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1、. 概率論習(xí)題冊答案 第一章 隨機(jī)事件及其概率 1.1 樣本空間與隨機(jī)事件 一、 計(jì)算下列各題 1.寫出下列隨機(jī)實(shí)驗(yàn)樣本空間： (1) 同時(shí)擲出三顆骰子，記錄三只骰子總數(shù)之和； (2) 10只產(chǎn)品中有3次產(chǎn)品，每次從中取一只（取出后不放回），直到將3只次品都取出，記錄抽取的次數(shù)； (3) 一只口袋中有許多紅色、白色、藍(lán)色乒乓球，在其中抽取4只，觀察它們具有哪種顏色； (4) 有三只盒子，三只球，將三只球，裝入三只盒子中，使每只盒子裝一只球，觀察裝球情況； (5) 將一尺之棰折成三段，觀察各段的長度。 解 1（1）； （2）； （3）；其中分別表示紅色，白色和藍(lán)色；

2、 （4）其中表示求放在盒子中，可類推； （5）其中分別表示三段之長。 2. 設(shè)為三事件，用運(yùn)算關(guān)系表示下列事件： （1）發(fā)生,和不發(fā)生； （2）與都發(fā)生, 而不發(fā)生； （3）均發(fā)生； （4）至少一個(gè)不發(fā)生； （5）都不發(fā)生； （6）最多一個(gè)發(fā)生； （7）中不多于二個(gè)發(fā)生；（8）中至少二個(gè)發(fā)生。 解 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8） 3．下面各式說明什么包含關(guān)系？ (1) ； (2) ； (3) 解 （1）； （2）； （3） 4. 設(shè)具體寫出下列各事件： (1) ， (2) ，

3、(3) ， (4) ， (5). 解 （1）{5}； (2){1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3){2,3,4,5}； (4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。 5．如下圖，令表示“第個(gè)開關(guān)閉合”, ，試用表示下列事件，（1）系統(tǒng)Ⅰ為通路，（2）系統(tǒng)Ⅱ?yàn)橥贰? 系統(tǒng)Ⅰ 系統(tǒng) Ⅱ 15 23123 4 4 6 解 (1) (2) 。 1.2 事件的頻率與概率 一．填空題 1．設(shè)事件的概率分別為0.5，0.6

4、，且互不相容，則積事件的概率 0 ； 2．設(shè)隨機(jī)事件及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6，若表示對立事件，那么積事件的概率 0.3 ； 3. 已知P(A)=0.4, P(B)=0.3, (1) 當(dāng)A,B互不相容時(shí), P(A+B)== 0.7; P(AB)= 0 . (2) 當(dāng)B+A時(shí), P(A+B)== 0.4 ; P(AB)= 0.3 ； 4. 若,;; =。 二、選擇題 1. 若二事件和同時(shí)出現(xiàn)的概率P()=0則（C） （A）和不相容；（B）是不可能事件； （C）未必是不可能事件；（D）P()=0或P()=0. 2. 對于任意二

5、事件和有 (C ) (A) ; （B）; （C）; （D）. 3. 設(shè)A,B是任意兩個(gè)概率不為0的不相容的事件,則下列事件肯定正確的（D） (A) 不相容;(B)相容;(C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A). 4. 當(dāng)事件A、B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生則（B） 三、計(jì)算下列各題 1. 已知，求事件全不發(fā)生的概率。 2 某地有甲、乙、丙三種報(bào)紙，該地成年人中有20%讀甲報(bào)，16%讀乙報(bào)，14%讀丙報(bào)，其中8%兼讀甲和乙報(bào)，5%兼讀甲和丙報(bào)，4%兼讀乙和丙報(bào)，又有2%兼讀所有報(bào)紙，問成年人至少讀一種報(bào)紙的概率。 解

6、3. 某門課只有通過口試及筆試兩種考試，方可結(jié)業(yè). 某學(xué)生通過口試概率為80%，通過筆試的概率為65%，至少通過兩者之一的概率為75%，問該學(xué)生這門課結(jié)業(yè)的可能性有多大？ 解 A=“他通過口試”，B=“他通過筆試”,則 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70 即該學(xué)生這門課結(jié)業(yè)的可能性為70%。 4. 向三個(gè)相鄰的軍火庫投擲一個(gè)炸彈，炸中第一個(gè)軍火庫的概率為0.025，其余二個(gè)各為0.1. 只要炸中一個(gè)，另兩個(gè)也要爆炸. 求軍火庫發(fā)生爆炸的概率。 解 設(shè)A、B、C分

