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1、第六章,近獨(dú)立粒子的最概然分布,2,熱統(tǒng),統(tǒng)計(jì)物理基本觀點(diǎn)：宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。,熱統(tǒng),任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化, 則整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化,單粒子的狀態(tài)描述：用 r 個(gè)廣義坐標(biāo)和 r 個(gè)廣義動(dòng)量，N個(gè)粒子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要 來確定。用 共2r個(gè)變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個(gè)2r 維空間，稱為相（u）空間。,q1、q2、qr； p1、p 2、pr,系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，每個(gè)粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個(gè)代表點(diǎn)表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時(shí)刻的N個(gè)代表點(diǎn)描述,q1、q2、qr； p1、p 2、pr,6.1 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的

2、微觀描述,4,微觀粒子具有波粒二相性，德布羅意指出：能量為 ，動(dòng)量為 p 的物體聯(lián)系著圓頻率為 ，波矢為k的平面波，并有,6.2 粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述,粒子狀態(tài)是分立(不連續(xù)）的。 粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài) (單粒子態(tài))。 量子態(tài) 用一組量子數(shù)表征（如自由粒子nx, ny, nz）. 不同量子態(tài)的量子數(shù)取值不同。 量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對(duì)于N個(gè)粒子的系統(tǒng)，就是確定各個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)。,5,熱統(tǒng),6.3 系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述,全同粒子系統(tǒng) 就是由具有完全相同屬性（相同的質(zhì)量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。 近獨(dú)立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互

3、作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。將整個(gè)系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個(gè)粒子的能量之和。( 如理想氣體：近獨(dú)立的粒子組成的系統(tǒng) ),一 基本概念,系統(tǒng)的微觀態(tài)：整個(gè)系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài),1、微觀系統(tǒng)的經(jīng)典描述,6,熱統(tǒng),系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，每個(gè)粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個(gè)代表點(diǎn)表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時(shí)刻的N個(gè)代表點(diǎn)描述，即 (i=1，2.N),共2Nr個(gè)變量為確定。,qi1、qi2、q ir； pi1、pi2、pir,一個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用相空間一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)系統(tǒng)用相空間N個(gè)點(diǎn)來表示。（特定的條件下可用） 在該描述下全同粒子可分

4、辨,7,熱統(tǒng),定域粒子：全同而又可辨的粒子。例如晶體中的原子或離子定域在其平衡位置附近作微振動(dòng)、這些粒子就量子本性而然是不可分辨的（全同性），但可以根據(jù)粒子的位置對(duì)其加以區(qū)分（可分辨）。所以晶體中的原子或離子可看成是定域粒子。,2、微觀系統(tǒng)的量子描述,不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(非定域系）,8,熱統(tǒng),玻耳茲曼系統(tǒng) 粒子可以分辨, 每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制.,確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每個(gè)粒子所處的個(gè)體量子態(tài)。 確定了每個(gè)粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài),(如定域系)。,例：設(shè)系統(tǒng)由A、B兩個(gè)粒子組成（定域子）。粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè), 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？,,,,,,

5、因此，對(duì)于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)，即 32。 一般地為 .,A,B,1,2,3,9,熱統(tǒng),不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(非定域系）,確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)。或： 確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài),（1）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng).,如光子自旋為1、 介子自旋為0。由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子也是玻色子,粒子不可分辨，每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不限（即不受泡利原理限制）,10,熱統(tǒng),上例變?yōu)?(A=B),兩個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有6種方式,（2）費(fèi)米系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒

6、子組成的系統(tǒng),粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子（費(fèi)米子遵從泡利原理）。,兩個(gè)費(fèi)米子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有3種占據(jù)方式,系統(tǒng)由兩個(gè)粒子組成（定域子）。粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè), 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài),12,熱統(tǒng),對(duì)于不同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數(shù)、相同的量子態(tài)，系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數(shù)也是不同的。 上例僅為兩個(gè)粒子組成的系統(tǒng)、三個(gè)量子態(tài)。對(duì)于大量微觀粒子組成的實(shí)際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數(shù)目是大量的。,13,熱統(tǒng),宏觀態(tài)：系統(tǒng)的熱力學(xué)狀態(tài) 用少數(shù)幾個(gè)宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。 微觀態(tài)：系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)。 確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng))； 不可分辨

