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1、生物統(tǒng)計學(xué) 第六章 相關(guān)與回歸分析 (1) 第一節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系 第二節(jié) 一元線性回歸 第三節(jié) 多元線性回歸 第四節(jié) 可化為線性回歸的曲線回歸 第六章 相關(guān)與回歸分析 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握相關(guān)系數(shù)的含義、計算方法和應(yīng)用 2. 掌握一元線性回歸的基本原理和參數(shù)最小二乘 估計方法 3. 掌握回歸方程的顯著性檢驗 4. 利用回歸方程進行預(yù)測 5. 掌握多元線性回歸分析的基本方法 6. 了解可化為線性回歸的曲線回歸 7. 用 Excel 和 SPSS進行回歸分析 3 第一節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系 一 . 變量相關(guān)的概念 二 . 相關(guān)系數(shù)及其計算 變量相關(guān)的

2、概念 變量間的關(guān)系 函數(shù)關(guān)系 1. 是一一對應(yīng)的確定關(guān)系 。 2. 設(shè)有兩個變量 x 和 y， y 隨 x 一起變化 ， 并完全依賴于 x， 當(dāng) x取某個數(shù)值時 ， y依確定 的關(guān)系取相應(yīng)的值 ， 稱 y是 x的函數(shù) ， 記為 y = f (x)， 其中 ， x稱為自變量 ， y 稱 為因變量 。 3. 各觀測點落在一條線上 。 x y 6 變量間的關(guān)系 （函數(shù)關(guān)系例子） 函數(shù)關(guān)系的例子 圓的面積 (S)與半徑 (R)之間的關(guān)系可以表示 為 S = R2 某種作物因蟲害造成的產(chǎn)量損失率 (y)與害 蟲數(shù)量 (x) 之 間 的 關(guān) 系 可 表 示 為

3、y=px (其中： p 為危害率 ) 天敵昆蟲對農(nóng)業(yè)害蟲的控制力 (y)與天敵密 度 (x1) 、 天敵捕食力 (x2) 、 天敵自然存活率 (x3)之間的關(guān)系可表示為 y = x1 x2 x3 7 變量間的關(guān)系 相關(guān)關(guān)系 1. 在生物學(xué)實際的研究過程 中 ， 變量間關(guān)系通常不能 用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá) 。 2. 一個變量的取值不能由另 一個變量唯一確定 。 3. 當(dāng)變量 x 取某個值時 ， 變 量 y 的取值可能有幾個 。 4. 各觀測點分布在直線周圍 。 x y 8 變量間的關(guān)系 （相關(guān)關(guān)系例子） 相關(guān)關(guān)系的例子 樹干相同位置直徑 (y)與樹齡

4、(x)之間的關(guān)系 肉雞體重 (y)與添加劑用量 (x)之間的關(guān)系 糧食畝產(chǎn)量 (y)與施肥量 (x1) 、 降雨量 (x2) 、 溫度 (x3)之間的關(guān)系 健康水平 (y)與血壓 (x1)、 或臀圍除以腰圍的 比值 (x2)之間的關(guān)系 父親身高 (y)與子女身高 (x)之間的關(guān)系 9 相關(guān)關(guān)系的類型 相關(guān)關(guān)系 非線性相關(guān) 線性相關(guān) 正 相 關(guān) 正 相 關(guān) 負(fù) 相 關(guān) 負(fù) 相 關(guān) 完全相關(guān) 不相關(guān) 10 相關(guān)關(guān)系的圖示 不相關(guān) 負(fù)線性相關(guān) 正線性相關(guān) 非線性相關(guān)

5、 完全負(fù)線性相關(guān) 完全正線性相關(guān) 11 相關(guān)系數(shù)及其計算 相關(guān)關(guān)系的測度 （相關(guān)系數(shù)） 1. 相關(guān)系數(shù) 是 對變量之間關(guān)系密切程度的度量 2. 對兩個變量之間線性相關(guān)程度的度量稱為簡 單相關(guān)系數(shù) 3. 若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計算的 ， 稱 為總體相關(guān)系數(shù) ， 記為 4. 若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的 ， 則稱為樣本相關(guān) 系數(shù) ， 記為 r 13 相關(guān)關(guān)系的測度 （相關(guān)系數(shù)） 樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式 22 )()( ))(( yyxx yyxx r 或化簡為 2222 yynxxn yxxyn r 14 相關(guān)關(guān)系的

