《《新課標》高三數(shù)學（人教版）第一輪復習單元講座 第41講 邏輯、推理與證明、復數(shù)、框圖》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《新課標》高三數(shù)學（人教版）第一輪復習單元講座 第41講 邏輯、推理與證明、復數(shù)、框圖（25頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、普通高中課程標準實驗教科書—數(shù)學 [人教版] 高三新數(shù)學第一輪復習教案（講座41—邏輯、推理與證明、復數(shù)、框圖） 一．課標要求： 1．常用邏輯用語 （1）命題及其關系 ① 了解命題的逆命題、否命題與逆否命題；② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關系； （2）簡單的邏輯聯(lián)結詞 通過數(shù)學實例，了解"或"、"且"、"非"邏輯聯(lián)結詞的含義。 （3）全稱量詞與存在量詞 ① 通過生活和數(shù)學中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義； ② 能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。 2．推理與證明 （1）合情推理與演繹推理 ①結合已學過的數(shù)學實例和生活中的

2、實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用； ②結合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理； ③通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 （2）直接證明與間接證明 ①結合已經學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點； ②結合已經學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法--反證法；了解反證法的思考過程、特點； （3）數(shù)學歸納法 了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題； （

3、4）數(shù)學文化 ①通過對實例的介紹（如歐幾里德《幾何原本》、馬克思《資本論》、杰弗遜《獨立宣言》、牛頓三定律），體會公理化思想； ②介紹計算機在自動推理領域和數(shù)學證明中的作用； 3．數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 （1）在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學內部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系； （2）理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件； （3）了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義； （4）能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解復數(shù)代數(shù)形式的加減運算的幾何意義。 4．框圖 （1）流程圖 ①通過具體實例，進一

4、步認識程序框圖； ②通過具體實例，了解工序流程圖（即統(tǒng)籌圖）； ③能繪制簡單實際問題的流程圖，體會流程圖在解決實際問題中的作用； （2）結構圖 ①通過實例，了解結構圖；運用結構圖梳理已學過的知識、整理收集到的資料信息； ②結合作出的結構圖與他人進行交流，體會結構圖在揭示事物聯(lián)系中的作用。 二．命題走向 常用邏輯用語 本部分內容主要是常用的邏輯用語，包括命題與量詞，基本邏輯聯(lián)結詞以及充分條件、必要條件與命題的四種形式。 預測07年高考對本部分內容的考查形式如下：考查的形式以選擇、填空題為主，考察的重點是條件和復合命題真值的判斷。 推理證明 本部分內容主要包括：合情推理和演繹

5、推理、直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法（理科）等內容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會涉及和滲透，但單獨出題的可能性較小； 預計2007年高考將會有較多題目用到推理證明的方法。 復數(shù) 復數(shù)部分考查的重點是復數(shù)的有關概念、復數(shù)的代數(shù)形式、運算及運算的幾何意義，一般是選擇題、填空題，難度不大，預計今后的高考還會保持這個趨勢。 預測2007年高考對本講的試題難度不會太大，重視對基本問題諸如：復數(shù)的四則運算的考查，題目多以選

6、擇、填空為主。 框圖 本部分是新課標新增內容，歷年高考中涉及內容很少，估計2007年高考中可能在選擇題、填空題中以考察流程圖和結構圖的定義和特征的形式出現(xiàn)；也可能以畫某種知識的結構圖或解決某類問題的流程圖為形式的解答題出現(xiàn)，但不論哪種形式，所占份量都不會很大。 三．要點精講 1．常用邏輯用語 （1）命題 命題：可以判斷真假的語句叫命題； 邏輯聯(lián)結詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結詞的命題。復合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題。 常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題，故復合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。 （2）復合命題的

7、真值 “非p”形式復合命題的真假可以用下表表示： p 非p 真 假 假 真 “p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示： p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p且q”形式復合命題的真假可以用下表表示： p q P或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復合命題當p與q同為真時為真，其他情況為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況為

8、真；3°真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構成的復合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內容。 （3）四種命題 如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題； 如果一個命題的條件和結論分別是原命題的條件和結論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題； 如果一個命題的條件和結論分別是原命題的結論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題。 兩個互為逆否命題的真假是相同的，即兩個互為逆否命題是等價命題.若判斷一個命題的真假較困難時，可轉化為判斷其逆否命題的真假。