7、的全同粒子系統(tǒng)(玻色、費(fèi)米系),宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。,6.4等概率原理,微觀粒子的狀態(tài)雜亂無章，一個(gè)系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)也是雜亂無章的，有很多個(gè)可能的狀態(tài)，那么，每個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率為多少呢，與什么因素有關(guān),14,確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率就能用統(tǒng)計(jì)的方法求出微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，從而求出相應(yīng)宏觀物理量，因此確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本問題。,1、等概率原理：對(duì)于處理平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)系統(tǒng)，各個(gè)可能狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的 等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理的一個(gè)基本假設(shè)，是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。,16,熱統(tǒng),全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，具有確定的粒子數(shù)

8、N， 能量 E 和體積V ，系統(tǒng)的N個(gè)粒子分布于各個(gè)能級(jí)，設(shè) 第i能級(jí)上的粒子數(shù)為ai，則組成系統(tǒng)的粒子處于各能級(jí) 的情況可描述為：,以符號(hào) 表示 ， 稱為一個(gè)分布。,分布 滿足條件：,6.5分布和微觀狀態(tài),17,熱統(tǒng),簡并度,粒子數(shù),N 粒子系統(tǒng)的 能 級(jí),即：能級(jí)1上有a1個(gè)粒子， 能級(jí)2上有a2個(gè)粒子，。,,分布只表示每一個(gè)能級(jí)上有多少個(gè)粒子。當(dāng)能級(jí)是簡并態(tài)時(shí)，一種分布包含很多種微觀狀態(tài)。 每一種不同的量子態(tài)的占據(jù)方式都是不同的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,18,(1) al個(gè)離子占據(jù)能級(jí)l 上的l 個(gè)量子態(tài)時(shí)，第一個(gè)粒子可以占據(jù) 個(gè)量子態(tài)中的任何一個(gè)態(tài)，有l(wèi) 種可能的占據(jù)方式

9、。由于每個(gè)量子態(tài)能夠容納的粒子數(shù)不受限制，在第一個(gè)粒子占據(jù)了某一個(gè)量子態(tài)以后，第二個(gè)粒子仍然有l(wèi)種的占據(jù)方式，這樣al 個(gè)編了號(hào)的粒子占據(jù)l個(gè)量子態(tài)共有 種可能的占據(jù)方式，,1、玻耳茲曼系統(tǒng) (定域系統(tǒng))的分布規(guī)律：,(2) 各個(gè)能級(jí)都考慮在內(nèi)，系統(tǒng)總的占據(jù)方式數(shù):,(3) 現(xiàn)在考慮將N個(gè)粒子互相交換，不管是否在同一能級(jí)上，交換數(shù)是N!，在這個(gè)交換中應(yīng)該除去在同一能級(jí)上al 個(gè)粒子的交換al !因此得因子,20,熱統(tǒng),例：系統(tǒng)有6個(gè)可分辨粒子，共兩個(gè)能級(jí)，1=3，2=4 給定分布：a1= 4, a2=2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4) 系統(tǒng)分布 al 包含的總微觀狀態(tài)數(shù)為,能

10、級(jí)之間粒子交換的方式數(shù)目為,熱統(tǒng),,2 、 玻色系統(tǒng)分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù),粒子不可分辨，交換任意一對(duì)粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。,,,,,,,,,這樣就確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)，即確定了一種占據(jù)方式（一個(gè)微觀態(tài)）。,22,熱統(tǒng),,, 粒子和量子態(tài)之間的交換 會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式：, 量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換 不產(chǎn)生新的占據(jù)方式：, 顯然，粒子和粒子之間的交換 不會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式。,其中粒子與粒子的交換、量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產(chǎn)生新的微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子交換導(dǎo)致不同微觀態(tài)。,量子態(tài)、粒子各種交換(排列)總數(shù),23,熱統(tǒng),量子態(tài)交換數(shù),粒子交換數(shù),各種交換共