7、別表示炸彈炸中第一、第二、第三軍火庫這三個(gè)事件，D表示軍火庫爆炸這個(gè)事件，則 P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225. 四、證明題 試證. 證 。 1.3古典概型與幾何概型 一、填空題 1．一部四卷的文集，按任意次序放在書架上，各卷自左向右，或自右向左順序恰好為1、2、3、4概率為； 2．一批(個(gè))產(chǎn)品中有個(gè)次品、從這批產(chǎn)品中任取個(gè)，其中恰有個(gè)個(gè)次品的概率是； 3．某地鐵車站, 每5分鐘有一趟列車到站，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，則乘客侯車時(shí)間不超過3分鐘的概率為 0.6； 4．在區(qū)間（0, 1）中

8、隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于 ”的概率為 0.68 ； 5. 將C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么恰好排成英文單詞SCIENCE的概率為 1/1260 ； 6.在區(qū)間中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的絕對值小于的概率為。 二、選擇題 1. 張獎(jiǎng)券中含有張有獎(jiǎng)的，個(gè)人購買，每人一張，其中至少有一人中獎(jiǎng)的概率是（B） (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2. 擲兩枚均勻硬幣,出現(xiàn)一正一反的概率是（B） 三、計(jì)算下列各題 1．已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)取一只，作不放回抽樣，

9、求下列事件的概率。 （1）兩只都是正品 ；（2）兩只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。 解 （1） 2. 把10本書任意放在書架上，求其中指定的5本書放在一起的概率。 解 3. 某學(xué)生宿舍有8名學(xué)生，問（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？ 解 。 4．從0 ~ 9中任取4個(gè)數(shù)構(gòu)成電話號(hào)碼（可重復(fù)?。┣螅? （1）有2個(gè)電話號(hào)碼相同，另2個(gè)電話號(hào)碼不同的概率； （2）取的至少有3個(gè)電話號(hào)碼相同的概率。 解 ； 5. 某工廠生產(chǎn)過程中每批出

10、現(xiàn)次品的概率為0.05,每100個(gè)產(chǎn)品為一批,檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí),在每一批任取一半來檢查,如果發(fā)現(xiàn)次品不多于一個(gè),則這批產(chǎn)品可以認(rèn)為是合格的.,求一批產(chǎn)品被認(rèn)為是合格的概率。 解 。 6. 隨機(jī)地將15名新生平均分配到三個(gè)班中，這15名新生有3名優(yōu)秀生.求（1）每個(gè)班各分一名優(yōu)秀生的概率（2）3名優(yōu)秀生在同一個(gè)班的概率。 解 基本事件總數(shù)有種 (1) 每個(gè)班各分一名優(yōu)秀生有3! 種, 對每一分法,12名非優(yōu)秀生平均分配到三個(gè)班中分法總數(shù)為種, 所以共有種分法. 所以 p =. (2)3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班, 分法有3種, 對每一分法,12名非優(yōu)秀生分配到三個(gè)班中分法總

11、數(shù)為, 共有種, 所以 q =。 7. 隨機(jī)的向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)連線與軸的夾角小于的概率。 解 這是幾何概型, 樣本空間占有面積為, 所求事件占有面積為 所以, 所求概率。 8. 設(shè)點(diǎn)隨機(jī)地落在平面區(qū)域D: |p|≤1, |q|≤1上, 試求一元二次方程兩個(gè)根 (1) 都是實(shí)數(shù)的概率, (2) 都是正數(shù)的概率。 1.4 條件概率 三、計(jì)算下列各題 1．某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格品在有75件一等品，試求在該產(chǎn)品任取一件的是一等品的概率。 解 。 2. 設(shè)某種動(dòng)物由出生而活到2

12、0歲的概率為 0.8，活到25歲的概率為0.4，求年齡為20 歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。 解 。 3. 在100個(gè)次品中有10 個(gè)次品，每次從任取一個(gè)（不放回），求直到第4次才取到正品的概率。 解=“第次取到正品” =1，2，3，4. 4. 比賽規(guī)定5局比賽中先勝3局為勝，設(shè)甲、乙兩人在每局中獲勝的概率分別為0.6和0.4，若比賽進(jìn)行了兩局，甲以2︰0領(lǐng)先，求最終甲為勝利者的概率。 解 設(shè) B=“最終甲勝”，Ai=“第i局甲勝” 四、證明題 1. 若，且證明。 證 。 2. 證明事件與互不相容，且0<<1,則。 證。 1.5全概率公式和貝