9、 （4）條件 一般地，如果已知pTq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件。 可分為四類：（1）充分不必要條件，即pTq,而qp；(2)必要不充分條件，即pq,而qTp；(3)既充分又必要條件，即pTq，又有qTp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp。 一般地，如果既有pTq，又有qTp，就記作：pq.“”叫做等價符號。pq表示pTq且qTp。 這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。 （5）全稱命題與特稱命題 這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命

10、題。 短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。 2．推理與證明 （1）合情推理 根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理； 根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。 類比推理的一般步驟： （1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一

11、個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質上相同或類似，那么它們在另一些性質上也可能相同或類似，類比的結論可能是真的；（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的命題就越可靠。 （2）演繹推理 分析上述推理過程，可以看出，推理的滅每一個步驟都是根據(jù)一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過程，這類根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結論必然為真。 （3）證明 反證法：要證明某一結論A是正確的，但不

12、直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數(shù)學證明方法。 反證法的步驟：1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；2)從這個假設出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。 注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結論。 分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就

13、可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。 用分析法證明不等式的邏輯關系是： 分析法的思維特點是：執(zhí)果索因； 分析法的書寫格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真， 從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有…… 這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。 綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法， 用綜合法證明不等式的邏輯關系是： 綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法。 3．數(shù)系的擴充與復數(shù)的引

14、入 形如a+bi(a,b的數(shù)，我們把它們叫做復數(shù)，全體復數(shù)所形成的集合叫做復數(shù)集，一般用字母C表示，其中a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部。 復數(shù)的加法法則：（a+bi）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；復數(shù)的加法法則：（a+bi）－(c+di)=(a－c)+(b－d)i；復數(shù)的乘法法則：（a+bi）（c+di）=(ac－bd)+(ad+bc)i；復數(shù)的除法法則：(a+bi)(c+di)=== =+； 4．框圖 （1）結構圖 首先，你要對所畫結構圖的每一部分有一個深刻的理解和透徹的掌握，從頭止尾抓住主要脈絡進行分解，然后將每一步分解進行歸納與

15、提煉，形成一個個知識點并將其逐一地寫在矩形框內。最后，按其內在的邏輯順序將它們排列起來并用線段相連，這樣就畫成了知識結構圖。 認識結構圖：由構成系統(tǒng)的若干要素和表達各要素之間關系的連線構成。 繪制結構圖的步驟：1）先確定組成系統(tǒng)的基本要素，以及這些要素之間的關系；2）處理好“上位”與“下位”的關系；“下位”要素比“上位”要素更為具體， “上位”要素比“下位”要素更為抽象。3）再逐步細化各層要素；4）畫出結構圖，表示整個系統(tǒng)。 （2）流程圖 繪制流程圖的一般過程：首先，用自然語言描述流程步驟；其次，分析每一步驟是否可以直接表達，或需要借助于邏輯結構來表達；再次，分析各步驟之間的關系；最后

16、，畫出流程圖表示整個流程。 鑒于用自然語言描述算法所出現(xiàn)的種種弊端，人們開始用流程圖來表示算法，這種描述方法既避免了自然語言描述算法的拖沓冗長，又消除了起義性，且能清晰準確地表述該算法的每一步驟，因而深受歡迎。 設計算法解決問題的主要步驟： 第一步、用自然語言描述算法； 算法可以用自然語言來描述，但為了使算法的程序或步驟表達得更為直觀，我們更經常地用圖形方式來表示它。 第二步、畫出程序框圖表達算法； 第三步、寫出計算機相應的程序并上機實現(xiàn)。 四．典例解析 題型1：判斷命題的真值 例1．寫出由下述各命題構成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題，并指出所構成的這些復

17、合命題的真假。 （1）p：9是144的約數(shù)，q：9是225的約數(shù)。 （2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1； （3）p：實數(shù)的平方是正數(shù)，q：實數(shù)的平方是0. 解析：由簡單命題構成復合命題，一定要檢驗是否符合“真值表”如果不符要作語言上的調整。 （1）p或q：9是144或225的約數(shù)； p且q：9是144與225的公約數(shù)，（或寫成：9是144的約數(shù)，且9是225的約數(shù)）； 非p：9不是144的約數(shù). ∵p真，q真，∴“p或q”為真，“p且q” 為真，而“非p”為假. （2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是

