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【優(yōu)化探究】2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題演練1-6-2第二講 空間中的平行與垂直
一、選擇題
1.(2012年高考浙江卷)設(shè)l是直線,α,β是兩個(gè)不同的平面( )
A.若l∥α,l∥β,則α∥β
B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,則l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β
解析:利用線與面、面與面的關(guān)系定理判定,用特例法.
設(shè)α∩β=a,若直線l∥a,且l?α,l?β,則l∥α,l∥β,因此α不一定平行于β,故A錯(cuò)誤;由于l∥α,故在α內(nèi)存在直線l′∥l,又因?yàn)閘⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β,所以B正確;若α⊥β,在β內(nèi)作交線的垂線l,則l⊥α,
2、此時(shí)l在平面β內(nèi),因此C錯(cuò)誤;已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β內(nèi),則l∥α且l∥β,因此D錯(cuò)誤.
答案:B
2.對(duì)于空間中的三條不同的直線,有下列三個(gè)條件:
①三條直線兩兩平行;②三條直線共點(diǎn);
③有兩條直線平行,第三條直線和這兩條直線都相交.
其中,能作為這三條直線共面的充分條件的有( )
A.0個(gè) B.1個(gè)
C.2個(gè) D.3個(gè)
解析:①中,三條直線兩兩平行有兩種情況:一是一條直線平行于其他兩條平行直線構(gòu)成的平面;二是三條直線共面.②中,三條直線共點(diǎn)最多可確定3個(gè)平面,所以當(dāng)三條直線共點(diǎn)時(shí),三條直線的位置關(guān)系有兩種情況:一是一條直線
3、與其他兩條直線構(gòu)成的平面相交;二是三條直線共面.③中條件一定能推出三條直線共面.故只有③是空間中三條不同的直線共面的充分條件.
答案:B
3.(2012年洛陽模擬)已知α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不重合的直線,則下列命題中正確的是( )
A.若m∥α,α∩β=n,則m∥n
B.若m⊥α,m⊥n,則n∥α
C.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥n
D.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥β
解析:對(duì)于選項(xiàng)A,若m∥α,α∩β=n,則m∥n,或m,n是異面直線,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,n可能在平面α內(nèi),所以B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,m與β的位置關(guān)系還可以是mβ,m∥β,或m與β斜交
4、,所以D錯(cuò)誤;由面面垂直的性質(zhì)可知C正確.
答案:C
4.將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2),則在空間四面體ABCD中,AD與BC的位置關(guān)系是( )
A.相交且垂直 B.相交但不垂直
C.異面且垂直 D.異面但不垂直
解析:在圖1中的等腰直角三角形ABC中,斜邊上的中線AD就是斜邊上的高,則AD⊥BC,翻折后如圖2,AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段BD、CD,這兩條線段與AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.
答案:C
5.如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的四條線段
5、AB、CD、EF、GH在原正方體中互為異面的對(duì)數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化,AB、CD、EF和GH在原正方體中如圖所示,顯然AB與CD、EF與GH、AB與GH都是異面直線,而AB與EF相交,CD與GH相交,CD與EF平行.故互為異面的直線有且只有三對(duì).
答案:C
二、填空題
6.已知m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個(gè)不同的平面,給出下列命題:
①若m∥α,則m平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線;
②若α∥β,mα,nβ,則m∥n;
③若m⊥α,n⊥β,m∥n,則α∥β;
④若α∥β,mα,則m∥β.
6、其中的真命題是________.(寫出所有真命題的序號(hào))
解析:由線面平行的定義及性質(zhì)知①正確;對(duì)于②,若α∥β,m?α,n?β,則m、n可能平行,也可能異面,故②錯(cuò);對(duì)于③,由,可知n⊥α,又n⊥β,所以α∥β,故③正確;由面面平行的性質(zhì)知④正確.
答案:①③④
7.如圖,邊長(zhǎng)為a的正△ABC中線AF與中位線DE相交于G,已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形,現(xiàn)給出下列命題,其中正確的命題有________(填上所有正確命題的序號(hào)).
①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上;
②三棱錐A′-FED的體積有最大值;
③恒有平面A′GF⊥平面BCED;
④異面直線
7、A′E與BD不可能互相垂直.
解析:由題意知AF⊥DE,
∴A′G⊥DE,F(xiàn)G⊥DE,
∴DE⊥平面A′FG,DE?面ABC,
∴平面A′FG⊥平面ABC,交線為AF,
∴①③均正確.