13、葉斯公式 三、 計(jì)算下列各題 1. 三個(gè)箱子, 第一個(gè)箱子里有4個(gè)黑球1個(gè)白球, 第二個(gè)箱子里有3個(gè)黑球3個(gè)白球, 第三個(gè)箱子里有3個(gè)黑球5個(gè)白球, 求（1）隨機(jī)地取一個(gè)箱子，再從這個(gè)箱子取出一球?yàn)榘浊虻母怕? （2）已知取出的一個(gè)球?yàn)榘浊? 此球?qū)儆诘诙€(gè)箱子的概率。 解=“在第箱取球” =1，2，3，=“取出一球?yàn)榘浊颉? 2. 設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱、3箱、2箱，三廠產(chǎn)品的廢品率依次為0.1、0.2、0.3，從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率。 解 設(shè)=｛取得的產(chǎn)品為正品｝， 分別為甲、乙

14、、丙三廠的產(chǎn)品 =，=，=，， 所以 0.83。 3. 一群人中有37.5 %的為A型血型，20.9 %為B型，7.9 %為 AB型，33.7 %為 O型，已知能允許輸血的血型配對如下表，現(xiàn)在在人群中任選一人為輸血者，再選一人為需要輸血者，問輸血者能成功的概率是多少？ 輸血者 受血者 A型 B型 AB型 O型 A型 √ √ √ B型 √ √ √ AB型 √ √ √ O型 √ √ 解設(shè)=｛輸血成功｝ 分別表示型血型 則 同理可求出 則 0.717。 4. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有

15、0.25 %的色盲患者，今從男女人數(shù)中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？ 解=｛從人群中任取一人是男性｝， =｛色盲患者｝ 因?yàn)? 所以 。 5. 某一工廠有三個(gè)車間生產(chǎn)同一型號(hào)螺釘，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占該廠螺釘總產(chǎn)量的25 %、35 %、40 %，每個(gè)車間成品中的次品分別為各車間產(chǎn)量的5 %、4 %、2 %，如果從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品螺釘為次品，問它是車間生產(chǎn)的概率。 解 分別表示三車間生產(chǎn)的螺釘，=“表示次品螺釘” == 同理=；=。 6. 某高校甲系二年級(jí)一、二、三班學(xué)生人數(shù)分別為16人，25人和25人，其中參加義務(wù)獻(xiàn)血

16、的人數(shù)分別為12人，15人和20人，從這三個(gè)班中隨機(jī)地抽取一個(gè)班，再從該班學(xué)生中任取2人.（1）求第一次取的是已獻(xiàn)血的學(xué)生的概率p. （2）如果第二次抽到的是未參加獻(xiàn)血的學(xué)生，求第一次取的是已獻(xiàn)血的學(xué)生的概率q. 所以 。 1.6 事件的獨(dú)立性 三、計(jì)算下列各題 1. 某類電燈泡使用時(shí)在1000小時(shí)以上的概率為0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小以后最多只有一個(gè)壞的概率。 解表示一個(gè)燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上 ｛三燈泡中最多有一個(gè)壞｝=｛三個(gè)全好｝+｛只有一個(gè)壞｝ = (0.2)3+(0.2)2(1–0.2)=0.104。 2.

17、一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立進(jìn)行了四次射擊,若至少命中一次的概率為, 求該射手的命中率。 解。 3. 某型號(hào)的高射炮，每門炮發(fā)射一發(fā)擊中的概率為0.6，現(xiàn)若干門炮同時(shí)發(fā)射一發(fā)，問欲以99%的把握擊中來犯的一架敵機(jī)至少需要配置幾門炮？ 解 設(shè)需要配置門高射炮 =“高炮擊中飛機(jī)”， 則 ｛飛機(jī)被擊中｝=｛門高射炮中至少有一門擊中｝ =1–｛門高射炮全不命中｝ 至少配備6門炮。 4. 設(shè)有三門火炮同時(shí)對某目標(biāo)射擊，命中概率分別為0.2、0.3、0.5，目標(biāo)命中一發(fā)被擊毀的概率為0.2，命中二發(fā)被擊毀的概率為0.6，三發(fā)均

