《【導與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復習 大題沖關集訓（三）理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【導與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復習 大題沖關集訓（三）理（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 大題沖關集訓(三) 1.(2014哈爾濱一模)數(shù)列{an}滿足an+1-an=2,a1=2,等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=a8. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (2)設cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解:(1)an+1-an=2,a1=2, 所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列, 則an=2+(n-1)×2=2n, b1=a1=2,b4=a8=16, 所以q3==8,q=2, 則bn=2n. (2)cn=anbn=n·2n+1, 則Tn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1, 2Tn=1×23+2×24+3×25+…+n·2n+

2、2, 兩式相減得-Tn=1×22+23+24+…+2n+1-n·2n+2, 整理得Tn=(n-1)2n+2+4. 2.(2013高考福建卷)已知等差數(shù)列{an}的公差d=1,前n項和為Sn. (1)若1,a1,a3成等比數(shù)列,求a1; (2)若S5>a1a9,求a1的取值范圍. 解:(1)因為數(shù)列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比數(shù)列, 所以=1×(a1+2), 即-a1-2=0, 解得a1=-1或a1=2. (2)因為數(shù)列{an}的公差d=1,且S5>a1a9, 所以5a1+10>+8a1, 即+3a1-10<0, 解得-5

3、在正項數(shù)列{an}中,a1=2,點An(,)在雙曲線y2-x2=1上,數(shù)列{bn}中,點(bn,Tn)在直線y=-x+1上,其中Tn是數(shù)列{bn}的前n項和. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列. (1)解:由題an+1-an=1, 即{an}是以2為首項,公差為1的等差數(shù)列. an=2+n-1=n+1. (2)證明:由(bn,Tn)在y=-x+1上, 則Tn=-bn+1, Tn-1=-bn-1+1,n≥2, bn=-bn+bn-1,n≥2, bn=bn-1,n≥2. 又b1=-b1+1, 得b1=, 則{bn}是以為首項,公比為的等

4、比數(shù)列. 4.(2014高考新課標全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù). (1)證明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由. (1)證明:由題設,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1. 兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1. 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ. (2)解:存在滿足題意的λ, 由題設,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1, 令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故an+2-an

5、=4,由此可得 {a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 5.(2014洛陽模擬)已知函數(shù)f(x)=(x≠-1,x∈R),數(shù)列{an}滿足a1=a(a≠-1,a∈R),an+1=f(an)(n∈N*). (1)若數(shù)列{an}是常數(shù)列,求a的值; (2)當a1=4時,記bn=(n∈N*),證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出通項公式an. 解:(1)因為f(x)=, a1=a,an+1=f(an)(n∈N

6、*), 數(shù)列{an}是常數(shù)列, 所以an+1=an=a, 即a=, 解得a=2或a=1. 所以所求實數(shù)a的值是1或2. (2)因為a1=4,bn=(n∈N*), 所以b1=, bn+1===, 即bn+1=bn(n∈N*). 所以數(shù)列{bn}是以b1=為首項,q=為公比的等比數(shù)列, 于是bn=（）n-1=（）n(n∈N*), 由bn=, 即=（）n, 解得an=(n∈N*), 所以所求的通項公式an=(n∈N*). 6.已知等差數(shù)列{an}的首項a1=3,且公差d≠0,其前n項和為Sn,且a1,a4,a13分別是等比數(shù)列{bn}的b2,b3,b4. (1)求數(shù)

7、列{an}與{bn}的通項公式; (2)證明:≤++…+<. (1)解:設等比數(shù)列{bn}的公比為q, ∵a1,a4,a13分別是等比數(shù)列{bn}的b2,b3,b4, ∴(a1+3d)2=a1(a1+12d). 又a1=3, ∴d2-2d=0, ∴d=2或d=0(舍去). ∴an=3+2(n-1)=2n+1. 等比數(shù)列{bn}的公比為q===3,b1==1. ∴bn=3n-1. (2)證明:由(1)知Sn=n2+2n, ∴==（-）, ∴++…+ = =（1+--） =-（+）<. ∵+≤+=, ∴-(+)≥, ∴≤++…+<. 7.(2015上饒六校月

8、考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2=2,S5=15,數(shù)列{bn}滿足b1=,bn+1=bn. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (2)記Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,f(n)=,試問f(n)是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由. 解:(1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d, 則 解得a1=1,d=1, ∴an=n, 由題意知=, ∴=()n-1, ∴bn=. (2)由(1),得Tn=+++…+, Tn=+++…+, 所以Tn=2-, 又Sn=, 所以f(n)==, f(n+1)-f(n)=-=, 當n≥3,n∈

9、N*時,f(n+1)-f(n)<0, 當n<3,n∈N*時,f(n+1)-f(n)≥0, 又f(1)=1,f(2)=,f(3)=, ∴f(n)存在最大值,為. 8.某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍,并且每年年底固定給股東們分紅500萬元.該企業(yè)2010年年底分紅后的資金為1000萬元. (1)求該企業(yè)2014年年底分紅后的資金; (2)求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32500萬元. 解:設an(單位:萬元)為(2010+n)年年底分紅后的資金,其中n∈N*, 則a1=2×1000-500=1500, a2=2×1500-500=2500,…,an=2an-1-500(n≥2). ∴an-500=2(an-1-500)(n≥2), 即數(shù)列{an-500}是以a1-500=1000為首項, 公比為2的等比數(shù)列, ∴an-500=1000×2n-1, ∴an=1000×2n-1+500. (1)a4=1000×24-1+500=8500, ∴該企業(yè)2014年年底分紅后的資金為8500萬元. (2)由an>32500,即2n-1>32,得n>6, ∴該企業(yè)從2017年開始年底分紅后的資金超過32500萬元. 7