無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器設(shè)計(jì)
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1、33 從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換(原型變換),對(duì)于模擬濾波器,已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計(jì)方案,如巴特沃茲濾波器,切比雪夫?yàn)V波器,考爾濾波器,每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計(jì)算公式,同時(shí),也已制備了大量歸一化的設(shè)計(jì)表格和曲線,為濾波器的設(shè)計(jì)和計(jì)算提供了許多方便,因此在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中,只要掌握原型變換,就可以通過(guò)歸一化低通原型的參數(shù),去設(shè)計(jì)各種實(shí)際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。這一套成熟、有效的設(shè)計(jì)方法,也可通過(guò)前面所討論的各種變換應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),具體過(guò)程如下: 原型變換 映射變換
2、 原型變換 也可把前兩步合并成一步,直接從模擬低通歸一化原型通過(guò)一定的頻率變換關(guān)系,完成各類數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),模擬原型,模擬低通、高通 帶通、帶阻,數(shù)字低通、高 通帶通、帶阻,,,,,,,下面舉例討論應(yīng)用模擬濾波器低通原型,設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波器的基本原理,著重討論雙線性變換法。 一低通變換 通過(guò)模擬原型設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的四個(gè)步驟: 1)確定數(shù)字濾波器的性能要求,確定各臨界頻率k。 2)由變換關(guān)系將k映射到模擬域,得出模擬濾波器的 臨界頻率值k。 3)根據(jù)k設(shè)計(jì)模擬濾波器的Ha(s) 4) 把Ha(s) 變換成 H(z)(數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)),例1,設(shè)采樣周期
3、,設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解。 解:a. 脈沖響應(yīng)不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的,所以可直接按c =2fc設(shè)計(jì)Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論,以截止頻率c 歸一化的三階巴特沃茲 濾波器的傳遞函數(shù)為: 以 代替其歸一化頻率,得:,也可以查表得到。由手冊(cè)中查出巴特沃茲多項(xiàng)式的系數(shù),之后以 代替歸一化頻率,即得 。 將 代入,就完成了模擬濾波器的設(shè)計(jì),但為簡(jiǎn)化運(yùn)算,減小誤差積累,fc數(shù)值放到數(shù)字濾波變換后代入。,為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換,計(jì)算Ha(S)分母多項(xiàng)式的 根,將上式寫成部
4、分分式結(jié)構(gòu): 對(duì)照前面學(xué)過(guò)的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式有 將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù): , --極點(diǎn),,,,,,并將 代入,得: 合并上式后兩項(xiàng),并將 代入,計(jì)算得:,可見(jiàn),H(Z)與采樣周期T有關(guān),T越小,H(Z)的相對(duì)增益越大,這是不希望的。為此,實(shí)際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)稍作一點(diǎn)修改,即求出H(Z)后,再乘以因子T,使H(Z)只與 有關(guān),即只與fc和fs的相對(duì)值有關(guān),而與采樣頻率fs無(wú)直接關(guān)系。 最后得: 例如, 與 的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù),這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)