18、命中被擊毀的概率為0.9，求三門火炮在一次射擊中擊毀目標(biāo)的概率。 解 設(shè)=｛目標(biāo)一次射擊中被擊毀｝=｛目標(biāo)被擊中的發(fā)數(shù)｝，（0，1，2，3，） 則 =0.20.70.5+0.80.30.5+0.80.70.5=0.47 =0.20.30.5+0.20.70.5+0.80.30.5=0.22 =0.20.30.5=0.03 所以 0.470.2+0.20.6+0.030.9=0.253。 5. . 擲一枚均勻硬幣，直到出現(xiàn)3次正面朝上為止，若正好在第6次后停止，求第5次也正面朝上的概率. 解=“正好在第6次后停止”，=“第5次也正面朝上”. 四、證明題

19、設(shè)是事件獨(dú)立的充分必要條件。 證 第二章 隨機(jī)變量及其函數(shù)的概率分布 2.1 隨機(jī)變量與分布函數(shù) 2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 三、 計(jì)算下列各題 1. 袋中有10個(gè)球，分別編號(hào)為1~10，從中任取5個(gè)球，令表示取出5個(gè)球的最大號(hào)碼，試求的分布列。 解的可能取值為5，6，7，8，9，10 且 所以的分布列為 5 6 7 8 9 10 2. 一批元件的正品率為，次品率為，現(xiàn)對這批元件進(jìn)行有放回的測試，設(shè)第次首次測到正品，試求的分布列。 解 的取值為1，2，3，…

20、且. 此即為的分布列。 3. 袋中有6個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2，2，3，3，從中任取一個(gè)球，令為取出的球的號(hào)碼，試求的分布列及分布函數(shù)。 解 的分布列為 1 2 3 由分布函數(shù)的計(jì)算公式得的分布函數(shù)為 4. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為。 求 解 5. （1）設(shè)隨機(jī)變量的分布律為為常數(shù)，試確定。（2）設(shè)隨機(jī)變量只取正整數(shù)值，且與成反比，求的分布律。 解 （1）因?yàn)?及，所以 （2）令類似上題可得 。 所以的分布律為 6. 汽車沿街道行駛，需要通過3個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈

21、為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈時(shí)間相等，以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口，求的概率分布 解=0, 1, 2, 3, =“汽車在第個(gè)路口遇到紅燈.”，=1，2，3. =, = ，= 0 1 2 3 1/2 1/4 1/8 1/8 為所求概率分布 7. 同時(shí)擲兩枚骰子, 直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止, 試求拋擲次數(shù)的概率分布律. 四、證明題 試證明： 2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù) 三、計(jì)算下列各題 1. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為；求的分布函數(shù)。 解 ， 2. 設(shè)

22、隨機(jī)變量的分布函數(shù)為；求的密度函數(shù)。 解 3. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為； （1） 求常數(shù)，使； （2）求常數(shù)，使。 解 （1）因?yàn)?，所以故 。 （2） 因?yàn)? 4. 在半徑為，球心為的球內(nèi)任取一點(diǎn)，X為點(diǎn)O與P的距離，求X的分布函數(shù)及概率密度。 解 當(dāng)時(shí)，設(shè)，則點(diǎn)落到以為球心，為半徑的球面上時(shí)，它到點(diǎn)的距離均為，因此 ，所以，的分布函數(shù)為 的密度函數(shù)為 5. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,–∞<<+∞,試求 (1) 系數(shù)與, (2) P (–1<<1), (3) 的概率密度函數(shù). 解 6. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為, 以Y表示對進(jìn)行三次獨(dú)立觀察

23、中{≤}出現(xiàn)的次數(shù),求概率P(=2). 解p = P (≤)=, 由已知 ~(3, ) 所以 7. 從某區(qū)到火車站有兩條路線，一條路程短，但阻塞多，所需時(shí)間（分鐘）服從；另一條路程長，但阻塞少，所需時(shí)間（分鐘）服從，問 （1） 要在70分鐘內(nèi)趕到火車站應(yīng)走哪條路保險(xiǎn)？ （2） 要在65分鐘內(nèi)趕到火車站又應(yīng)走哪條路保險(xiǎn)？ 解 （1）因?yàn)? 所以走第二條。 （2）類似的走第一條。 2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 三、計(jì)算下列各題 1. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律如下，求的分布律。 -2 -1 0 1 2 解 1

