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1、2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第1頁,復(fù) 變 函 數(shù)（第四版）第四章 級 數(shù),1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù),2 冪級數(shù),3 泰勒級數(shù),4 洛朗級數(shù),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第2頁,1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù),1. 復(fù)數(shù)列的極限,復(fù)級數(shù)也是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具.,函數(shù)的解析性等價(jià)于函數(shù)能否展成冪級數(shù).,復(fù)數(shù)列,,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第3頁,Th1.,證明利用不等式:,,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第4頁,2. 級數(shù)概念,(1) 定義,級數(shù):,前n項(xiàng)和:,(部分和),否則.發(fā)散,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第

2、5頁,Th2.,必要條件:,運(yùn)算性質(zhì):,且:,(C 為復(fù)常數(shù)),（作用：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為 實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題）,,,,,,,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第6頁,(2) 絕對收斂與條件收斂.,結(jié)論: i ),ii ),,Th3,,模,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第7頁,iii ),iv),,,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第8頁,例1.,解: 1),下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.,1),2),而,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第9頁,解:2),例2.,解:1),下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂

3、?,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第10頁,解: 2),(不易分實(shí)部,虛部),對正項(xiàng)級數(shù),原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第11頁,解: 3),因?yàn)?(萊布尼茲型交錯(cuò)級數(shù)), 原級數(shù)收斂.,條件收斂,, 原級數(shù)不絕對收斂.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第12頁,補(bǔ)例: 考察,解: 1),下列級數(shù)的斂散性:, 原級數(shù)發(fā)散.,而,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第13頁,解: 2),收斂.,(公比 |q | < 1), 原級數(shù)絕對收斂.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第14頁,解:

4、3),收斂., 原級數(shù)絕對收斂.,而,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第15頁,補(bǔ)例: 判別,解: 1),級數(shù),的斂散性.,發(fā)散.,故級數(shù)不絕對收斂.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第16頁,續(xù)上頁 解:1),解: 2),均收斂, 原級數(shù)發(fā)散.,(萊布尼茲型交錯(cuò)級數(shù)),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第17頁,2 冪級數(shù),1. 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù),部分和,z 在 D 內(nèi)處處收斂;,和函數(shù),和,即,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第18頁,例:,解:,當(dāng) z =1 時(shí), 級數(shù)收斂于 0, 當(dāng) z = 1 時(shí), 級數(shù)發(fā)散 ;,當(dāng) | z

5、 |1時(shí), 顯然發(fā)散.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第19頁,2. 冪級數(shù)及其收斂圓,一般式:,取= 0.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第20頁,(有與實(shí)函類似的結(jié)論)(1),(2), 阿貝爾定理,,,,,z0,x,y,O,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第21頁,證,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第22頁,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第23頁,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第24頁,利用阿貝爾定理, 可以定出冪級數(shù)的收斂范圍, 對一個(gè)冪級數(shù)來說, 它的收斂情況不外乎三種:i) 對所

6、有的正實(shí)數(shù)都是收斂的. 這時(shí), 根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂.ii) 對所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的. 這時(shí), 級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.iii) 既存在使級數(shù)收斂的正實(shí)數(shù), 也存在使級數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù). 設(shè)z=a(正實(shí)數(shù))時(shí), 級數(shù)收斂, z=b(正實(shí)數(shù))時(shí), 級數(shù)發(fā)散.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第25頁,,,顯然a

7、形中, 稱 R 為 0 和 ,,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第27頁,總之: R 為收斂半徑,,則,(收斂圓內(nèi)部),(收斂圓外部),(收斂圓周上),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第28頁,例:,收斂半徑均是1.,1) 其一般項(xiàng) zn 0, 無收斂點(diǎn).,2) 在點(diǎn) z =1 發(fā)散, 在其它點(diǎn)都收斂.,,在收斂圓周 | z | = 1 上,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第29頁,3. 收斂半徑的求法 (1) 比值法:,(2) 根值法:,例2:,(P113) 求下列冪級數(shù)的收斂半徑,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第30頁,解:

8、 1),在收斂圓周 | z | =1 上,, R = 1,( p = 3時(shí)的 p, 原級數(shù)在收斂圓周上是處處收斂的., 級數(shù)),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第31頁,解: 2),在收斂圓周 | z1 | =1 上,,解: 3),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第32頁,an有界,上極限,下極限,上確界k單調(diào)減少,必有極限,下確界k單調(diào)上升,必有極限,數(shù)列去掉前 k 項(xiàng)以后的有界數(shù)列的下確界.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第33頁,另有一求收斂半徑的方法:柯西哈達(dá)瑪法,例:,解:,(Cauchy-Hadanmard),2020/8/21,復(fù)