6、測度 （相關(guān)系數(shù)取值及其意義） 1. r 的取值范圍是 -1 , 1 2. |r|=1， 為完全相關(guān) r = 1， 為完全正相關(guān) r = -1， 為完全負(fù)相關(guān) 3. r = 0， 不存在 線性相關(guān) 關(guān)系 4. -1r<0， 為負(fù)相關(guān) 5. 0t，拒絕 H0 若 tt(13-2)=2.201， 拒絕 H0， 計算 表明蝗蟲平均遷出量與平均遷入量之間的相關(guān)關(guān) 系顯著 20 相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗 （相關(guān)系數(shù)檢驗表附表 12的使用） 1. 若 r 大于表上的 = 5%相應(yīng)的值 ， 小于表上的 1%相應(yīng)的值 ， 稱變量 x與 y之間有 顯著 的線性 關(guān)系 2. 若 r

7、 大于表上 =1%相應(yīng)的值 ， 稱變量 x與 y之 間有 十分顯著 的線性關(guān)系 3. 若 r 小于表上 =5%相應(yīng)的值 ， 稱變量 x與 y之 間沒有 明顯 的線性關(guān)系 4. 根 據(jù)前例的 r 0.9987=1%(13-2)=0.684， 表明 蝗 蟲平均遷出量與平均遷入量 之間有十分顯著的線性 相關(guān)關(guān)系 21 第二節(jié) 一元線性回歸 一 . 一元線性回歸模型 二. 參數(shù)的最小二乘估計 三. 回歸方程的顯著性檢驗 四. 預(yù)測及應(yīng)用 什么是回歸分析？ （內(nèi)容） 1. 從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā) ， 確定變量之間的數(shù) 學(xué)關(guān)系式 2. 對這些關(guān)系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢 驗 ，

8、并從影響某一特定變量的諸多變量中 找出哪些變量的影響顯著 ， 哪些不顯著 3. 利用所求的關(guān)系式 ， 根據(jù)一個或幾個變量 的取值來預(yù)測或控制另一個特定變量的取 值 ， 并給出這種預(yù)測或控制的精確程度 回歸方程一詞是怎么來的 23 回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別 1. 相關(guān)分析 中 ， 變量 x 和變量 y 處于平等的地位； 回歸分析 中 ， 變量 y 稱為因變量 ， 處在被解釋的 地位 ， x 稱為自變量 ， 用于預(yù)測因變量的變化 。 2. 相關(guān)分析 中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機變量； 回歸分析 中 ， 因變量 y 是隨機變量 ， 自變量 x 可 以是隨機變量 ， 也可以是非隨機的

9、確定變量 。 3. 相關(guān)分析 主要是描述兩個變量之間線性關(guān)系的密 切程度； 回歸分析 不僅可以揭示變量 x 對變量 y 的影響大 小，還可以由回歸方程進行預(yù)測和控制。 24 回歸模型的類型 一個自變量 兩個及兩個以上自變量 回歸模型 多元回歸 一元回歸 線性 回歸 非線性 回歸 線性 回歸 非線性 回歸 25 回歸模型與回歸方程 回歸模型 1. 回答 “ 變量之間是什么樣的關(guān)系 ？ ” 2. 方程中運用 1 個數(shù)字的因變量 (響應(yīng)變量 ) 被預(yù)測的變量 1 個或多個數(shù)字的或分類的自變量 (解釋變量 ) 用于預(yù)測的變量 3. 主要用于預(yù)測和估計 27 一

10、元線性回歸模型 （概念要點） 1. 當(dāng)只涉及一個自變量時稱為一元回歸 ， 若因變 量 y 與自變量 x 之間為線性關(guān)系時 ， 稱為一元 線性回歸 。 2. 對于具有線性關(guān)系的兩個變量 ， 可以用一條線 性方程來表示它們之間的關(guān)系 。 3. 描述因變量 y 如何依賴于自變量 x 和誤差項 的方程稱為回歸模型 。 28 一元線性回歸模型 （概念要點） 對于只涉及一個自變量的簡單線性回歸模型 可表示為 y = + x + 模型中 ， y 是 x 的線性函數(shù) (部分 )加上誤差項 線性部分反映了由于 x 的變化而引起的 y 的變化 誤差項

11、 是隨機變量 反映了除 x 和 y 之間線性關(guān)系之外的隨機因素對 y 的 影響 是不能由 x 和 y 之間的線性關(guān)系所解釋的變異性 0 和 1 稱為模型的參數(shù) 29 一元線性回歸模型 （基本假定） 1. 誤差項 是一個期望值為 0的隨機變量 ， 即 E()=0。 對于一個給定的自變量 x值 ， y的期望值為： E ( y ) = 0+ 1 x 2. 對于所有的 x 值 ， 的方差 2 都相同 3. 誤差項 是一個服從正態(tài)分布的隨機變量 ， 并且 相互獨立 。 即 N( 0 ,2 ) 獨立性意味著對于一個特定的 xk 值 ， 它所對應(yīng)的 k 與其他 x 值所對應(yīng)的

