《(全國通用)高考數(shù)學二輪復習 專題二 數(shù)列 第3講 數(shù)列的綜合問題課件 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國通用)高考數(shù)學二輪復習 專題二 數(shù)列 第3講 數(shù)列的綜合問題課件 文(50頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講數(shù)列的綜合問題專題二數(shù)列板塊三專題突破核心考點考情考向分析1.數(shù)列的綜合問題,往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合,探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景,利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實際應(yīng)用問題相結(jié)合,考查數(shù)學建模和數(shù)學應(yīng)用能力.熱點分類突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點分類突破1.數(shù)列an中,an與Sn的關(guān)系熱點一利用Sn,an的關(guān)系式求an2.求數(shù)列通項的常用方法(1)公式法:利用等差(比)數(shù)列求通項公式.(2)在已知數(shù)列an中,滿足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用累加法求數(shù)列的通項an.(3)在已知數(shù)列an中,滿足 f(n),且f
2、(1)f(2)f(n)可求,則可用累乘法求數(shù)列的通項an.(4)將遞推關(guān)系進行變換,轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).解答例例1已知等差數(shù)列an中,a22,a3a58,數(shù)列bn中,b12,其前n項和Sn滿足:bn1Sn2(nN*).(1)求數(shù)列an,bn的通項公式;解解a22,a3a58,2d23d8,d1,ann(nN*).bn1Sn2(nN*),bnSn12(nN*,n2).由,得bn1bnSnSn1bn(nN*,n2),bn12bn(nN*,n2).b12,b22b1,bn是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,bn2n(nN*).解答兩式相減,得給出Sn與an的遞推關(guān)系,求an,常用思路:一是
3、利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.思維升華思維升華解答跟蹤演練跟蹤演練1(2018綿陽診斷性考試)已知正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足:a1anS1Sn.(1)求數(shù)列an的通項公式;解解由已知a1anS1Sn,可得由an是正項數(shù)列,故a12.當n2時,由已知可得2an2Sn,2an12Sn1,數(shù)列an是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,故an2n.數(shù)列an的通項公式為an2n(nN*).解答顯然bn是等差數(shù)列,熱點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景,給出數(shù)列所滿足的條件
4、,通常利用點在曲線上給出Sn的表達式,還有以曲線上的切點為背景的問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,將條件進行準確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體,考查最值問題,不等關(guān)系或恒成立問題.解答例例2設(shè)fn(x)xx2xn1,x0,nN,n2.(1)求fn(2);解解由題設(shè)fn(x)12xnxn1,所以fn(2)122(n1)2n2n2n1,則2fn(2)2222(n1)2n1n2n,由得,fn(2)12222n1n2n所以fn(2)(n1)2n1.證明證明證明因為fn(0)10,解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),函數(shù)定義域是正
5、整數(shù),在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視.(2)解題時準確構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件.(3)不等關(guān)系證明中進行適當?shù)姆趴s.思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練2(2018泉州質(zhì)檢)記數(shù)列an的前n 項和為Sn,已知1,an,Sn 成等差數(shù)列.(1)求an的通項公式;解答解解由已知1,an,Sn成等差數(shù)列,得2anSn1,當n1 時,2a1S11,所以a11;當n2時,2an1Sn11,則數(shù)列an是以a11為首項,q2為公比的等比數(shù)列,所以ana1qn112n12n1(nN*).證明所以b1b2bn用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題,關(guān)鍵是合理建立數(shù)學模型數(shù)列模型,弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等
6、比模型,它的首項是什么,項數(shù)是多少,然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題.求解時,要明確目標,即搞清是求和,還是求通項,還是解遞推關(guān)系問題,所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題,還是解不等式問題,還是最值問題,然后進行合理推算,得出實際問題的結(jié)果.熱點三數(shù)列的實際應(yīng)用解答例例3科學研究證實,二氧化碳等溫室氣體的排放(簡稱碳排放)對全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負面影響,環(huán)境部門對A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550萬噸,否則將采取緊急限排措施.已知A市2017年的碳排放總量為400萬噸,通過技術(shù)改造和倡導低碳生活等措施,此后每年的碳排放總量比上一年的碳排放總量減少10%.同時,因經(jīng)濟發(fā)展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放
