《高中數(shù)學(xué) 精講優(yōu)練課型 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算課件 新人教版必修4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 精講優(yōu)練課型 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算課件 新人教版必修4（58頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,【知識(shí)提煉】 1.平面向量正交分解的定義 把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)_________的向量. 2.平面向量的坐標(biāo)表示 (1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè) _________i，j作為_(kāi)____.,互相垂直,單位向量,基底,(2)坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得 a=_____，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo). (3)坐標(biāo)表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐標(biāo)：i=_______，j=_______，0=(0，0).,xi+yj,(1，0),(0，1),3.

2、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，R，則有下表：,和,差,(x1+x2，y1+y2),(x1-x2，y1-y2),(x1，y1),終點(diǎn),起點(diǎn),(x2-x1，y2-y1),【即時(shí)小測(cè)】 1.思考下列問(wèn)題. (1)與坐標(biāo)軸平行的向量的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？ 提示：與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0，即a=(x，0)；與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0，即b=(0，y).,(2)若把向量 平移到 ，則 和 的坐標(biāo)相同嗎？ 的坐標(biāo) 是C點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？ 提示：相同， 的坐標(biāo)不是C點(diǎn)的坐標(biāo)，只有點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合時(shí) 的 坐標(biāo)才是C點(diǎn)坐標(biāo).,2.如圖所示，在矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，下列

3、是正交分解的 是( ) 【解析】選B.由于 ，則 是正交分解,3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若a=i-2j，則向量用坐標(biāo)表示a=________. 【解析】由于i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量， 所以a=(1，-2). 答案：(1，-2),4.若a=(2，3)，b=(-3，1)，則a+b=________. 【解析】a+b=(2，3)+(-3，1)=(-1，4). 答案：(-1，4),5.若點(diǎn)M(3，5)，點(diǎn)N(2，1)，用坐標(biāo)表示向量 =_______ 【解析】 =(2，1)-(3，5)=(-1，-4). 答案：(-1，-4),【知識(shí)探究】 知識(shí)點(diǎn)1 平面

4、向量的正交分解及坐標(biāo)表示 觀察圖形，回答下列問(wèn)題：,問(wèn)題1：點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有什么區(qū)別？ 問(wèn)題2：相等向量的坐標(biāo)相同嗎？相等向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)一定相同嗎？,【總結(jié)提升】 1.解讀平面向量的坐標(biāo)表示 (1)向量的坐標(biāo)只與始點(diǎn)和終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無(wú)關(guān). (2)向量確定后，向量的坐標(biāo)就被確定了. (3)引入向量的坐標(biāo)表示以后，向量就有兩種表示方法：一種是幾何法，即用向量的長(zhǎng)度和方向表示；另一種是坐標(biāo)法，即用一對(duì)有序?qū)崝?shù)表示.有了向量的坐標(biāo)表示，就可以將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.,2.辨析點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo) (1)平面向量的坐標(biāo)只有當(dāng)起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)

5、相同. (2)書(shū)寫(xiě)不同：向量a=(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒(méi)有等號(hào). (3)在平面直角坐標(biāo)系中，符號(hào)(x，y)可表示一個(gè)點(diǎn)，也可表示一個(gè)向量，敘述中應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量(x，y).,(4)給定一個(gè)向量，它的坐標(biāo)是唯一的，對(duì)應(yīng)一對(duì)實(shí)數(shù)，由于向量可以平移，故以這對(duì)實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的向量有無(wú)窮多個(gè). 注意：相等向量的坐標(biāo)是相同的，但是兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同.,知識(shí)點(diǎn)2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：,問(wèn)題1：兩個(gè)向量的和與差、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)如何運(yùn)算？ 問(wèn)題2：求向量 的坐標(biāo)需要哪些向量？ 問(wèn)題3：向量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生

6、變化嗎？,【總結(jié)提升】 1.兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo) 由于向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)等價(jià)于a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，則a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2，y1-y2).這就是說(shuō)，兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).,2.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo) 由a=(x，y)，可得a=xi+yj，則a=(xi+yj)=xi+yj.從而a=(x，y).這就是說(shuō)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).,【題型探究】 類型一 平面向量的

