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1、指導教師：,論文題目:數(shù)學分析中的反例,,,,,,,,論文的結構和主要內(nèi)容,,,1,2,3,4,5,,研究背景和意義,反例在數(shù)學分析中的作用,典型的反例,常用的構造反例的方法,如何利用反例解決常見問題,1.研究背景和意義,背景 縱觀整個數(shù)學領域各學科的發(fā)展史可知，數(shù)學分析是其中一門十分重要的基礎課程，所謂基礎不牢，地動山搖，所以這門課程的學習便顯得尤為的重要。因此，反例的研究及其應用對于數(shù)學分析課程中數(shù)學思想的進化有很大的推動力。現(xiàn)如今，通過對現(xiàn)存的國內(nèi)和國外的各種類型與數(shù)學分析和反例有關的文獻研究發(fā)現(xiàn)：這其中的大部分都是針對反例的作用及其構造方法的研究，然而這其中又有相當大的一部分反例幾

2、乎是沒有經(jīng)過比較正規(guī)系統(tǒng)的總結，它們大都是繁雜而凌亂的。所以，通過對反例的學習以及一些常見問題的分析概括，總結反例的構成與使用方法，并以此為基礎嘗試著自己構造反例解決問題，這對于我們的學習成果將會產(chǎn)生很大的影響，大多數(shù)時候這些影響都是好的方面。,意義 數(shù)學分析這一課程是大學數(shù)學必不可少的一門課，且其在數(shù)學領域中的地位也是舉足輕重的，所以學好數(shù)學分析是很具有挑戰(zhàn)性的，這其中反例又發(fā)揮著不可小覷的作用，這里所說的反例是指在數(shù)學領域使某數(shù)學命題不成立的例子。在數(shù)學分析的學習中，反例的存在是證明并修改錯誤的一種方法，通過引入合適的反例能使我們對基本概念及性質(zhì)的理解更加透徹。反證法就是一種很好地利用

3、了舉反例的方法，堪稱反例應用的經(jīng)典，也是最能體現(xiàn)反例價值及意義的。學會如何構造反例是一項重要的數(shù)學技能，能幫助我們深入理解知識解決問題,誘發(fā)創(chuàng)造力開闊思維，打破思維定勢。該論文主要從反例在數(shù)學分析中所起的作用出發(fā)，講述一些典型的和常用的反例，還有構造反例的方法和技巧，以及怎樣利用反例使問題變得簡單。,2.反例在數(shù)學分析中的作用,,,,,,反例在概念學習中的作用,幫助掌握基本定理,1 幫助加深對概念的理解 2 能夠準確把握概念之間的聯(lián)系 3 揭示概念的內(nèi)涵,,,,,反例有助于說明公式、法則使用條件的嚴密性,幫助培養(yǎng)逆向思維提高判斷力,2.1反例在概念學習中的作用,反例幫助加深對概念的理解 概

4、念本身就是極具抽象性的，大多數(shù)的時候我們是很難能夠從直觀的角度去理解其含義的，此時若以感性認識為基礎對概念進行理解分析，就能進一步深層地得剖析概念的本質(zhì)意義。往往通過列舉或構造反例的方式進行說明，能夠準確地區(qū)分開相似并且容易混淆在一起的概念，并且去除掉那些模糊不清的認識，更加準確地把握概念的本質(zhì)，而能夠在更深層次上理解概念的內(nèi)涵。當涉及到某某性質(zhì)時，同樣反例會發(fā)揮很大的作用，幫助我們加深對性質(zhì)的理解和使用。,能夠準確把握概念之間的聯(lián)系 數(shù)學分析中的概念繁多,通過列舉反例的方式能夠明確地區(qū)分它們彼此之間的區(qū)別和聯(lián)系,看透其本質(zhì)，據(jù)此能夠提高我們的學習能力和理解能力，并且方便記憶和使用。,揭

5、示概念的內(nèi)涵 數(shù)學分析中很多重要的概念或定義都是以抽象化的數(shù)學語言形式化來描述的，這樣就導致了我們很難從直觀的角度直接理解其內(nèi)涵。假如用常規(guī)的方式去死記硬背而不能夠充分理解，那么在應用的時候?qū)驗楫a(chǎn)生的錯誤認識，而得不到正確的解題結果。很多時候若機械地從正面去學習,但卻不能準確把握概念的內(nèi)涵,即使對一個概念重復記憶再多次，也不能發(fā)揮其最佳效果。對于模糊不清甚至是不正確的認識和理解,此時以反例去糾正將會得到意想不到的結果。,2.2幫助掌握基本定理,在數(shù)學分析的學習中大多數(shù)的基本定理很多時候是在指定的條件下和范圍內(nèi)才成立的，而這些有時在書中并沒有對它們給出十分確切的說法，往往都是以抽象的而又簡單

6、的語言總結給出，這會在學習的時候比較困難，不能準確的理解。重視反例可以增加我們對定理的理解，在學習命題時，使用恰當?shù)姆蠢齺碚撟C錯誤的命題是非常簡潔、有效的一種方法，這對那些初學者來說是非常簡潔明了的,更容易理解和把握定理及其基本性質(zhì)，也能使我們養(yǎng)成嚴密推理、重視條件的習慣。除此之外在學習中常把由歸納總結的命題誤認為是定理,為了糾正這種錯誤,運用反例是最為有效的一種方法。,,3典型的反例,處處連續(xù)而處處不可導函數(shù) 在數(shù)學分析中，通常情況下一元函數(shù)在某一點處連續(xù)但是不一定可導，而在這整個的發(fā)展歷程里，數(shù)學家們一直猜想：連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間上，至多除去可列個點外都是可導的也就是說，連續(xù)函數(shù)的不可