24、 2 5 2. 設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布，求的密度函數(shù)。 解 的密度函數(shù)為 （1） 設(shè)，則有 。 所以 ，因此當(dāng)及時(shí)，由知； 當(dāng)時(shí)，由知，所以所求密度函數(shù)為 （2） 類似的可得： 3. 設(shè)，求的密度函數(shù)。 解 （1）的密度函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 （2）的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 4. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為；求的概率密度。 解 所以 5. 若球的直徑D的測量值在上均勻分布，求球的體積V的概率密度。 6. 將長度為2的直線隨機(jī)分成兩部分，求以這

25、兩部分為長和寬的矩形面積小于的概率。 四、證明題 1. 設(shè) 證 2. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布, 證明在區(qū)間(0,1)服從均勻分布。 證 X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布,則概率密度為 , 函數(shù)y單調(diào)可導(dǎo),其反函數(shù)為 由公式 所以 在區(qū)間(0,1)服從均勻分布。 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 3.1 二維隨機(jī)變量的概率分布 三、計(jì)算下列各題 1. 已知隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為, 求的聯(lián)合分布函數(shù)。 解因?yàn)? 2. 一個(gè)箱子裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，現(xiàn)隨機(jī)地?zé)o放回抽取兩次，每次取一只，以分別表示第一次和第二次取出的次品數(shù)，試

26、寫出的概率分布律。 解. 3. 給定非負(fù)函數(shù), 問是否是隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度?說明理由。 解是的聯(lián)合概率密度只要滿足≥0與 所以是隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度。 4. 設(shè)隨機(jī)變量 () 的聯(lián)合密度為，求：（1）系數(shù)k； （2）； （3）； （4）。 解：（1） （2） （3） （4）= 5. 設(shè)隨機(jī)變量 () 的聯(lián)合密度為, 求 (1) 系數(shù), (2) 概率。 解 6.袋中有1個(gè)紅色球，2個(gè)黑色球與3個(gè)白色球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以X，Y，Z分別表示兩次去求所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù)， （1） 求； （2） 求二維隨機(jī)變量的概

27、率分布。 解：（1）在沒有取白球的情況下取了一次紅球相當(dāng)于只有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球有放回的取兩次，其中摸到一個(gè)紅球 ； （2）X，Y的取值范圍為0,1,2，故 X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0 3.2 邊緣分布 3.3條件分布 3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性 三、計(jì)算下列各題 1. 設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能取值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1~X中等可能取一個(gè)整數(shù)值，求（1）的聯(lián)合分布律；（2）X，Y的邊緣分布律。 解：由題意， 則由概率的乘法公式有 因此

28、X Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48 2 0 1/8 1/12 1/16 13/48 3 0 0 1/12 1/16 7/48 4 0 0 0 1/16 3/48 1/4 1/4 1/4 1/4 1 2. 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為（1）求關(guān)于的邊緣概率密度. （2）問是否獨(dú)立？ 3. 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 求：（1）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)，并判斷X與Y是否相互獨(dú)立？ （2）。 解：（1） 由于 （2） 4. 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為（1）求常

29、數(shù)； （2） 求關(guān)于的邊緣概率密度，（3）問是否獨(dú)立？ 解 即 5. 雷達(dá)的圓形屏幕的半徑為，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)在屏幕上均勻分布，（1）求的邊緣概率密度，（2）問是否獨(dú)立？ 6. 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為，求（1）常數(shù)（2）隨機(jī)變量的邊緣密度，（3）概率。 解（1）. ， (3) . 7. 已知隨機(jī)變量的概率分布： 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2 且.（1）求的聯(lián)合分布，（2）問是否獨(dú)立？為什么？ 解 YX -1 0 1 P．j 0 P11 P21 P31 1

30、/2 1 0 P22 0 1/2 Pi. 1/4 1/2 1/4 1 （1）設(shè)的聯(lián)合分布為 YX -1 0 1 0 1/4 0 1/4 1 0 1/2 0 8. 設(shè)X與Y為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在區(qū)間上服從均勻分布，Y的概率密度為，求： （1）X與Y的聯(lián)合概率密度； （2）設(shè)含有a的二次方程為，試求a有實(shí)根的概率。 解：（1） （2）含有a的二次方程為有實(shí)根的充要條件為 .而 四、證明題 設(shè)隨機(jī)變量具有分布函數(shù)， 證明：X與Y相互獨(dú)立。 證明： 3.5兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