18、x=－1（注意，不能寫成“方程x2－1=0的解是x=±1”，這與真值表不符）； p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1； 非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應理解為“都是”的意思）； ∵p假，q假，∴“p或q”與，“p且q” 均為假，而“非p”為真. （3）p或q：實數(shù)的平方都是正數(shù)或實數(shù)的平方都是0； p且q：實數(shù)的平方都是正數(shù)且實數(shù)的平方都是0； 非p：實數(shù)的平方不都是正數(shù)，（或：存在實數(shù)，其平方不是正數(shù)）； ∵p假，q假，∴“p或q”與“p且q” 均為假，而“非p”為真. 點評：在命題p或命題q的語句中，

19、由于中文表達的習慣常常會有些省略，這種情況下應作詞語上的調整。 題型2：條件 例2．（1）（2005北京2）“”是“直線相互垂直”的（ ） A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案：B； 解析：當時兩直線斜率乘積為從而可得兩直線垂直,當時兩直線一條斜率為0一條斜率不存在,但兩直線仍然垂直.因此是題目中給出的兩條直線垂直的充分但不必要條件。 點評：對于兩條直線垂直的充要條件①都存在時②中有一個不存在另一個為零對于②這種情況多數(shù)考生容易忽略。 （2）（2005湖南6）設集合A＝｛x|＜0，B＝｛x || x －1|＜a

20、，若“a＝1”是“A∩B≠”的（ ?。? 　 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件　 D．既不充分又不必要條件 答案：A； 解析：由題意得A：－1

21、 ； （2）判斷命題：“若沒有實根，則”的真假性。 解析：（1）答案：若； 由題意原命題的否命題為“若”。 （2）很可能許多同學會認為它是假命題（原因m=0時顯然方程有根），而它的逆否命題：“若有實根”，顯然為真，其實不然，由沒實根可推得，而的真子集，由，故原命題為真，其實，用逆否命題很容易判斷它是真命題； 點評：本題考查了命題間的關系，由原命題寫出其否命題。 題型4：全稱命題與特稱命題 例4．命題p：“有些三角形是等腰三角形”，則┐p是（ ） A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等腰三角形 C．所有三角形不是等腰三角

22、形 D．所有三角形是等腰三角形 解析：像這種存在性命題的否定命題也有其規(guī)律：命題p：“存在使P（x）成立”，┐p為：“對任意”，它恰與全稱性命題的否定命題相反，故的答案為C。 點評：簡易邏輯題，比較抽象，不少學生在有些問題的看法上常出現(xiàn)一些自己也說不清道不明的疑惑，但要依據(jù)具體的規(guī)則進行詳細的處理。 題型5：合情推理 例5．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？ （2）把下面在平面內成立的結論類比推廣到空間，并判斷類比的結論是否成立： 1）如果一條直線與兩條平行直

23、線中的一條相交，則必于另一條相交。 2）如果兩條直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。 解析：（1）設為個點可連的弦的條數(shù)，則 （2） 1）一個平面如和兩個平行平面中的一個相交，則必然和另一個也相交，次結論成立； 2）若兩個平面同時垂直第三個騙馬，則這兩個平面也相互平行，此結論不成立。 點評：當前提為真，結論可能為真的推理。一定要理解合情推理的必要性。 題型6：演繹推理 例6．（06年天津）如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，棱。 （1）證明//平面； （2）設，證明平面。 解析：（Ⅰ）證明：取CD中點M，連結OM. 在矩形ABCD中，，

24、又， 則，連結EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形. 又平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE （Ⅱ）證明：連結FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中， 且。 因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF。 點評：本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力。 題型7：特殊證法 例7．（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么； （2）（06全國II）設數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…。

25、 （Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式。 解析：（1）假設不大于，則或者<,或者=。 ∵a>0，b>0，∴<<，< ，ab>0矛盾，∴. 證法二（直接證法）， ∵a>b>0,∴a - b>0即， ∴，∴。 （2）(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝。 當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝。 (Ⅱ)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2