7、導點至多是可列多個。隨著級數(shù)理論的發(fā)展，函數(shù)的表示方式被不斷地擴展，數(shù)學家們漸漸地掌握了用函數(shù)項級數(shù)來表示更廣泛的函數(shù)類。在1872年weierstrass利用函數(shù)項級數(shù)第一次構造出了一個處處連續(xù)而處處不可導的函數(shù)，至此該函數(shù)成為數(shù)學分析中一個典型的例子。,4常用的構造反例的方法,特例構造法 性質(zhì)構造法 類比構造法 特殊函數(shù)構造法,,,,,4.1利用特例來構造反例,利用特例來構造反例的方法實際上就是對那些經(jīng)典且特別的例子，根據(jù)我們的需要進行重組或者改變部分內(nèi)容，使之與題目的要求相呼應，繼而以此構造出的新反例來解決問題。 例1 是否能夠確定間斷函數(shù)的平方依舊是間斷函數(shù)。 眾所周知絕對值相同而

8、符號相反即互為相反數(shù)的的兩個數(shù),它們的平方是相等的。我們知道狄利克雷函數(shù)是處處不連續(xù)的,利用這個特殊的函數(shù)將其在無理數(shù)點處的函數(shù)值改為-1。,,由此得到了所要的反例，簡潔明了的證明間斷函數(shù)的平方不一定是還間斷函數(shù)。 很多時候特例反例構造法是非常好用的一種證明、解題方法，也是我們用的最多的方法，理解和使用起來很方便，解決問題的速度快，在做選擇判斷題時能夠節(jié)省很多時間。,4.2利用性質(zhì)來構造反例,利用性質(zhì)來構造反例的方法是我們比較常用，能夠熟練運用的一種方法，就是根據(jù)命題、定理、結論等的不同性質(zhì)構造出有實際意義的反例，有一定的方法和技巧可循，對我們很有幫助。,我,4.3利用類比的方法構造反例,

9、通過類比法構造反例的關鍵在于仔細觀察命題的成立條件及結論，以其所表現(xiàn)出來的特點聯(lián)系逆向思維的思考方式，構造出與之相反卻類似的例子，這就是類比構造法。,,3,我,4.4利用特殊函數(shù)來構造反例,特殊函數(shù)一般是指數(shù)學分析中的一些特殊的函數(shù)，例如取整、對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)等，我們正是利用這些函數(shù)的特殊性構造出符合要求的反例達到目的。,總結,,文章中研究的反例，是在已有理論和邏輯推理的基礎上建立的。通過對反例的學習增加了我們對知識的理解，并且拓寬了解題思路，活躍了思維，同時也提高了自身的學習、分析與解決問題的能力。數(shù)學分析學習中通過反例，可以使我們對某些概念、性質(zhì)及定理的模糊認識變得更加清晰 ，加深對教

10、材內(nèi)容的理解 ，熟悉某些重要命題的條件，糾正理解上的偏差。熟練的使用反例可以使一些疑難問題能夠輕松解決，尤其考試的時候能夠節(jié)省時間。本文較為系統(tǒng)的概括了數(shù)學分析中一些典型的反例的應用，反例的構造方法。因為在學習時我們往往對一些基本概念和定理的掌握不夠精確，理解的不夠徹底，致使計算或證明的時候出現(xiàn)錯誤，通過反例能夠很大程度上避免這一現(xiàn)象。因此，通過反例的引入、構造和使用，能夠很好的解決這類的問題，并且反例應該是經(jīng)過挑選的，既要簡潔明了又能夠一針見血的說明問題。,文章中研究的反例，是在已有理論和邏輯推理的基礎上建立的。通過對反例的學習增加了我們對知識的理解，并且拓寬了解題思路，活躍了思維，同時也提

11、高了自身的學習、分析與解決問題的能力。數(shù)學分析學習中通過反例，可以使我們對某些概念、性質(zhì)及定理的模糊認識變得更加清晰 ，加深對教材內(nèi)容的理解 ，熟悉某些重要命題的條件，糾正理解上的偏差。熟練的使用反例可以使一些疑難問題能夠輕松解決，尤其考試的時候能夠節(jié)省時間。本文較為系統(tǒng)的概括了數(shù)學分析中一些典型的反例的應用，反例的構造方法。因為在學習時我們往往對一些基本概念和定理的掌握不夠精確，理解的不夠徹底，致使計算或證明的時候出現(xiàn)錯誤，通過反例能夠很大程度上避免這一現(xiàn)象。因此，通過反例的引入、構造和使用，能夠很好的解決這類的問題，并且反例應該是經(jīng)過挑選的，既要簡潔明了又能夠一針見血的說明問題。,大學本科的學習生活即將結束。在此，我要感謝所有曾經(jīng)教導過我的老師和關心過我的同學，他們在我成長過程中給予了我很大的幫助。本文能夠順利完成，要特別感謝我的導師王樹忠老師，感謝王老師給我的關心和幫助。 最后向所有關心和幫助過我的人表示真心的感謝。,致謝,謝 謝 觀 看,