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《機器人第四章》PPT課件.ppt

上傳人:san****019 文檔編號:15720501 上傳時間:2020-09-01 格式:PPT 頁數(shù):58 大?。?8.78MB
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1、第四章 操作臂逆運動學,4.1 概述 4.2 可解性 4.3 當n<6時操作臂子空間的描述 4.4 代數(shù)解法與幾何解法 4.5 通過化簡為多項式的解法 4.6 三軸相交的PIEPER解法(閱讀) 4.7 PUMA560機器人的逆運動學問題(閱讀) 4.8 標準坐標系 4.9 重復精度和定位精度 4.10 計算問題,2,4.1 概述,操作臂的逆運動學:已知操作臂末端笛卡爾空間的位置和姿態(tài),如何計算一系列滿足期望要求的關節(jié)角。,即已知齊次矩陣:H,求出滿足要求的關節(jié)變量:,3,4.2 可解性,求解操作臂的逆運動學是一個非線性方程。,對于PUMA560 中,旋轉矩陣生成9個方程,只有3個是獨立的

2、(因為正交矩陣只有三個獨立參數(shù))。再加上位置生成3個方程,共6個方程,6個未知數(shù),是一個非線性超越方程。,對于PUMA560 中,有意義的方程一共12個。因為齊次矩陣最后一行為0 0 0 1。,4,解的存在性,工作空間:操作臂末端執(zhí)行器所能達到的范圍。,靈巧工作空間:操作臂末端執(zhí)行器能夠從各個方向達到的空間區(qū)域。,可達工作空間:操作臂末端執(zhí)行器至少從一個方向有一個方位可以達到的空間區(qū)域。,靈巧工作空間是可達工作空間的一個子集。,5,如果 可達工作空間為半徑為 的圓。而靈巧工作空間僅為單獨的一點(圓心)。,如果 則不存在靈巧工作空間,而可達空間為半徑為 的圓環(huán)。,如

3、果 ,而 ,則工作空間同上(圓環(huán))而此時僅有一個方位可以達到工作空間的每一點。,當一個操作臂少于6個自由度時,它在3維空間內不可能達到全部位姿(因為至少需要6個自由度)。上圖中操作臂不能伸出平面,因此凡是Z坐標不為0的點均不可達。,6,一個值得研究的問題是:對于少于6個自由度的操作臂,它的工作空間是什么?給定一個確定的一般坐標系,什么是最近的可達目標坐標系。,用戶關心的是工具坐標系T的工作空間,而一般常去研究腕部坐標系W的工作空間。我們研究的工作空間和用戶關心的工作空間是有區(qū)別的。但問題的實質是一樣的,即操作臂的逆運動學問題(Inverse Kinematics)。,如果

4、腕部坐標系的期望位姿在這個工作空間內,那么至少存在一個解。,7,對于三連桿平面操作臂,虛線表示第二個解。此問題存在兩個解。,多重解問題(解的唯一性問題),8,對于多解問題,應選擇最小行程解。例如處于A點想要達到B點,就選擇上部虛線。這樣相當于對逆運動學程序中輸入一個小的位移即可。,最小行程解可能有幾種確定方式。例如,有3個大的連桿,附帶有3個小的連桿。選擇側重于小的連桿,而不是大的連桿。但有障礙物的情況下,只能選擇較長行程解。,9,解的個數(shù)取決于操作臂的關節(jié)數(shù)量,它是連桿參數(shù)和關節(jié)運動范圍的函數(shù)。,PUMA560機器人到達一個確定目標有8個不同的解,下圖列出4個解,另外4個是:,10,連桿的非

5、零參數(shù)越多,達到某一特定目標的方式越多;對于一個全部為旋轉關節(jié)的6自由度操作臂來說,可能多大16種解。,11,解法,如果關節(jié)變量能夠通過一種算法確定,這種算法可以求出與已知位姿相關的全部關節(jié)變量,稱操作臂是可解的。,解法分為兩大類: (1)封閉解:有限次初等運算得到的解; (2)數(shù)值解:經(jīng)過迭代得到的解。,12,封閉解又稱解析解,可以分為: (1)代數(shù)法 (2)幾何法,所有包含旋轉關節(jié)和移動關節(jié)串連型6自由度機構是可解的。但一般為數(shù)值解。只有在極少情況下存在解析解。存在解析解的操作臂具有如下特性:存在幾個正交軸或平行軸。 數(shù)值解一般比解析解耗時,因此在操作臂虛擬設計應該考慮這個問題。,具有6個