31、 三、計(jì)算下列各題 1. 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的分布律為, 解由獨(dú)立性可得 （） （1，2）（1，4）（3，2）（3，4） 0.18 0.12 0.42 0.28 3 5 5 7 –1 –3 1 –1 所以的分布律為,的分布律為 2. 設(shè)獨(dú)立, 服從均勻分布, 的概率密度.(用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示)。 解由已知的密度函數(shù)為 Y在[-π,π]服從均勻分布, 則, X和Y獨(dú)立, 由公式 3．設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且求的概

32、率密度。 解∵獨(dú)立， ∴ 又∵=>， 令，則 4. 已知隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布, 其聯(lián)合密度為, , 求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。 解 5. 已知隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間上的均勻分布，求的概率密度函數(shù)。 解：∵X與Y相互獨(dú)立，且， 6. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度, 求的概率密度。 解 . 7. 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，的概率分布為，的概率密度為，記 （1）求 （2）求的概率密度。 解：(I) (II) 所以 8. 設(shè)二維變量的概率密度為 求； 求的概率密度。 解： （Ⅰ）

33、，其中D為中的那部分區(qū)域； 求此二重積分可得 （Ⅱ） 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 于是 9.假設(shè)電路裝有三個(gè)同種電器元件，其狀況相互獨(dú)立，且無故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不正常工作.試求電路正常工作時(shí)間T的概率分布。 解以表示第個(gè)元件無故障工作時(shí)間，則獨(dú)立且分布函數(shù)為 . . 所以T服從參數(shù)為的指數(shù)分布 10. 隨機(jī)變量x的概率密度為為二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)， (Ⅰ)求Y的概率密度； (Ⅱ)。 解： （Ⅰ）

34、 ； . 所以： （Ⅱ） 。 11. 某種商品一周的需求量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為 設(shè)各周的需求量是相互獨(dú)立的，求（1）兩周；（2）三周的需求量的概率密度。 解：設(shè)某種商品在第i周的需求量為，由題意得相互獨(dú)立，且有 （1）記兩周需求量為Z，即，則Z的概率密度為 （2）記三周需求量為W，即，又與相互獨(dú)立，則W的概率密度為 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 4.1 數(shù)學(xué)期望 4.2 方差 二、計(jì)算下列各題 1. 設(shè)球直徑的測量值在上服從均勻分布,求球體積的數(shù)學(xué)期望。 解 設(shè)球的直徑為,其概率密度為 2. 設(shè)隨機(jī)變量服從上

35、的均勻分布，,求 的數(shù)學(xué)期望和方差。 解 的概率密度， 。 3. 在長度為a的線段上任意取兩個(gè)點(diǎn)M與N，試求線段MN長度的數(shù)學(xué)期望。 解: 以線段起點(diǎn)為原點(diǎn)，X，Y分別表示點(diǎn)M與N的位置， ∴， ， ，， 令， 這時(shí) ∴ 。 4. 某射手每次命中目標(biāo)的概率為0.8,連續(xù)射擊一個(gè)目標(biāo),直至命中目標(biāo)一次為止。求射擊次數(shù)的期望和方差。 解“第次命中目標(biāo)”,… …)=… , 取 所以 , , 取 ＜1 故 從而 。 5. 設(shè)輪船橫向搖擺的振幅的概率密度為，為常數(shù) 試確定常數(shù),并求和。

36、 解 1 2 3 0.2 0.1 0 0 0.1 0 0.3 1 0.1 0.1 0.1 6. 設(shè)的聯(lián)合分布為右表 求 設(shè)、求 設(shè)、求。 解 -1 - 0 1 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 0 1 4 9 16 0.1 0.2 0.3 0.4 0 。 7. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且

37、都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量的方差。 解 令 。 8. 箱內(nèi)有4個(gè)白球和5個(gè)紅球，不放回地接連從箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球．設(shè)X和Y分別表示這2次取出球中的白球數(shù)，則為多少？ 解：條件期望的含義是：在已知第二次取出的5只球中有1個(gè)白球的情況下，第一次取出3只球中平均白球數(shù)是多少？為求得條件期望，先要求得條件下X的條件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是紅球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只紅球中隨機(jī)抽3只球，這時(shí)X至少為2，因?yàn)榧t球只有1個(gè)，故 　　， 　， 　　， 由此可算得下的條件期望。 9. 某大樓共