11、有 種可能的方式。,（2）將各種能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布 al 相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,24,熱統(tǒng),3、 費(fèi)米系統(tǒng)分布 al 包含的微觀狀態(tài)數(shù)：,將各能級(jí)的結(jié)果相乘，得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布 al 相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,粒子不可分辨，每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)最多只能容納一個(gè)粒子。,相當(dāng)于從 個(gè)量子態(tài)中選 個(gè)被粒子占據(jù)。,熱統(tǒng),6.6 玻耳茲曼分布,玻爾茲曼系統(tǒng),玻色系統(tǒng),費(fèi)米系統(tǒng),微觀狀態(tài)數(shù)是分布 al 的函數(shù)，不同的分布存在不同個(gè)微觀狀態(tài)數(shù)，可能存在這樣一個(gè)分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。,26,根據(jù)等概率原理，對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，

12、那么微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。,為什么提出最概然分布？,出現(xiàn)概率最大分布隨機(jī)現(xiàn)象多次呈現(xiàn)的結(jié)果,當(dāng)最概然分布的幾率大于非概然幾率很多時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出基本相同的狀態(tài)可以用其表征平衡態(tài)分布,28,熱統(tǒng),一、玻爾茲曼分布的推導(dǎo)（M.B.系統(tǒng)）,1、 寫出分布及對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù),玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。,29,熱統(tǒng),2 取對(duì)數(shù)，用斯特林公式化簡,斯特林近似公式,要求,要求,,30,熱統(tǒng),3 拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值,對(duì)上式做一次微分，對(duì)于極值，一次微分為零,31,熱統(tǒng),由于系統(tǒng)確定，則還要滿足約束條件：,對(duì)上兩式子做一次微分得到：

13、,上兩式子乘以未定乘子得到：,32,熱統(tǒng),即,稱為 麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布）。,任意，所以,,33,熱統(tǒng),玻色分布和費(fèi)米分布,包含微觀狀態(tài)數(shù)目最大的分布出現(xiàn)的概率最大，是系統(tǒng)的最概然分布。,34,熱統(tǒng),此式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為 玻色分布。,二、費(fèi)米分布 費(fèi)米分布的推導(dǎo)作為練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們課后自己推導(dǎo).,費(fèi)米分布,36,熱統(tǒng),三種分布的關(guān)系,,這時(shí)玻色分布和費(fèi)米分布都過渡到玻耳茲曼分布。,由 知,與,是一致的，都稱為 非簡并性條件，或 經(jīng)典極限條件。,滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都過渡到玻耳茲曼分布。,通常條件下的理想氣體（非定

14、域系）即屬于這種情況。,37,熱統(tǒng),玻耳茲曼系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布。（如順磁固體等定域系統(tǒng)）。,總之：,玻色系統(tǒng)遵守玻色分布；費(fèi)米系統(tǒng)遵守費(fèi)米分布。,滿足經(jīng)典極限條件時(shí)，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都滿足玻耳茲曼分布。,定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件的玻色(費(fèi)米)系統(tǒng)雖然遵從同樣的分布，但它們的微觀狀態(tài)數(shù)是不同的。,38,熱統(tǒng),假如系統(tǒng)可以應(yīng)用 M-B 分布, 而且粒子的能級(jí)非常密集,,則粒子的能量可看作是連續(xù)的，問題可用經(jīng)典方法處理， 這時(shí)的 M-B分布稱為經(jīng)典分布。,39,熱統(tǒng),拉氏乘子 、 由約束條件決定：,40,熱統(tǒng),令,稱之為粒子配分函數(shù),41,熱統(tǒng),復(fù)習(xí)題二,1、簡述統(tǒng)計(jì)物理的基本觀點(diǎn)、基本假設(shè),2、簡述全同近獨(dú)立粒子系統(tǒng),3、簡述玻爾茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)的特征,4、什么是分布，什么是最概然分布？,,計(jì)算題 1、有一系統(tǒng)由3個(gè)全同粒子組成，每個(gè)粒子具有4個(gè)量子態(tài)，求 (1)若為玻爾茲曼系統(tǒng)，系統(tǒng)的可能狀態(tài)為多少？ （2）若為玻色系統(tǒng)，系統(tǒng)的可能的狀態(tài)為多少？ （3）若為費(fèi)米系統(tǒng)，系統(tǒng)的可能狀態(tài)為多少？,,有一全同近獨(dú)立粒子系統(tǒng)系統(tǒng)，分布如下 (1)若為玻爾茲曼系統(tǒng)，該分布對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為多少？ （2）若為玻色系統(tǒng)，狀態(tài)為多少? (3)費(fèi)米系統(tǒng)，又為多少？ （4）系統(tǒng)的總能量為多少？,