5、計(jì)。,b. 雙線性變換法 P85例4 (一)首先確定數(shù)字域臨界頻率 (二)根據(jù)頻率的非線性關(guān)系,確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率 (三 ) 以 代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù) 并將 代入上式。 (四)將雙線性變換關(guān)系代入,求H(Z)。,圖1 三階Butterworth 數(shù)字濾波器的頻響,脈沖響應(yīng)不變法,雙線性變換法,fs/2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,,,200,,,400,,,600,,,800,,,1000,,,1200,,,1400,,,1600,,,1800,,,2000,,,0,,,
6、0.1,,,0.2,,,0.3,,,0.4,,,0.5,,,0.6,,,0.7,,,0.8,,,0.9,,,1,,,,,,,頻率/Hz,圖3.14 三階巴特沃茲濾波器的頻率響應(yīng),幅 值,圖1為兩種設(shè)計(jì)方法所得到的頻響,對(duì)于雙線性變換法,由于頻率的非線性變換,使截止區(qū)的衰減越來(lái)越快,最后在折 疊頻率處 形成一個(gè)三階傳輸零點(diǎn),這個(gè)三階零點(diǎn)正是模擬濾波器在 處的三階傳輸零點(diǎn)通過(guò)映射形成的。因此,雙線性變換法使過(guò)渡帶變窄,對(duì)頻率的選擇性改善,而脈沖響應(yīng)不變法存在混淆,且沒(méi)有傳輸零點(diǎn)。,二.高通變換 設(shè)計(jì)高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器時(shí),有兩種方法: 先設(shè)計(jì)一個(gè)相應(yīng)的高通、帶通或帶阻模擬
7、濾波器,然后通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。 模擬原型 模擬高通、帶通、帶阻 數(shù)字高通、帶通、帶阻 設(shè)計(jì)方法同上面討論的低通濾波器的設(shè)計(jì)。 即確定 轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的 高通、帶通、帶阻 模擬濾波器的設(shè)計(jì) Ha(s) H(Z) 直接利用模擬濾波器的低通原型,通過(guò)一定的頻率變換關(guān)系,一步完成各種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。 頻率變換 模擬原型 數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻,,,,,,,,這里只討論第二種方法。因其簡(jiǎn)捷便利,所以得到普遍采用。 變換方法的選用:
8、脈沖響應(yīng)不變法:對(duì)于高通、帶阻等都不能直接采用,或只 能在加了保護(hù)濾波器后才可使用。因此,使 用直接頻率變換(第二種方法),對(duì)脈沖響 應(yīng)不變法要有許多特殊的考慮,它一般應(yīng)用 于第一種方法中。 雙線性變換法:下面的討論均用此方法,實(shí)際使用中多數(shù)情況 也是如此。 基于雙線性變換法的高通濾波器設(shè)計(jì): 在模擬濾波器的高通設(shè)計(jì)中,低通至高通的變換就是S變量的倒置,這一關(guān)系同樣可應(yīng)用于雙線性變換,只要將變換式中的S代之以1/S,就可得到數(shù)字高通濾波器. 即,,,由于倒數(shù)關(guān)系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性,因此,也不會(huì)影響雙線變
9、換后的穩(wěn)定條件,而且 軸仍映射在單位圓上,只是方向顛倒了。 即,如圖,映射到 即 映射到 即 圖1 高通變換頻率關(guān)系 這一曲線的形狀與雙線性變換時(shí)的頻率非線性關(guān)系曲線相對(duì)應(yīng),只是將 坐標(biāo)倒置,因而通過(guò)這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通,如圖2。,,,,,,,1.0,1.0,0,,,,圖2 高通原型變換,應(yīng)當(dāng)明確: 所謂高通DF,并不是高到 ,由于數(shù)字頻域存在 折疊頻 率 ,對(duì)于實(shí)數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器, 部分只是 的鏡象部分,因此有效的數(shù)字域僅是 ,高通也僅指這一段