38、有10層，某次有25人在一樓搭乘電梯上樓，假設(shè)每人都等可能的在2~10層中的任一層出電梯，且出電梯與否相互獨(dú)立，同時(shí)在2~10層中沒有人上電梯。又知電梯只有在有人要出電梯時(shí)才停，求該電梯停的總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 解：由題設(shè)，每人在第i層下電梯的概率均為，設(shè)表示第k人在第i層下電梯，則有， 又 設(shè)，則 因此，電梯停的總次數(shù)為， 。 10. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 已知: E（X）=0.5, D（X）=0.15, 求系數(shù)a、b、c。 解：由密度函數(shù)性質(zhì)及已給條件，知有 ，， ，， ， ，， 三個(gè)方程，三個(gè)變量，解之可得：。 11. 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立

39、，且都服從，設(shè)，求。 解：設(shè)，則，由于X與Y相互獨(dú)立 ，則有 而，則有 。 因此。 四、證明題 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，試證明 ． 證明： 　　　　　　， 因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以有，又 　， 從而有　 。 4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 4.4 原點(diǎn)矩與中心矩 . 三、計(jì)算下列各題 1. 若隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布, 求隨機(jī)變量,的相關(guān)系數(shù)。 解 。 2. 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 , 求：（1）系數(shù),,（3）協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)。 解； 3. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為.求： （1）；（2）的

40、協(xié)方差，并問是否不相關(guān)； （3）問是否獨(dú)立？為什么？ 解：（1）， （2） （3）對于任意實(shí)數(shù)，有 4. 設(shè)隨機(jī)變量()的概率密度為, 求的相關(guān)系數(shù)。 。 5. 設(shè)隨機(jī)變量服從[]上的均勻分布，令，求。 解 6.二維隨機(jī)變量的分布律為 -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 a b 問a,b取何值時(shí)，不相關(guān)？此時(shí)是否獨(dú)立？ 解 （1） ， ， ， ， 若不相關(guān)，則 （2）。 7. 已知隨機(jī)變量X與Y分別服從正態(tài)分布, 且X與Y的相關(guān)系數(shù)．設(shè)，求

41、（１）的數(shù)學(xué)期望和方差；（２）X與的相關(guān)系數(shù)；（３）問X與是否相互獨(dú)立？為什么？ 解：(1)， ， 由于X與Y分別服從正態(tài)分布，所以也服從正態(tài)分布； (2) 因?yàn)?，注意? ，且 ， ， 所以 ， 由協(xié)方差定義：； (3)由于X與均服從正態(tài)分布，故“相關(guān)系數(shù)為零”等價(jià)于“相互獨(dú)立”，因此X與相互獨(dú)立。 8. 設(shè)，=，=，=，求和。 解：； 　　 　　　　 　　　　　　 。 9. 若隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立同分布，均服從，令，（為不相等的常數(shù)），求隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)，并說明當(dāng)滿足什么條件時(shí)，不相關(guān)。 解：（1）依題意，有　，且． 因

42、為　　， 而　　， 　　?。? 　　　， 由方差公式可求出 　　　，　同理可得　　， 所以?。? 又　　，同理有， 綜合上述結(jié)果，可得 　　　 （2）若不相關(guān)，則，因此，又，則時(shí)不相關(guān)。 四、證明題 設(shè)是隨機(jī)變量，其中為常數(shù)，且同號(hào).證明： 第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理 三、計(jì)算題 1.設(shè)在每次實(shí)驗(yàn)中事件以概率發(fā)生.是否可以用大于0.97的概率確信：在1000次實(shí)驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的次數(shù)在400與600范圍內(nèi)？ 解：設(shè)表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)， 則 ，由切比雪夫不等式有 所以可以用大于

