關(guān)鍵點,和兩條重要線段和的投影.
【解析】選B. 圖2所示的幾何體的左視圖由點A,D,,確定外形為正方形,判斷的關(guān)鍵是兩條對角線和是一實一虛,其中要把和區(qū)別開來,故選B.
6.(2012·浙江高考文科·T3)已知某三棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該三棱錐的體積是( )
A.1c
5、m3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3
【解題指南】由三視圖可知,幾何體底面是兩直角邊分別是1和2的直角三角形,高為3的棱錐.
【解析】選A.三棱錐的體積為: (cm3).
7.(2012·北京高考文科·T7)與(2012·北京高考理科·T7)相同
某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是( )
4
2
3
4
側(cè)(左)視圖
俯視圖
正(主)視圖
(A)28+(B)30+(C)56+(D)60+
【解題指南】由三視圖還原直觀圖,再求表面積.
【解析】選B直觀圖如圖所示,
P
B
6、
A
C
H
底面是邊長AC=5,BC=4的直角三角形,且過頂點P向底面作垂線PH,垂足在AC上,AH=2,HB=3,PH=4.,.因為,所以.又因為,所以.所以.所以.在中,,取PA中點E,連結(jié)BE,則,所以.因此三棱錐的表面積為.
8.(2012·湖南高考理科·T3)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示,則該幾何體的俯視圖不可能是( )
【解題指南】從俯視圖觀察可知,正視圖和測試圖不同的是D,正視圖應(yīng)有虛線.
【解析】選D. 由“正視圖俯視圖等長,側(cè)視圖俯視圖等寬”,知本命題正視圖與側(cè)視圖相同,可知選D.
9.(2012·湖南高考文科·T4)某幾何體的正視圖和側(cè)
7、視圖均如圖1所示,則該幾何體的俯視圖不可能是( )
【解題指南】找出正視圖和側(cè)視圖不相同的俯視圖。
【解析】選C. “正視圖俯視圖等長,側(cè)視圖俯視圖等寬”,本題正視圖與側(cè)視圖相同,可知選C.
10.(2012·福建高考文科·T4)與(2012·福建高考理科·T4)相同
一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等,那么這個幾何體不可以是( )
A.球 B.三棱錐 C.正方體 D.圓柱
【解題指南】通過了解基本空間幾何體的各個視圖分別是什么就能直接解題.
【解析】選D. 圓柱的三視圖,分別矩形,矩形,圓,不可能三個視圖都一樣,而球的三視圖可以都是圓,三棱錐的三視
8、圖可以都是三角形,正方體的三視圖可以都是正方形.
11.(2012·廣東高考理科·T6)某幾何體的三視圖如圖所示,
它的體積為
A.12π B.45π C.57π D.81π
【解題指南】根據(jù)三視圖準確判斷出此幾何體的形狀,是解決本題的關(guān)鍵。本題顯然是一個由同底的圓柱和圓錐組成的組合體。
【解析】選C. 此幾何體是一個組合體,上方為一個圓錐,下方為一個同底的圓柱,所以其體積為.
12.(2012·廣東高考文科·T7)某幾何的三視圖如圖所示,它的體積為
A.72π B.48π C.30π
9、 D.24π
【解題指南】根據(jù)三視圖準確判斷出此幾何體的形狀,是解決本題的關(guān)鍵。顯然本題是一個由一個半球和倒立的圓錐組成的組合體。
【解析】選C. 由三視圖可知一個由一個半球和倒立的圓錐組成的組合體。
.
13.(2012·湖北高考理科·T4)已知某幾何體的三視圖如圖所示,
則該幾何體的體積為( )
A. B.3π C. D.6π
【解題指南】本題考查三視圖與組合體的體積求法,解答本題的關(guān)鍵是正確的想象出直觀圖,再補體代入體積公式求解.
【解析】選B. 解答本題可采取補上一個與它完全相同的幾何體,
二、填空題
14.(2012·湖北高考
10、文科·T15)已知某幾何體的三視圖如圖所示,
則該幾何體的體積為
【解題指南】本題考查三視圖與組合體的體積求法,解答本題的關(guān)鍵是正確地想象出直觀圖,再代入體積公式求解.
【解析】由本題的三視圖可知,該幾何體是由三個圓柱組合而成,其中左右兩個圓柱等體積.V=π×22×1×2+π×12×4=12π.
【答案】12π.
15.(2012·江蘇高考·T7)在長方體中,,則四棱錐的體積為 .
【解題指南】關(guān)鍵是求出四棱錐的高,即A到面的距離.再接利用公式進行求解.
【解析】由題意知,四邊形ABCD為正方形,連接AC,交BD于O,則AC⊥BD.由面面垂直的性質(zhì)
11、定理,可證AO⊥面。四棱錐底面的面積為,從而.
【答案】6.
16.(2012·浙江高考理科·T11)已知某三棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該三棱錐的體積等于________.
【解題指南】由三視圖可知幾何體是一條側(cè)棱與底面垂直的棱錐,而底面為直角三角形,易由錐體的體積公式可求得.
【解析】三棱錐的體積為: .
【答案】1.
17.(2012·天津高考理科·T10)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積為__________.