9、變函數(shù)(第四版) 第4章,第34頁,補(bǔ)例:,證: 1),2),1) 冪級數(shù)的收斂半徑 R 1,2) 若 R =1, 則除 z = 1外,收斂圓周上處處收斂.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第35頁,而,同理,當(dāng)= 0 時(shí), 即 z = 1, 無法下結(jié)論.,從而 原級數(shù)收斂(狄里克雷判別法).,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第36頁,補(bǔ)例：,解:,用比值審斂法.,不能套求半徑公式,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第37頁,注:,故 原級數(shù)收斂半徑,缺項(xiàng)級數(shù)的收斂半徑時(shí),,則其收斂半徑,若先求出極限,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章

10、,第38頁,4. 冪級數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì),(1),加, 減, 乘法.,由絕對收斂性,,則在 | z | = R 內(nèi), 兩級數(shù)可做,即,書中漏寫 zn,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第39頁,注意:,上兩式的意思是 | z | < R 時(shí),等號成立,,而不是說右邊級數(shù)的收斂半徑為 R,(可能大于R ) .,(見書P115例13 ),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第40頁,重要的代換 (復(fù)合運(yùn)算),例4.,解:,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第41頁,從而,設(shè) | ba | = R,, 上式右端的收斂半徑 R = | b a |,(方法和結(jié)論以后常

11、用),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第42頁,(2),(3),f (z)在收斂圓可逐項(xiàng)求導(dǎo).,如何解釋?,而在收斂圓上至少有一個(gè)奇點(diǎn);,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第43頁,(4),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第44頁,3 泰勒級數(shù),我們已知：一個(gè)冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂,圓的內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù).,問題:任何一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)表達(dá)?,1. 泰勒定理.,設(shè) f (z) 在D 內(nèi)解析,,只要圓 k : |z-zo|

12、/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第45頁,略證:,,設(shè) z 為 k 內(nèi)任一點(diǎn), 按柯西積分公式,,在圓周 k 上,有,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第46頁,代入, 得,此等號須證(要條件),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第47頁,唯一性,,注:1o,2o,若另有展式,即,如果 f (z) 在zo 解析,那末使 f (z) 在zo 的泰勒,展開式成立的圓域的半徑R就等于從zo到f (z),的距zo最近一個(gè)奇點(diǎn)之間的距離.即R=|- zo|,當(dāng) zo= 0時(shí), 級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù).,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第48頁,2. 解析函數(shù)

13、的等價(jià)定義(1),(2),1o f (z)在zo某鄰域內(nèi)可導(dǎo); 2o f (z) = u+iv 的實(shí)部u, 虛部v在點(diǎn)zo的某鄰域 內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 且滿足C-R條件.,f (z)在 zo 解析,,f (z)在 zo 的某鄰域可展成冪級數(shù),f (z)在D內(nèi)解析,,f (z)在D內(nèi)任一點(diǎn)的某鄰域可展成冪級數(shù),至此得函數(shù) f (z)在一點(diǎn)zo解析的四種等價(jià)說法:,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第49頁,4o,3. 幾個(gè)常用初等函數(shù)的泰勒展開式,3o,任一條分段光滑閉曲線, 有,f (z)在zo的某鄰域內(nèi)連續(xù)且對此鄰域內(nèi)的,f (z)在zo的某鄰域內(nèi)可展開成冪級數(shù).,,求導(dǎo),2

14、020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第50頁,續(xù)上頁,,積分,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第51頁,4. 展開解析函數(shù) f (z) 成冪級數(shù),(1) 直接法:,(2) 間接法:,的主要方法:,利用已知展式以及冪級數(shù)的分析運(yùn),算性質(zhì)和其他數(shù)學(xué)技巧, 求展開式.,其中有:,代換法.,部分分式法:,( 最多的是代換,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第52頁,續(xù)上頁,微分方程法:,利用被展開函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,建立微分方程.,逐項(xiàng)積分法:,逐項(xiàng)求導(dǎo)法:,冪級數(shù)乘法:,分解為兩個(gè)已知展開式函數(shù)的乘積.,冪級數(shù)除法:,待定系數(shù)法:,長除法,其他:,如, 利用組合