10、的高端,即到 為止的部分。 高通變換的計(jì)算步驟和低通變換一樣。但在確定模擬原型 預(yù)畸的臨界頻率時(shí),應(yīng)采用 ,不必加負(fù) 號(hào),因臨界頻率只有大小的意義而無(wú)正負(fù)的意義。,例,: 采樣 設(shè)計(jì)一個(gè)三階切比雪夫高通DF,其通過(guò)頻率 (但不必考慮 以上的頻率分量),通帶內(nèi)損耗不大于1dB。 解:首先確定數(shù)字域截止頻率 , 則 切比雪夫低通原型的模函數(shù)為: 為N階切比雪夫多項(xiàng)式,,,,,,,,,,,通帶損耗 時(shí), N=3時(shí), 系統(tǒng)函數(shù)為(可由MATLAB計(jì)算獲得):,為方便,將 和 S 用T/2歸一化, 則,于是,,
11、,,圖3 三階切比雪夫高通頻響,例5(書上 ) 設(shè)計(jì)一數(shù)字高通濾波器,它的通帶為400 500Hz,通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動(dòng),阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻帶內(nèi)至少為19dB,采樣頻率為1,000Hz。確定最小階數(shù) N。 模擬切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)中階數(shù)的確定公式為 求得最小的N:,wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000)); wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000)); N,wn=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,s); B,A=cheby1(N,0.5,wn,high,s); num,den=bilinear(B,A,
12、1000); h,w=freqz(num,den); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis(0,500,-80,10); grid; xlabel() ylabel(幅度/dB),三帶通變換 如圖1 ,如果數(shù)字頻域上帶通的中心頻率為 ,則帶通變換的目的是將: (頻率映射關(guān)系具有周期性, 幅頻響應(yīng)具有原點(diǎn)對(duì)稱性)。 即將S的原點(diǎn)映射到 ,而將 點(diǎn)映射到 ,滿足這一要求的雙線性變換為:,,,,模擬低通,圖1 帶通原型變換,,當(dāng) 時(shí) 因此 (帶通變換關(guān)系 ),
13、,,,圖中 點(diǎn)正好映射在 上,而 映射在 , 兩端,因此滿足帶通變換的要求。,,,,,帶通變換的頻率關(guān)系,穩(wěn)定性證明: 同時(shí),這一變換也滿足穩(wěn)定性要求,設(shè) 由于上式完全是實(shí)數(shù),所以是映射在S平面 軸上。 其中分子永遠(yuǎn)非負(fù)的 , 因此 的正負(fù)決定于分母 由此證明了,S左半平面映射在單位圓內(nèi),而右半平面映射在單位圓外,這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系,可用它來(lái)完成帶通的變換,如圖1。,設(shè)計(jì): 設(shè)計(jì)帶通時(shí),一般只給出上、下邊帶的截止頻率 作為設(shè)計(jì)要求。 為了應(yīng)用以上變換,首先要將上下邊帶參數(shù) 換算成中心頻率 及模擬低通截止頻率 。 為此將 代入變換關(guān)系式
14、: 由于 在模擬低通中是一對(duì)鏡象頻率, 代入上面兩等式,求出,例,又 同時(shí)也就是模擬低通的截止頻率 , 有了這兩個(gè)參數(shù)就可完成全部計(jì)算。 :采樣 fs=400kHz,設(shè)計(jì)一巴特沃茲帶通濾波器,其3dB邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz,在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于10dB。 解:確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率 求中心頻率:,,,,,求模擬低通的通帶截止頻率 與阻帶邊界頻率 : 從 頻率增加了約1.05倍,衰減增加了(10-3)dB,故選用二階巴特沃茲濾波器可滿足指標(biāo)(查表) 歸一化的系統(tǒng)函數(shù): 代入 , 代入變換公式,,,,
15、,,,,,,,,,例6 帶通濾波器設(shè)計(jì),四帶阻變換 把帶通的頻率關(guān)系倒置就得到帶阻變換。,給定,例7 w1=95/500; w2=105/500; B,A=butter(1,w1, w2,stop); h,w=freqz(B,A); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis(50,150,-30,10); grid; xlabel(頻率/Hz) ylabel(幅度/dB),3.4 從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換(Z平面變換法),上一節(jié)討論了由模擬網(wǎng)絡(luò)的低通原型來(lái)設(shè)計(jì)各種DF的方法,這種原型變換的設(shè)計(jì)方法同樣也可直接在數(shù)字域上進(jìn)行。