6、旋轉關節(jié)的操作臂存在封閉解的充分條件是相鄰的三個關節(jié)軸相交于一點。,13,4.3 當n<6時操作臂子空間的描述,對于一個n自由度操作臂(n<6),可達工作空間可看成是n自由度子空間的一部分。下圖為3R操作臂的子空間,式中x,y給出了腕關節(jié)的位置, 給出了末端連桿的姿態(tài)。當x,y和 可以取任意值時,就得到了子空間。,14,例:如下圖給出兩自由度極坐標操作臂 的子空間,解:一旦給定了x,y, 的方向也就確定了, 的方向向下,從而根據(jù)右手規(guī)則:,已知:,15,現(xiàn)在:,根據(jù)第二章旋轉矩陣的寫法:,則齊次矩陣為:,16,得到:,對于具有n個自由度操作臂的目標點進行定義,通常采用n個參數(shù)來確定這個目標點

7、。也就是說,確定的目標點有6個自由度,一般自由度n<6的操作臂是無法達到這個目標點的,在這種情況下,可尋找一個位于操作臂子空間內的可達目標點代替原目標點,并且和原目標點盡可能接近。,17,4.4 代數(shù)解法和幾何解法,代數(shù)解法 以3R操作臂為例,18,19,由于是平面操作臂,其變換形式只能是這種形式:,現(xiàn)在的問題是:已知上述矩陣,并令和上述矩陣相等,如何求:,20,首先寫出矩陣元素對應方程:,最后兩行平方相加:,利用下述公式:,21,得到,這要求上式右端的值在-1和1之間(利用這個約束可以檢查解是否存在)。便可求得正弦值:,這樣就得到,下面求,22,首先展開最后兩個等式:,其中:,作如下的變換,

8、則有:,4.1,23,代入,再根據(jù)余弦、正弦倍角公式:,再根據(jù)帶象限的反正切公式:,24,這樣就得到,利用前兩個等式,得到,由于 已經(jīng)求出,這樣就得到,這相當于操作臂的逆運動學逆問題就解決了。,25,幾何解法,求解方法是:將操作臂的空間 幾何參數(shù)分解成平面幾何參數(shù)。 然后應用平面幾何方法進行求解。,本例為3R操作臂,連桿在同一 平面內,可以直接進行求解。,本例連桿 、連桿 以及坐標系0和坐標系3的連線構成一三角形,虛線表示另外一種情況。根據(jù)余弦定理:,注意,夾角的計算。,26,利用,得到,為了要求構成三角形,即要求:,必須滿足條件:,取值范圍為:,上述方程的另外一個解為:,這樣就求得了,27

9、,下面求,根據(jù)圖,利用反正切公式和余弦公式可知,因為是三角形的內角,規(guī)定,就得到:,其中正負號的取值和 的取值相對應 :,上式取+,上式取-,28,平面內的旋轉角度是可以相加的,因此,而,這樣就求得 。,29,4.5 通過化簡為多項式的解法,把超越方程變換為代數(shù)方程,利用萬能公式:,就可以化為多項式方程。,30,例:求解下述方程:,按照上述公式展開:,化簡,解得,得到:,31,如果,對于4次(或低于4次)的多項式一定存在封閉解,可以用4次(或低于4次)的多項式方程求解的操作臂,稱為封閉操作臂。,32,4.6 三軸相交的PIEPER解法,Pieper研究了3軸(最后三個軸)相交于一點的6R

10、操作臂。,最后三個軸456相交于一點.,利用D-H參數(shù) 上述只利用了平移,沒有旋轉,所以沒有出現(xiàn)角度,33,進一步計算得到:,利用D-H參數(shù)展開得:,式中:,34,現(xiàn)在寫出: 平方的表達式: 可以看出:,再一次利用D-H參數(shù)展開得:,式中:,35,得到:,寫出r和z方向的方程:,式中:,36,現(xiàn)在求解,(1) 僅為 的函數(shù),可 以用萬能公式求解。,(2) ,再次利用 萬能公式進行求解。,(3)否則,消除 得到:,利用萬能公式,得到一個四次方程。進而可以求解。,37,現(xiàn)在已經(jīng)求解出:,再根據(jù):,求出:,再根據(jù):,求出:,這