7、坐標(biāo)表示 【典例】1.已知基向量i=(1，0)，j=(0，1)，m=4i-j，則m的坐標(biāo) 是() A.(4，1)B.(-4，1)C.(4，-1)D.(-4，-1) 2.如圖，取與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量i，j作為 基底，分別用i，j表示 并求出它們的坐標(biāo).,【解題探究】1.典例1中向量i與向量j有什么關(guān)系？ 提示：向量i與向量j垂直. 2.典例2中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是多少， 如何用 表示. 提示：A(6，2)，B(2，4)，,【解析】1.選C.因?yàn)橄蛄縤與向量j垂直，m=4i-j，所以m=(4，-1). 2.由圖形可知， =6i+2j， =2i+4j， =-4i+2j，它們的坐標(biāo)表

8、示為： =(6，2)， =(2，4)， =(-4，2).,【方法技巧】求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法 (1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo). (2)求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo).,【變式訓(xùn)練】已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30角， 則 =______， =_____.,【解析】由題知B，D分別是30，120角的終邊與單位圓的交點(diǎn). 設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2). 由三角函數(shù)的定義，得x1=cos30= y1=sin30= ，所以 x2=cos120=- ，y2=sin120=

9、 所以 所以 答案：,【補(bǔ)償訓(xùn)練】在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b，c的方向如圖所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo).,【解題指南】題目中給出了向量a，b，c的模以及與坐標(biāo)軸的夾角，要求向量的坐標(biāo)，先將向量正交分解，把它們分解為橫、縱坐標(biāo)的形式，然后寫(xiě)出其相應(yīng)的坐標(biāo).,【解析】設(shè)a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)， 則a1=|a|cos45=2 a2=|a|sin45=2 b1=|b|cos120=3 b2=|b|sin120=3 c1=|c|cos(-30)=4 c2=|c|sin(-30)=4 因此a=( )，b= ，c=(2 ，-

10、2).,類型二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【典例】1.已知平面上三個(gè)點(diǎn)A(4，6)、B(7，5)、C(1，8)， 則 =______， =_______. 2.已知a=(1，2)，b=(-3，4)，求向量a+b，a-b，3a-4b的坐標(biāo),【解題探究】1.典例1中 ， 的坐標(biāo)分別為多少？ 提示： = (3，-1)， = (-3，2). 2.典例2中如何求向量和、差、數(shù)乘的坐標(biāo)？ 提示：直接利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.,【解析】1.因?yàn)锳(4，6)、B(7，5)、C(1，8) 所以 =(7，5)-(4，6)=(3，-1)； =(1，8)-(4，6)=(-3，2)； =(3，-1)-(-3，2)=

11、(6，-3)； =2(3，-1)+ (-3，2) =(6，-2)+ 答案：(6，-3),2.a+b=(1，2)+(-3，4)=(-2，6)； a-b=(1，2)-(-3，4)=(4，-2)； 3a-4b=3(1，2)-4(-3，4)=(15，-10),【延伸探究】若典例1中條件不變，則 的坐標(biāo)是多少？ 【解析】因?yàn)锳(4，6)、B(7，5)、C(1，8)，所以 =(7，5)-(1，8)=(6，-3)， =(4，6)-(7，5)=(-3，1)， 所以,【方法技巧】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 (1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行. (2)若已知有向線段兩端點(diǎn)

12、的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算. (3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.,【變式訓(xùn)練】1.若向量 =(2，3)， =(4，7)，則 =( ) A.(-2，-4)B.(3，4) C.(6，10)D.(-6，-10) 【解析】選A.因?yàn)?=(2，3)， =(4，7)，,2.已知a=(-1，2)，b=(2，1)，求： (1)2a+3b.(2)a-3b.(3) . 【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1) =(-2，4)+(6，3)=(4，7) (2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3) =(-7，-1),【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示

13、，已知ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于點(diǎn)F，求 的坐標(biāo),【解析】因?yàn)锳(7，8)，B(3，5)，C(4，3)， 所以 =(3-7，5-8)=(-4，-3)， =(4-7，3-8)=(-3，-5) 又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)， 所以 因?yàn)镸，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以F為AD的中點(diǎn) 所以,類型三 由相等向量求坐標(biāo) 【典例】1.(2015江蘇高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若 ma+nb=(9，-8)(m，nR)，則m-n的值為_(kāi)_______. 2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若 則 的坐標(biāo)為