當(dāng)A′G⊥面ABC時(shí),A′到面ABC的距離最大.
故三棱錐A′-FED的體積有最大值.
故②正確.
當(dāng)A′F2=2EF2時(shí),EF⊥A′E,∵BD∥EF.
∴BD⊥A′E,故④不正確.
答案:①②③
8.如圖,正方體ABCD -A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長(zhǎng)度等于________.
解析:因?yàn)橹本€EF∥平面AB1C,
8、EF?平面ABCD,且平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因?yàn)辄c(diǎn)E是DA的中點(diǎn),所以F是DC的中點(diǎn).由中位線定理可得:EF=AC.又因?yàn)樵谡襟wABCD -A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2,所以EF=.
答案:
三、解答題
9.如圖,在四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),AB=AD=,CA=CB=CD=BD=2.
(1)求證:BD⊥AC;
(2)求三棱錐E-ADC的體積.
解析:(1)證明:連接AO,CO.
∵O為BD的中點(diǎn),AB=AD,CD=CB,
∴BD⊥AO,BD⊥CO.
又∵AO∩CO=O,AO?平面AOC,CO?平面AOC,
9、
∴BD⊥平面AOC.
∵AC平面AOC,
∴BD⊥AC.
(2)由(1)得AO=1,CO=,AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴AO⊥CO.
又∵AO⊥BD,BD∩CO=O,BD?平面BDC,
CO?平面BDC,
∴AO⊥平面BDC.
∵E為BC的中點(diǎn),
∴S△DCE=×2×1×=,
∴VE-ADC=VA-DCE=×1×=.
10.(2012年鄭州模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中,棱AA1與底面ABC垂直,△ABC為等腰直角三角形,AB=AC=AA1,D,E,F(xiàn)分別為B1A,C1C,BC的中點(diǎn).
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2)求證:平面AB1F⊥
10、平面AEF.
解析:(1)證明:取AB的中點(diǎn)為G,連接DG,GC.
∵D是AB1的中點(diǎn),
∴DG∥BB1,
且DG=BB1,
又∵BB1∥CC1,
CE=CC1,
∴DG∥CE且DG=CE,
∴四邊形DECG是平行四邊形,
∴DE∥GC,
又∵DE平面ABC,GC平面ABC,
∴DE∥平面ABC.
(2)∵△ABC為等腰直角三角形,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),
∴BC⊥AF,
由題意知,B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥AF,
又∵B1B∩BC=B,
∴AF⊥平面B1BF,∴AF⊥B1F,
設(shè)AB=AA1=2,則B1F=,EF=,B1E=3,故B1E2=B1F2+EF2,
11、∴B1F⊥EF,又∵AF∩EF=F,∴B1F⊥平面AEF,
又∵B1F平面AB1F,∴平面AB1F⊥平面AEF.
11.(2012年高考廣東卷)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中點(diǎn),F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DF=AB,PH為△PAD中AD邊上的高.
(1)證明:PH⊥平面ABCD;
(2)若PH=1,AD=,F(xiàn)C=1,求三棱錐E-BCF的體積;
(3)證明:EF⊥平面PAB.
解析:(1)證明:因?yàn)锳B⊥平面PAD,PH?平面PAD,
所以PH⊥AB.
因?yàn)镻H為△PAD中AD邊上的高,所以PH⊥AD.
因?yàn)镻H?平面ABCD,A
12、B∩AD=A,AB,AD?平面ABCD,
所以PH⊥平面ABCD.
(2)如圖,連接BH,取BH的中點(diǎn)G,連接EG.
因?yàn)镋是PB的中點(diǎn),
所以EG∥PH,
且EG=PH=.
因?yàn)镻H⊥平面ABCD,
所以EG⊥平面ABCD.
因?yàn)锳B⊥平面PAD,AD?平面PAD,所以
AB⊥AD,所以底面ABCD為直角梯形,
所以VE-BCF=S△BCF·EG
=··FC·AD·EG=.
(3)證明:取PA中點(diǎn)M,連接MD,ME.
因?yàn)镋是PB的中點(diǎn),所以ME綊AB.
又因?yàn)镈F綊AB,所以ME綊DF,所以四邊形MEFD是平行四邊形,所以EF∥MD.
因?yàn)镻D=AD,所以MD⊥PA.
因?yàn)锳B⊥平面PAD,所以MD⊥AB.
因?yàn)镻A∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,
所以EF⊥平面PAB.
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