26、Sn＋1－anSn＝0。 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　?、? 由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝。 由①可得S3＝，由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，… 下面用數(shù)學歸納法證明這個結論 (i)n＝1時已知結論成立； (ii)假設n＝k時結論成立，即Sk＝， 當n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝， 故n＝k＋1時結論也成立． 綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立， 于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 又n＝1時，a1＝＝，所以｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，… 點評：要應

27、用好反證法、數(shù)學歸納法證明一些涉及代數(shù)、不等式、幾何的結論。 題型8：復數(shù)的概念及性質 例8．（1）（福建卷）設a、b、c、d∈R，則復數(shù)(a+bi)(c+di)為實數(shù)的充要條件是 A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 （2）（北京卷）在復平面內，復數(shù)對應的點位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解析：（1）復數(shù)=為實數(shù)，∴，選D； （2）解：故選D； 點評：復數(shù)的概念和性質是高考對復數(shù)部分的一個考點，屬于比較基本的題目，主要考察復數(shù)的

28、的分類和幾何性質。 題型9：復數(shù)的運算 例9．（1）（06浙江卷）已知（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i （2）（湖北卷）設為實數(shù)，且，則 。 解析：（1），由、是實數(shù)，得， ∴，故選擇C。 （2）， 而 所以，解得x＝－1，y＝5， 所以x＋y＝4。 點評：本題考查復數(shù)的運算及性質，基礎題。 題型10：框圖 例10．（1）方案1：派出調研人員赴北京、上海、廣州調研，待調研人員回來后決定生產數(shù)量； 方案2：商家如戰(zhàn)場！抓緊時間搞好調

29、研，然后進行生產，調研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進搞調研，以便提前結束調研，盡早投產使產品占領市場。 （2）公司人事結構圖 解析：（1）方案1：派出調研人員赴北京、上海、廣州調研，待調研人員回來后決定生產數(shù)量。 ?? 方案2： 商家如戰(zhàn)場！抓緊時間搞好調研，然后進行生產，調研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進搞調研，以便提前結束調研，盡早投產使產品占領市場。 于是： （2） 點評：建立合理的結構圖和流程圖解決實際問題，要形成良好的書寫習慣遵循從上到下、從左到右的規(guī)則。 五．思維總結 1．簡易邏輯的重點內容是有關“充要條件”、命題真?zhèn)蔚脑囶}。主

30、要是對數(shù)學概念有準確的記憶和深層次的理解，試題以選擇題、填空題為主，難度不大，要求對基本知識、基本題型，求解準確熟練； 2．推理證明題主要和其它知識結合到一塊，屬于知識綜合題，解決此類題目時要建立合理的解題思路； 3．高考對于復數(shù)的考察主要以復數(shù)的四則運算為主，按新課標的要求高考將不再考察共軛復數(shù)、復數(shù)的模等知識點； 4．框圖屬于新增內容，將以考察考生的實際應用能力為主，考查考生的知識遷移能力。 《新課標》高三數(shù)學（人教版）第一輪復習單元講座 第一講 集 合 一．課標要求： 1．集合的含義與表示 （1）通過實例，了解集合的含義，體會元素

31、與集合的“屬于”關系； （2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用； 2．集合間的基本關系 （1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集； （2）在具體情境中，了解全集與空集的含義； 3．集合的基本運算 （1）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集； （2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集； （3）能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。 二．命題走向 有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關系，近年試題加強了對集合的

32、計算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用Venn圖解題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉換和化簡的訓練。考試形式多以一道選擇題為主，分值5分。 預測2007年高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會滲透在解答題的表達之中，相對獨立。具體題型估計為： （1）題型是1個選擇題或1個填空題； （2）熱點是集合的基本概念、運算和工具作用。 三．要點精講 1．集合：某些指定的對象集在一起成為集合。 （1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作； （2）集合中的元

33、素必須滿足：確定性、互異性與無序性； 確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立； 互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素； 無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關； （3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法； 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內； 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。 具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條