43、0.97的概率確信：在1000次實(shí)驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的次數(shù)在400與600范圍內(nèi). 2.將一顆骰子連續(xù)擲四次，其點(diǎn)數(shù)之和記為，估計(jì)概率。 解：設(shè)為擲一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則其分布律為：， 所以 ， ， ； 依題意 ，所以 . 3. 設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 且服從參數(shù)的泊松分布,記，利用中心極限定理，求。 解：. 4．設(shè)某部件由10個(gè)部分組成，每部分的長度為隨機(jī)變量，相互獨(dú)立同分布，毫米，毫米，若規(guī)定總長度為（201）毫米是合格產(chǎn)品，求產(chǎn)品合格的概率。 解：設(shè)總長度為， 則　，， 由林德貝格—列維中心極限定理，知 ，所以合格的概率為： 　　 . 5．有100

44、道單項(xiàng)選擇題，每個(gè)題中有4個(gè)備選答案，且其中只有一個(gè)答案是正確的，規(guī)定選擇正確得1分，選擇錯(cuò)誤得0分，假設(shè)無知者對于每一個(gè)題都是從4個(gè)備選答案中隨機(jī)地選答，并且沒有不選的情況，計(jì)算他能夠超過35分的概率。 解：設(shè)為選擇第題所得到的分?jǐn)?shù)，由題設(shè)，服從分布， 另設(shè)總得分為，則，且， 由德莫弗–拉普拉斯定理 ， 查正態(tài)分布表可得 . 6.（1）一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，系統(tǒng)運(yùn)行期間每個(gè)元件損壞的概率為0.1，又知系統(tǒng)運(yùn)行至少需要85個(gè)元件正常工作，求系統(tǒng)可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系統(tǒng)假如由個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，至少80%的元件正常工作，才能使系統(tǒng)正常運(yùn)行，問

45、至少多大才能保證系統(tǒng)可靠度為0.95？ 解：（1）設(shè)為系統(tǒng)中正常運(yùn)行完好的元件數(shù)， 則，由德莫弗—拉普拉斯定理， . （2）已知 ，求滿足條件的， 其中 ，同（1）解法， ， 查正態(tài)分布表可得：，取即可. 7. 某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，以表示在隨意抽查的100個(gè)索賠戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)。 （1） 寫出的概率分布； （2） 用德莫弗–拉普拉斯定理，求被盜索賠戶不少于14戶不多于30戶的概率的近似值. 解：（1）服從二項(xiàng)分布，參數(shù)：，即，其概率分布為 ； （2），根據(jù)德莫弗–拉普拉斯定理 . 8．某運(yùn)輸公司有500

46、輛汽車參加保險(xiǎn)，在1年里汽車出事故的概率為0.006，參加保險(xiǎn)的汽車每年交保險(xiǎn)費(fèi)800元，若出事故保險(xiǎn)公司最多賠償50 000元，試?yán)弥行臉O限定理計(jì)算，保險(xiǎn)公司1年賺錢不小于200 000元的概率。 解：設(shè)為500輛參加保險(xiǎn)的汽車中出事故的車輛數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，由題設(shè)，保險(xiǎn)公司1年的收益為 ，故保險(xiǎn)公司1年賺錢不小于200 000元的概率為 ， 從而由德莫弗－拉普拉斯定理 . 9．某工廠生產(chǎn)的燈泡的平均壽命為2000小時(shí)，改進(jìn)工藝后，平均壽命提高到2250小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差仍為250小時(shí).為鑒定此項(xiàng)新工藝，特規(guī)定：任意抽取若干只燈泡，若平均壽命超過2200小時(shí)，就可承認(rèn)此項(xiàng)新工藝.工廠

47、為使此項(xiàng)新工藝通過鑒定的概率不小于0.997，問至少應(yīng)抽檢多少只燈泡？ 解：設(shè)為改進(jìn)后的燈泡的壽命，由題設(shè)，，又設(shè)為使檢驗(yàn)通過所需抽取的燈泡數(shù)，依題意可建立如下不等式， 或 ， 由林德貝格—列維中心極限定理知， ， 查表可得如下不等式 ， 即需隨機(jī)抽取189只燈泡進(jìn)行壽命檢驗(yàn)，測得的平均壽命才能以95%的概率保證超過2200小時(shí). 10．設(shè)隨機(jī)變量序列要互獨(dú)立同分布，且，求。 解：設(shè)，由題設(shè)，，從而 ， 即 ， 由切比雪夫大數(shù)定律，知對，有 . 11．設(shè)隨機(jī)變量序列滿足條件，證明 。 證明：因?yàn)椋? 所以由切比雪夫不等式可得 從而有 . .