16、 DF低通原型函數(shù) 這種變換是由 所在的Z平面到H(z)所在的Z平面的一個(gè)映射變換。 為便于區(qū)分變換前后兩個(gè)不同的Z平面,我們把變換前的 Z平面定義為u平面,并將這一映射關(guān)系用一個(gè)函數(shù)g表示: ,各種DF的 H(z),于是,DF的原型變換可表為:,,函數(shù) 的特性: 1) 是 的有理函數(shù)。 2)希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變,因此要求 u的單位圓內(nèi)部必須對(duì)應(yīng)于z的單位圓內(nèi)部。 3) 必須是全通函數(shù)。 為使兩個(gè)函數(shù)的頻響滿足一定的變換要求,Z的單位圓應(yīng)映射到u的單位圓上,
17、若以 分別表示u平面和Z平面的單位圓,則式為 且必有 ,其中 是 的相位函數(shù), 即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為1,稱為全通函數(shù)。,,,,全通函數(shù)的基本特性:,任何全通函數(shù)都可以表示為: 其中 為極點(diǎn),可為實(shí)數(shù),也可為共軛復(fù)數(shù),但必須在單位圓以內(nèi),即 ,以保證變換的穩(wěn)定性不變,*為取共軛。 的所有零點(diǎn) 都是其極點(diǎn)的共軛倒數(shù) N:全通函數(shù)的階數(shù)。 變化時(shí),相位函數(shù) 的變化量為 。 不同的N和 對(duì)應(yīng) 各類不同的變換。,下面具體討論幾種原型變換: 低通低通(LP) LPLP的變換中,
18、和 都是低通函數(shù),只是截止頻率互不相同(或低通濾波器的帶寬不同),因此當(dāng) 時(shí),相應(yīng)的 ,如圖1(a),根據(jù)全通函數(shù)相位 變化量為 的性質(zhì),可確定全通函數(shù)的階數(shù)N=1,且必須滿足以下兩條件: g(1) = 1 , g(-1) = -1 滿足以上要求的映射函數(shù)應(yīng)為: 其中 是實(shí)數(shù),且,,圖1(a) LP-LP變換(有對(duì)稱性),,代入(1)式,可得到上述變換所反映的頻率變換關(guān)系: 由此得 上式把 , 。 頻率特性: 呈線性關(guān)系,
19、其余為非線性。 當(dāng) 時(shí), , 帶寬變窄, 當(dāng) 時(shí), , 帶寬變寬, 適當(dāng)選擇 ,可使 變換為 ,如上圖所示 。 :低通原型截止頻率, : 變換后截止 頻率,,,,,,,,,,,,LP-LP頻率變換,圖 LP-LP頻率變換特性,,,,,確定 : 把變換關(guān)系 帶入(2)式 ,有: 得 (2) 式的 頻率關(guān)系,如前圖,,, LP-HP a .基本思想:上述 LP 變換中的Z代以Z , 則 LP = HP 。,b. 高通變換,或,LP-HP變換把,如圖2(a),,在上述LP-LP 變換中,將 Z代以Z , 得 LP - HP變
20、換關(guān)系:,原型低通的截止頻率 對(duì)應(yīng)于高通的邊界頻率 ,欲將 變換到 ,由(2)式, 有:,LP - Hp變換,圖2 (a) LP Hp變換,,,,, LP-BP LP-BP變換把帶通的中心頻率 故 N=2。 由以上分析得變換關(guān)系: 或,,如圖3(a),,全通函數(shù)取負(fù)號(hào)。,LP-BP變換,圖3 (a) LP-BP變換,,,,,,,把變換關(guān)系 代入(2)式得 : 消去 r1,得: 令,確定r1, r2 :,可證明, 其中 r
21、1,r2代入(2)式,則可確定頻率變換關(guān)系,如圖3(b)。,LP-BP頻率關(guān)系,LPBS 如圖4(a), LPBS變換把帶阻的中心頻率 的變化范圍為 ,故 N=2 又 g(1)=1, 所以,全通函數(shù)取正號(hào)。 由以上分析得變換關(guān)系: (1) 或 (2),,,,LP-BS變換,,圖4 (a) LP-BS變換,,,,,,確定r1, r2 : 把變換關(guān)系 代入(2)式得 : 其中 , r1, r2代入(2)式,得圖4(b),此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。,LP-B S頻率變換關(guān)系,LP-BS變換的又一種實(shí)現(xiàn)方法: 由低通到帶阻的變換同樣可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換來(lái)完成,但變換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到帶阻,即 其中 的求取可利用低通到高通公式, 可利用低通到帶通公式求,最后可求得 ,如書中表格內(nèi)表達(dá)式。,低通,
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