34、豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。 注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。 （4）常用數(shù)集及其記法： 非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N； 正整數(shù)集，記作N*或N+； 整數(shù)集，記作Z； 有理數(shù)集，記作Q； 實數(shù)集，記作R。 2．集合的包含關系： （1）集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集（或B包含A），記作AB（或）； 集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A B；

35、 （2）簡單性質：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集（其中2n－1個真子集）； 3．全集與補集： （1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U； （2）若S是一個集合，AS，則，=稱S中子集A的補集； （3）簡單性質：1）()=A；2）S=，=S。 4．交集與并集： （1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。 （2）一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。。 注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還

36、是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結合的思想方法。 5．集合的簡單性質： （1） （2） （3） （4）； （5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。 四．典例解析 題型1：集合的概念 例1．設集合，若，則下列關系正確的是（ ） A． B． C． D． 解：由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。則。選項為D； 點評：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關系。首先應該分清楚元素與

37、集合之間是屬于與不屬于的關系，而集合之間是包含與不包含的關系。 例2．設集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立，則下列關系中成立的是（ ） A．PQ B．QP C．P=Q D．P∩Q=Q 解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立＝，對m分類： ①m=0時，－4＜0恒成立； ②m＜0時，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0。 綜合①②知m≤0， ∴Q={m∈R|m≤0}。 答案為A。 點評：該題考察了集合間的關系，同時考察了分類討論的思想。集合中含有參數(shù)m，需要對參數(shù)進行分類討論，不能

38、忽略m=0的情況。 題型2：集合的性質 例3．（2000廣東，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個數(shù)是（ ） A．15 B．16 C．3 D．4 解：根據(jù)子集的計算應有24－1=15（個）。選項為A； 點評：該題考察集合子集個數(shù)公式。注意求真子集時千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時，A不是A的真子集。 變式題：同時滿足條件：①②若，這樣的集合M有多少個，舉出這些集合來。 答案：這樣的集合M有8個。 例4．已知全集，A={1,}如果，則這樣的實數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由。 解：∵； ∴，即＝0，解得 當時，

39、，為A中元素； 當時， 當時， ∴這樣的實數(shù)x存在，是或。 另法：∵ ∴， ∴＝0且 ∴或。 點評：該題考察了集合間的關系以及集合的性質。分類討論的過程中“當時，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關鍵是理解符號是兩層含義：。 變式題：已知集合，,,求的值。 解：由可知， （1），或（2） 解（1）得， 解（2）得， 又因為當時，與題意不符， 所以，。 題型3：集合的運算 例5．（06全國Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝（ ） A． B．｛x|0＜x＜3 C．｛x|1＜x＜3

40、 D．｛x|2＜x＜3 解：由對數(shù)函數(shù)的性質，且2>1，顯然由易得。從而。故選項為D。 點評：該題考察了不等式和集合交運算。 例6．（06安徽理，1）設集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 解：，，所以，故選B。 點評：該題考察了集合的交、補運算。 題型4：圖解法解集合問題 例7．（2003上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實數(shù)a圖 的取值范圍是____ _。 解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數(shù)軸上覆蓋關系：

41、如圖所示，因此有a≤－2。 點評：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關系問題。 例8．（1996全國理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，則（ ） A．I＝A∪B B．I＝（A）∪B C．I＝A∪（B ） D．I＝（A）∪（B） 解：方法一：A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有Ｃ選項正確. 圖 方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以B＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪B，故答案為Ｃ. 方法三：因BA，所以（）A（）B，（

42、）A∩（B）＝A，故I＝A∪（A）＝A∪（B）。 方法四：根據(jù)題意，我們畫出Venn圖來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A∪（B）是成立的。 點評：本題考查對集合概念和關系的理解和掌握，注意數(shù)形結合的思想方法，用無限集考查，提高了對邏輯思維能力的要求。 題型5：集合的應用 例9．向50名學生調查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？ 解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為3

43、0+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B。 設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人。 點評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握。本題主要強化學生的這種能力。解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點在于所給的數(shù)量關系比較錯綜復雜，一

44、時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關系間的聯(lián)系。 例10．求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？ 解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5) －(200÷10)－(200÷6)－(200÷15) ＋(200÷30)＝146 所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54（個） 點評：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設條件的和不滿足題設條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標準明確而簡單，可