11、樣就求出:,38,現(xiàn)在求解:,因為 已經(jīng)求出,所以 可以求出。,從而,求出。 這是一個3個Euler角 的旋轉矩陣,根據(jù)第二章,便可求出:,39,4.7 PUMA560機器人的逆運動學問題,當PUMA560 已知,通過下列方程,求解:,40,將含有 的部分移到方程的左邊:,將 轉置,得到:,令上述等式的元素(2,4)相等,在(313)中為: ,這樣得到:,41,利用三角恒等變換:,式中,因此,即,42,從而得到,因此,因此 的解為:,43,平方相加并且和課本(457)平方相加,得到,現(xiàn)在 已知。令課本式(456)中元素(1,4)和(3,4)元素

12、相等(注意課本(313)中的表達式),其中,44,采用同樣的方法,得到 的解:,重新整理(454),使公式左邊只含有 為變量,即,45,式中 由第3章的式(311)確定。令上式兩邊的元素(1,4)和元素(2,4)相等,得到,聯(lián)立方程得:,46,上式分母相等,且均為正數(shù),則:,根據(jù) 和 解的4種可能,根據(jù)上式計算 4個值:,令課本(457)中兩邊的元素(1,3)和(3,3)分別相等,得,47,只要 ,便可得出,當 時,操作臂處于奇異位形,此時關節(jié)軸4和關節(jié)軸6成一條直線,機器人末端連桿的運動只有一種。在這種情況下,所有結果(所有可能的解)都是 和 的和或

13、差.,注意上式要求 ,即要求:,改寫式(454),使公式左邊均為已知的函數(shù):,由下式給出,48,令(477)兩邊的元素(1,3)和元素(3,3)分別相等,得到,,由此可以得出,49,令(481)兩邊的元素(1,1)和元素(3,1)分別相等,得到:,再次利用上述方法,可以計算出 ,并將(454)寫成如下的形式:,式中:,50,由于在式(464)和式(468)中出現(xiàn)了 號 ,因此這些方程可能有4種解。另外由于操作臂的翻轉可得到另外4種解,由腕關節(jié)的翻轉可得到,當計算出所有8種答案以后,由于關節(jié)運動范圍的限制要將其中的一些解(甚至全部)舍去。在余下的有效解中,通常選取一個最接近

14、于當前操作臂的解。,51,52,4.8 標準坐標系,基坐標系B 工作臺坐標系S 腕坐標系W 工具坐標系T 目標坐標系G,53,1 由用戶確定工作臺坐標系的位置,這個坐標系可能在工作臺的角點上。工作臺坐標系S是相對于基坐標系B定義的。,54,2 由用戶確定工具坐標系T。以不同的方式抓持相同的工具,工具坐標系T的定義是不同的。工具坐標系T是相對于腕坐標系W定義的。,3 由用戶確定目標坐標系G。在許多系統(tǒng)中,工具坐標系定義 是一個常量。,4 機器人運動需要計算一系列關節(jié)角,工具坐標系從初始位置運動到T=G時結束。,55,4.9 操作臂求解,SOLVE可以作為逆運動學函數(shù), SOLVE利用工具坐標系

15、和工作臺坐標系的定義來計算W相對于B的位置,然后,逆運動學將 作為輸入,計算 。,56,4.10 重復精度和定位精度,定位精度是指:操作臂實際達到的位置與目標位置之差。,重復定位精度是指:操作臂重復定位于目標位置的能力。,示教點:操作臂運動實際達到的點。,計算點:從未示教的點。,受D-H參數(shù)的影響。,57,4.11 計算問題,求解關節(jié)角度的能力實際上是機器人控制系統(tǒng)的核心問題。,在許多路徑控制方法中,需要以相當高的速率計算操作臂的逆運動學問題。比如30Hz,有的甚至更快。,(1)Atan2用查表法進行計算; (2)用并行計算算出所有解; (3)多于多解問題,計算第一個解相當費時,但通過計算角度的和或差以及加減pi等方法可以很快得到其余的解。,58,第四章習題,課本pp104105:Matlab習題,

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