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1、6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì),第一小組成員： 付曉瑋 危靜 張文林 趙朝陽 張建中 楊浩澎,本節(jié)內(nèi)容：,1.模擬濾波器的設(shè)計(jì)總述； 2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)原理； 3.關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)的例題；,I. 模擬濾波器的設(shè)計(jì)總述,模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。,典型濾波器 巴特沃斯（Butterworth）濾波器:具有單

2、調(diào)下降的幅頻特性； 切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性 在通帶或阻帶有波動(dòng)，可提高選擇性； 貝塞爾（Bessel）濾波器：通帶內(nèi)有較好的線性相位； 橢圓（Ellipse）濾波器：選擇性最好，但相位特性的非線性嚴(yán)重。,選頻型模擬濾波器按頻率特性可分為低通，高通，帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅頻特性如圖所示：,圖6.2.1 各種理想濾波器的幅頻特性,模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo),圖6.1.1 典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標(biāo)描述,濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的技術(shù)指標(biāo)，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此,(6.2.6),Butterwor

3、th低通濾波器具有通帶最平幅度逼近特性，是一全極點(diǎn)型濾波器，且極點(diǎn)均勻分布上c的圓上,并且與虛軸對(duì)稱。其最主要特點(diǎn)：在通帶內(nèi)，幅頻最平坦，隨著頻率的升高而單調(diào)下降。其幅度平方函數(shù)為,II.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)原理,(6.2.7),,,,在=c附近，隨加大，幅度迅速下降，幅度特性與和N的關(guān)系如下圖所示：,圖6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系,,幅度下降的速度與階數(shù)N有 關(guān)， N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快，總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。,將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的函數(shù)：,(6.2.8),此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式

4、表示：,(6.2.9),k=0,1,2,3，，2N-1。 當(dāng)N=3時(shí)：,圖6.2.4 三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布,極點(diǎn)在s平面呈象限對(duì)稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn),極點(diǎn)間的角度間隔為/ N rad,為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式為,(6.2.10),取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)：,eg：設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為,由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為

5、G(s/c) 令=/c，p=s/c=j/c,稱為歸一 化頻率；p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴 特沃斯的傳輸函數(shù)為,(6.2.11),(6.2.12),G,式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：,(6.2.13),顯然， Sk=cpk,(6.2.14),這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，再求出N個(gè) 極點(diǎn)Pk，按照(6.2.12)得到歸一化低通原型系統(tǒng) 函數(shù)Ga(p),若給定c,再去歸一化，即將p=s/c 代入Gs(p)中(或求出Sk),便得到期望設(shè)計(jì)的系統(tǒng) 函數(shù)Ha(s)。,將極點(diǎn)表達(dá)式（6.2.13）代入（6.2.12）式，得到Ga(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式

6、，如下：,,歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)bk，K=0,1,2,,N-1，以及極點(diǎn)Pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中還給出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)N，查表就可以得到Ga(p)及各極點(diǎn)，而且還可以選擇級(jí)聯(lián)型和直連型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表示形式，避免了因式分解的運(yùn)算工作。,(6.2.15),表6.2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù),將=s代入(6.2.7)式中，再將|Ha(js)|2代入(6.2.3)式中，得到：,(6.2.16),(6.2.17),由(6.2.9)和(6.2.10)可知，只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率c，就可求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

7、Ha(s)，故，巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù)N和3dB截止頻率c的過程。下面先介紹階數(shù)N的確定方法。,階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶，阻帶的幅度下降速度,它由技術(shù)指標(biāo)p，p，s和s確定。將=p代入幅度平方函數(shù)(6.2.7)中,再將幅度平方函數(shù)|Ha(js)|2代入(6.2.2)中，得到：,由(6.2.16)和(6.2.17)式得到：,令,則N由下式表示：,(6.2.18c),(6.2.18a),(6.2.18b),用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17

8、)式求出，由(6.2.16)式得到：,由(6.2.17)式得到：,(6.2.19),(6.2.20),通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余,阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余,總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下： (1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p,p,s和s,用 (6.2.18)式求出濾波器的階數(shù)N。 (2)按照(6.2.13)式,求出歸一化極點(diǎn) pk,將 pk代入(6.2.12)式,得到歸一化低通原型 系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。 (3)將Ga(p)去歸一化。將p=s/c代入Ga(p), 得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s): Ha(s)= Ga(p)| p=s/c,例6.2.1 已知通帶截止頻率

9、fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。 解 (1) 確定階數(shù)N。,,III.關(guān)于巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)的例題,(2) 按照(6.2.13)式，其極點(diǎn)pK為,按照(6.2.12)式，歸一化傳輸函數(shù)為,上式分母可以展開成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解形式。,G,極點(diǎn)：-0.3090j0.9511;-0.8090j0.5878;-1.0000,五階多項(xiàng)式,這里不如直接查表6.2.1簡單，由N=5，直接查表得到：,式中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3) 為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c。 按照(6.2.19)式，得到：,將c代入(6.2.20)式，得到：,將p=s/c代入Ga(p)中得到：,,G,,THANK YOU !,