45、考慮用扣除法。 題型7：集合綜合題 例11．（1999上海，17）設集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求實數(shù)a的取值范圍。 解：由|x－a|<2，得a－2

46、且不為0，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和記作Sn,設集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。 試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明： （1）若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上； （2）A∩B至多有一個元素； （3）當a1≠0時，一定有A∩B≠。 解：（1）正確；在等差數(shù)列{an}中，Sn=,則(a1+an),這表明點(an,)的坐標適合方程y(x+a1),于是點(an, )均在直線y=x+a1上。 （2）正確；設(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標x,y應是方程組的解，由方程組消去y

47、得：2a1x+a12=－4(*)， 當a1=0時，方程(*)無解，此時A∩B=； 當a1≠0時，方程(*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。 ∴A∩B至多有一個元素。 （3）不正確；取a1=1，d=1，對一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0, >0，這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠，那么據(jù)(2)的結論，A∩B中至多有一個元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0，這樣的(x0,y0)A,產生矛盾，故a1=1,d=1時A∩B=，所以a1≠0時，一定有A∩B≠是不正確的。 點評：該題融合

48、了集合、數(shù)列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。 變式題：解答下述問題： （Ⅰ）設集合，,求實數(shù)m的取值范圍. 分析：關鍵是準確理解 的具體意義，首先要從數(shù)學意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。 解： 的取值范圍是UM={m|m<-2}. （解法三）設這是開口向上的拋物線，，則二次函數(shù)性質知命題又等價于 注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關鍵作用，否則解答沒有這么簡單。 （Ⅱ）已知兩個正整數(shù)集合A={a1,a2,a3,a4}, 、B. 分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質解決，注意

49、“正整數(shù)”這個條件的運用， （Ⅲ） 分析：正確理解 要使, 由 當k=0時，方程有解,不合題意； 當① 又由 由②， 由①、②得 ∵b為自然數(shù)，∴b=2，代入①、②得k=1 點評：這是一組關于集合的“交、并”的常規(guī)問題，解決這些問題的關鍵是準確理解問題條件的具體的數(shù)學內容，才能由此尋求解決的方法。 題型6：課標創(chuàng)新題 例13．七名學生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？ 解：設集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中間的位置}，

50、 D={丙站在正中間的位置}， 則集合A、B、C、D的關系如圖所示， ∴不同的排法有種. 點評：這是一道排列應用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯，若考慮運用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應用，在今后的學習中應注意總結集合應用的經驗。 例14．A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對任意的，都有 （1）設，證明： （2）設,如果存在,使得,那么這樣的是唯一的; （3）設,任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式。 解： 對任意,,,,所以 對任意的， ， ，

51、 所以0<, 令=， ， 所以 反證法：設存在兩個使得,。 則由， 得，所以，矛盾，故結論成立。 ， 所以 +… 。 點評：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質融合在集合的關系當中，題目比較新穎。 五．思維總結 集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數(shù)學問題，運用集合觀點去研究和解決數(shù)學問題。 1．學習集合的基礎能力是準確描述集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如、、、、=、A、∪，∩等等； 2．強化對集合與集合關系題目的訓練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用Venn

52、圖解題方法的訓練，加強兩種集合表示方法轉換和化簡訓練；解決集合有關問題的關鍵是準確理解集合所描述的具體內容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應考慮先化簡（或求解）； 3．確定集合的“包含關系”與求集合的“交、并、補”是學習集合的中心內容，解決問題時應根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學內容來尋求方法。 ① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}； ② AB時，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。 ③若集合A中有n個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是－1, 所有非空真子集的個數(shù)是。 ④區(qū)分集合中元素的形式： 如； ； ； ； ； ； 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關系?？占侨魏渭系淖蛹侨魏畏强占系恼孀蛹?。條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。 ⑥符號“”是表示元素與集合之間關系的，立體幾何中的體現(xiàn)點與直線（面）的關系 ；符號“”是表示集合與集合之間關系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關系。 邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門學科，是人們認識和研究問題不可缺少的工具，是為了培養(yǎng)學生的推理技能，發(fā)展學生的思維能力。