7、量m萬噸(m0).(1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示);解解設(shè)2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2,由已知,a14000.9m,a20.9(4000.9m)m4000.920.9mm3241.9m.解答(2)若A市永遠不需要采取緊急限排措施,求m的取值范圍.解解a30.9(4000.920.9mm)m4000.930.92m0.9mm,an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm(40010m)0.9n10m.由已知nN*,an550,(1)當40010m0,即m40時,顯然滿足題意;(2)當40010m0,即m40時,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得(40
8、010m)0.910m550,解得m190.綜合得m40;(3)當40010m40時,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10m550,解得m55,綜合得40m55.綜上可得所求m的范圍是(0,55.常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型:原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,對于時間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲蓄復利公式:按復利計算利息的一種儲蓄,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲蓄單利公式:利息按單利計算,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和ya(1nr).(4)分期付款模型:a為貸款總額,r為年利率,b為等額還款數(shù),則b .思維升華思維升華
9、跟蹤演練跟蹤演練3(2018上海崇明區(qū)模擬)2016 年崇明區(qū)政府投資 8 千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項目.規(guī)劃從 2017 年起,在今后的若干年內(nèi),每年繼續(xù)投資 2 千萬元用于此項目.2016 年該項目的凈收入為 5 百萬元,并預(yù)測在相當長的年份里,每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長50%.記 2016 年為第 1 年,f(n)為第 1 年至此后第n(nN*)年的累計利潤(注:含第n年,累計利潤累計凈收入累計投入,單位:千萬元),且當f(n)為正值時,認為該項目贏利.解答(1)試求f(n)的表達式;解解由題意知,第1年至此后第n(nN*)年的累計投入為82(n1)2n6(千萬元),第1年至
10、此后第n(nN*)年的累計凈收入為解答(2)根據(jù)預(yù)測,該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利?請說明理由.當n3時,f(n1)f(n)0,故當n4時,f(n)遞增.該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利.答:答:該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利.x4.從而當x1,4)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利.答:答:該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利.真題押題精練1.(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項和.若Sn2an1,則S6_.真題體驗解析63答案解析解析Sn2an1,當n2時,Sn12an11,anSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2).當n1時,a1S1
11、2a11,得a11.數(shù)列an是首項a11,公比q2的等比數(shù)列,S612663.2.(2017山東)已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1x23,x3x22.(1)求數(shù)列xn的通項公式;解答解解設(shè)數(shù)列xn的公比為q.所以3q25q20,由已知得q0,所以q2,x11.因此數(shù)列xn的通項公式為xn2n1(nN*).(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,依次連接點P1(x1,1),P2(x2,2),Pn1(xn1,n1)得到折線P1P2Pn1,求由該折線與直線y0,xx1,xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.解答解解過P1,P2,Pn1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,Qn1.由(1)得xn1xn2
12、n2n12n1,記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn,所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1,得Tn321(2222n1)(2n1)2n1押題預(yù)測已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足關(guān)系式Snkan1,k為不等于0的常數(shù).(1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列;押題依據(jù)押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識,考查反證法的數(shù)學方法及邏輯推理能力.解答押題依據(jù)解解若數(shù)列an是等比數(shù)列,則由n1得a1S1ka2,從而a2ka3.又取n2,得a1a2S2ka3,于是a10,顯然矛盾,故數(shù)列an不是等比數(shù)列.押題依據(jù)押題依據(jù)是高考的熱點問題,即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合,其中將求數(shù)列前n項和的常用方法“裂項相消法”與“錯位相減法”結(jié)合在一起,考查了綜合分析問題、解決問題的能力.解答押題依據(jù)2nb從而Snan1.當n2時,由Sn1an,得anSnSn1an1an,從而其前n項和Sn2n2(nN*).由得bnn2,記C2121220n2n2,則2C2120221n2n1,即n2n900,因為nN*且n1,故n9,從而最小正整數(shù)n的值是10.