15、, 搭配等等.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第53頁,例一.,解:,( 用代換法,關(guān)鍵將 f (z) 變形為含所需因式的形式,,并可利用已知展開式得到需要的冪級數(shù) ),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第54頁,方法二:,轉(zhuǎn)下頁,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第55頁,續(xù)上頁,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第56頁,例二.,解:,對方程逐次求導(dǎo), 得,(得一微分方程),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第57頁,由于f (z)只有唯一奇點(diǎn) z =1,,練習(xí):,所以收斂半徑為1,,f (z)可在 | z | <1

16、 內(nèi)展開, 其展開式為,用類似方法求,的麥克勞林級數(shù).,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第58頁,例三.,解:,故有,是偶函數(shù),所以冪級數(shù)只有,偶次冪項(xiàng), 設(shè),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第59頁,比較兩端同次冪系數(shù)，得,解出,法二：,直接用長除法 (升冪排列),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第60頁,4 洛朗級數(shù),由上一節(jié)知:,雙邊冪級數(shù):,在圓 | zzo| = R 內(nèi)解析的函數(shù) f (z)可以,展成冪級數(shù),那么在環(huán) R1< |zz0|< R2 內(nèi)解析的函數(shù)呢?,它也可以展成冪級數(shù),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第61

17、頁,定義:,則,收斂,均收斂,(1)的收斂域?yàn)?在收斂圓環(huán)內(nèi)的雙邊冪級數(shù)的和函數(shù)為一解析函數(shù).,其公共圓環(huán)域,,(2)的收斂域?yàn)?R1< | zzo|

18、,一般 f (z)在C 內(nèi)不是處處解析,不能對cn,的表達(dá)式應(yīng)用高階求導(dǎo)公式.,泰勒級數(shù)是洛朗級數(shù)的特殊情形.,( 此時(shí) R1= 0, cn= 0 ),洛朗級數(shù)的解析部分,洛朗級數(shù)的主要部分,(正則部分),4o,用公式計(jì)算cn 很難, 一般不用.,(恰恰相反,我們后面要用cn 求積分,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第64頁,2. 將圓環(huán)內(nèi)解析函數(shù)展成洛朗級數(shù)的方法,例：,解：直接法,直接法: 用公式求 cn..,求導(dǎo)、積分、代換等方法展開.,間接法: 利用已知函數(shù)的泰勒展式,再利用,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第65頁,解：間接法：,2020/8/21,復(fù)

19、變函數(shù)(第四版) 第4章,第66頁,間接法中常用公式：,例1：,解:,內(nèi)處處是解析的. 試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第67頁,,(結(jié)果中不含 z 的負(fù)冪項(xiàng),,原因 f ( z )在 z = 0 處是解析的),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第68頁,解: ii),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第69頁,,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第70頁,解: iii),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第71頁,,注:,此例是同一個(gè)函數(shù)在不同的圓環(huán)中的洛朗展式, 這里展式

20、不同與洛朗展式的唯一性并無矛盾.,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第72頁,問:,解:,此例若改成在兩個(gè)孤立奇點(diǎn) z =1 和 z = 2的最大的去心鄰域內(nèi)的洛朗展式如何求?,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第73頁,例2:,看教材(P134),注意: ,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第74頁,補(bǔ)例一:,解:,在 0 < | zi | < 1 內(nèi),展為洛朗級數(shù).,使 f (z) 解析且以 i 為中心的圓環(huán)域有,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第75頁,而,,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第76頁,在 1 < |

21、 z i | < +內(nèi), 因?yàn)?,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第77頁,補(bǔ)例二:,解:,轉(zhuǎn)下頁,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第78頁,(對有理分式函數(shù) f (z). 先分解為部分分式, 仍是有效的方法),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第79頁,補(bǔ)例三:,解:,1) 在1 <| z | < 2 內(nèi), 有,奇點(diǎn) z =i, z =2,轉(zhuǎn)下頁,2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第80頁,2) 在 0 < | z 2 | < 內(nèi), 有,續(xù)上頁 解 1),2020/8/21,復(fù)變函數(shù)(第四版) 第4章,第81頁,解:,補(bǔ)例四:,(習(xí)題P14417),內(nèi)展為洛朗級數(shù).,不能. 因?yàn)?的鄰域內(nèi)總有zk存在,且,所以不能展成洛朗級數(shù).,