14、____. 3.已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及 (1)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在y軸上？ (2)四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能，說(shuō)明理由.,【解題探究】1.典例1中如何利用ma+nb=(9，-8)這個(gè)條件？ 提示：先求出ma+nb的坐標(biāo)，然后根據(jù)相等向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等求解 m，n. 2. 典例2中 能確定哪些點(diǎn)的坐標(biāo)？ 提示：由 可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，由 可確定點(diǎn)D的坐標(biāo). 3.典例3中點(diǎn)P在x軸上，在y軸上的坐標(biāo)有何特點(diǎn)？ 提示：點(diǎn)P在x軸上，縱坐標(biāo)為0，在y軸上橫坐標(biāo)為0.,【解析】1.因?yàn)閍=(2，1)，b=(1，-2)，所以

15、ma+nb=m(2，1)+n(1，-2) =(2m+n，m-2n).又因?yàn)閙a+nb=(9，-8)，所以 解得 所以m-n=-3. 答案：-3,2.設(shè)C(x，y)，則由 得， (x-2，y-4)= (-6，2)，解得x=-7，y=7， 即點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(-7，7) 又設(shè)D(m，n)，則由 得， (m+4，n-6)= (6，-2)， 解得m=4，n= ，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為(4， ) 故 答案：,3.(1) =(1，2)+t(3，3)=(1+3t，2+3t)， 若點(diǎn)P在x軸上，則2+3t=0，所以t=- . 若點(diǎn)P在y軸上，則1+3t=0，所以t=- . (2) =(1，2)， =(3-3

16、t，3-3t)若四邊形OABP為平行四邊形， 則 所以 該方程組無(wú)解 故四邊形OABP不能成為平行四邊形,【延伸探究】 1.(改變問(wèn)法)若本例3條件不變，問(wèn)t為何值時(shí)，B為線段AP的中點(diǎn)？ 【解析】由 得 所以當(dāng)t=2時(shí)， B為線段AP的中點(diǎn),2.(改變問(wèn)法)若本例3條件不變，問(wèn)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在第二象限？ 【解析】若點(diǎn)P在第二象限，則 所以,【方法技巧】坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用 (1)條件：相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等. (2)應(yīng)用：利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可求某些參數(shù)的值.,【變式訓(xùn)練】(2015泰安高一檢測(cè))已知向量 =(3，-4)， =(6，-

17、3)， =(2，-6). (1)若四邊形ABCD為平行四邊形，求D點(diǎn)坐標(biāo). (2)若 求實(shí)數(shù) 的值.,【解析】(1)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，則 =(m，n)， 因?yàn)?=(3，-4)， =(6，-3)， =(2，-6)， 所以 =(6，-3)-(3，-4)=(3，1)， =(2，-6)-(m，n)=(2-m，-6-n). 又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形， 所以 所以 所以 所以D點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-7).,(2)因?yàn)?所以(3，-4)=x(6，-3)+y(2，-6)=(6x+2y，-3x-6y)， 所以 解得 所以,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知A(1，-2)、B(2，1)、C(

18、3，2)和D(-2，3)，以 為一組基底來(lái)表示 【解析】因?yàn)?=(1，3)， =(2，4)， =(-3，5)， =(-4，2)， =(-5，1)， 所以 =(-3，5)+(-4，2)+(-5，1)=(-12，8) 根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實(shí)數(shù)m、n，使得,所以(-12，8)=m(1，3)+n(2，4)， 也就是(-12，8)=(m+2n，3m+4n)， 即 解得m=32，n=-22. 所以,易錯(cuò)案例 向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo) 【典例】(2015湛江高一檢測(cè))已知點(diǎn)A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)， 若第三象限的點(diǎn)P滿足 則實(shí)數(shù)的取值范圍為( ),【失誤案例】,【錯(cuò)解

19、分析】分析解題過(guò)程，你知道錯(cuò)在哪里嗎？ 提示：錯(cuò)誤的根本原因是混淆了向量 的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)，誤認(rèn)為(3+5，1+7)為P的坐標(biāo).,【自我矯正】選A.方法一：設(shè)P(x，y)，則 =(x-2，y-3)， 又 于是可得， (x-2，y-3)=(3+5，1+7)， 所以 即 因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限，所以 解得<-1. 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是(-，-1),方法二： 所以P(5+5，4+7)， 因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限內(nèi)， 所以 所以<-1.,【防范措施】明確向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)注點(diǎn) (1)明確向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的概念，當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)相同. (2)明確向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，正確進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.,