【解題指南】由三視圖正確判斷出組合體的圖形是關(guān)鍵.
【解析】組合體的上座是一個長、寬、高分別為6、3、、1的長方體,下面
12、是兩個個底面半徑為1的相切的球體,所以所求的體積是:
.
【答案】.
18.(2012·天津高考文科·T10)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積為__________.
【解題指南】由三視圖正確判斷出組合體的圖形是關(guān)鍵.
【解析】組合體的底座是一個長、寬、高分別為4、3、2的長方體,上面是個平躺著的高為4的四棱臺,其兩個底面的面積相等,所以所求的體積是:
=6+24=30.
【答案】30.
19. (2012·山東高考理科·T14)如圖,正方體的棱長為1,分別為線段上的點,則三棱錐的體積為____________.
【解題指南】本題考查利用換頂
13、點法來求三棱錐的體積,只需知道上的任意一點到面 的距離相等.
【解析】的面積為正方形面積的一半,三棱錐的高即為正方體的棱長,所以.
【答案】.
20.((2012·山東高考文科·T13)如圖,正方體的棱長為1,E為線段上的一點,則三棱錐的體積為_____.
【解題指南】本題考查利用換頂點法來求三棱錐的體積,只需知道上的任意一點到面 的距離相等.
【解析】以△為底面,則易知三棱錐的高為1,故.
【答案】.
21.(2012·安徽高考理科·T12)某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是
【解題指南】根據(jù)“長對正、寬相等、高平齊”的原則作出幾何體
14、的直觀圖.
【解析】該幾何體是底面是直角梯形,高為的直四棱柱
幾何體的表面積是.
【答案】.
22.(2012·安徽高考文科·T12)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于_____
.
【解題指南】根據(jù)“長對正、寬相等、高平齊”的原則作出幾何體的直觀圖.
【解析】該幾何體是底面是直角梯形,高為的直四棱柱,幾何體的的體積是.
【答案】.
23.(2012·遼寧高考理科·T13)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為______________.
【解題指南】讀懂三視圖,它是長方體(挖去一個底面直徑為2cm的圓柱) ,分別求表面積,注意減去圓柱的兩個底
15、面積.
【解析】一個長方體的長寬高分別為4,3,1,表面積為;
圓柱的底面圓直徑2,母線長1,側(cè)面積為;圓柱的兩個底面積
故該幾何體的表面積為.
【答案】38.
24. (2012·遼寧高考文科·T13)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_______________.
【解題指南】讀懂三視圖,它是圓柱和長方體的組合,分別求體積即可.
【解析】該組合體上邊是一個圓柱,底面圓直徑2,母線長1;體積下面是一個長方體;長寬高分別為4,3,1,體積.故組合體體積.
【答案】.
25.(2012·遼寧高考文科·T16)已知點P,A,B,C,D是球O表面上的點,PA⊥平面
16、ABCD,四邊形ABCD是邊長為2正方形.若PA=2,則△OAB的面積為______________.
【解題指南】注意到條件中的垂直關(guān)系,將點P,A,B,C,D看作長方體的頂點來考慮就容易多了.
【解析】由題意,PA⊥平面ABCD,則點P,A,BC,D,可以視為球O的內(nèi)接長方體的頂點,球O位于該長方體的對角線的交點處,那么三角形OAB的面積為長方體對角面的四分之一.
.
【答案】.
26.(2012·新課標(biāo)全國高考文科·T19)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點.
(I)證明:平面BDC1⊥平面BDC;
17、(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.
C
B
A
D
C1
A1
【解題指南】(1)證兩個平面垂直,可轉(zhuǎn)化為在其中一個平面內(nèi)找到一條直線與另一個平面垂直,要證平面BDC1⊥平面BDC,可證 平面BCD;
(2)平面BDC1分棱柱下面部分為四棱錐,可直接求體積,上面部分可用間接法求得體積,從而確定兩部分體積之比.
【解析】(I)由題設(shè)可知,所以平面.
又平面,所以.
由題設(shè)知,所以,即.又
所以平面.又平面,故平面平面
(II)設(shè)棱錐的體積為,.由題意得
又三棱柱的體積,所以.
故平面分此棱柱所得兩部分
18、體積的比為1:1.
27.(2012·江西高考文科·T19)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F(xiàn)是線段AB上的兩點,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.現(xiàn)將△ADE,△CFB分別沿DE,CF折起,使A,B兩點重合與點G,得到多面體CDEFG.
(1) 求證:平面DEG⊥平面CFG;
(2) 求多面體CDEFG的體積.
【解題指南】(1)證兩個平面垂直,可轉(zhuǎn)化為在其中一個平面內(nèi)找到一條直線與另一個平面垂直,要證DEG⊥平面CFG,可證;
(2)多面體CDEFG為四棱錐,由DEG⊥平面CFG得到四棱錐的高,利用體積公式求體積.
【解析】(1)由已知可得AE=3,BF=4,則折疊完后EG=3,GF=4,又因為EF=5,所以可得
又因為,可得,即所以平面DEG⊥平面CFG.
(2)過點G作GO垂直于EF,GO即為四棱錐G-EFCD的高,所以所求體積為
S長方形DEFC·GO=×4×5×=16.