12、 不相關(guān) 對于一個特定的 xk 值 ， 它所對應(yīng)的 yk 值與其他 x 所對應(yīng)的 y 值也不相關(guān) 30 回歸方程 （概念要點） 1. 描述 y 的平均值或期望值如何依賴于 x 的方程 稱為 回歸方程 2. 簡單線性回歸方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x 方程圖示是一條直線 ， 因此 ， 也稱為直線回歸方程 0是回歸直線在 y 軸上的截距 ， 是當(dāng) x=0 時 ， y 的 期望值 1是直線的斜率 ， 稱為回歸系數(shù) ， 表示當(dāng) x 每變動 一個單位時 ， y 的平均變動值 31 估計 (經(jīng)驗 )的回歸 方程 3. 簡單線性回歸中估計

13、的回歸方程為 其中： 是估計的回歸直線在 y 軸上的截距； 是直線 的斜率 ， 也表示 x 每變動一個單位 ， y 的平均變動值 2. 用樣本統(tǒng)計量 和 代替回歸方程中的未知參 數(shù) 0和 1 ， 就得到了 估計的回歸方程 1. 總體回歸參數(shù) 0和 1是未知的 ， 必需利用樣本數(shù) 據(jù)去估計 xy 10 + 0 1 0 1 32 參數(shù) 0 和 1 的最小二乘估計 最小二乘法 （概念要點） 最小 n i i n i i eyyQ 1 2 1 2 10 )() ,( 1. 使因變量的觀察值與估計值之間的離差平方和 達(dá)到最小來求得 和 的方法。即 2. 用

14、最小二乘法擬合的直線來代表 x與 y之間的 關(guān)系與實際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小 0 1 34 最小二乘法 （圖示） x y (x n , yn) (x1 , y1) (x2 , y2) (xi , yi) ei = yi-yi xy 10 + 35 最小二乘法 （ 和 的計算公式 ） n i i n i i n i i n i i xyyy eyyQ 1 2 10 1 2 1 2 1 2 10 )()( )(),( 利用前面的公式： 注意 y 的估計值： 0 1 xy 10 + 36 最小二乘法 （ 和 的計算公

15、式 ） 根據(jù)最小二乘法的要求 ， 可得求解 和 的標(biāo)準(zhǔn) 方程如下 xy xxn yxyxn n i n i ii n i i n i i n i ii 10 1 2 1 2 111 1 10 0 1 37 估計方程的求法 （實例） 【 例 6.2】 根據(jù)例 6.1的數(shù)據(jù)，配合 蝗蟲 平均遷出量與平均遷入量 的回歸方程 根據(jù) 和 的求解公式得 222.54 526.0 731.986526.0615.573 5.1282777.16073

16、32313 74575.1282799.915617313 0 1 0 21 0 1 38 估計 (經(jīng)驗 )方程 蝗蟲平均遷出量對平均遷入量 的回歸方程為 y = 54.223 + 0.526 x 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 500 1000 1500 2000 2500 蝗蟲平均遷出量與平均遷入量的回歸 39 估計方程的求法 （ Excel的輸出結(jié)果） SUMMARY OUTPUT 回歸統(tǒng)計 Multiple R 0.998703821 R Square 0.997409322 Adjusted R Square 0.997173

17、806 標(biāo)準(zhǔn)誤差 14.94967766 觀測值 13 Coefficients 標(biāo)準(zhǔn)誤差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 54.22286392 8.99397869 6.028796 8.56501E-05 34.4272403 74.0184875 X Variable 1 0.52637714 0.00808855 65.07682 1.39842E-15 0.50857435 0.54417993 0 1 n i i y xx S nt 1 2 21 )( )2( + n i i y xx x n Snt 1

18、2 2 20 )( )(1)2( 40 回歸方程的顯著性檢驗 離差平方和的分解 1. 因變量 y 的取值是有差異的 ， y 取值的這種波動 稱為 變差 。 變差來源于兩個方面： 由于自變量 x 的取值不同造成的 。 除 x 以外的其他因素 (如 x 對 y 的非線性影響 、 測量誤差等 )的影響 。 2. 對一個具體的觀測值來說 ， 變差大小可通過該實 際觀測值與其均值之差 來表示 。 yy 42 離差平方和的分解 （圖示） x y y xy 10 + yy yy yy ),( ii yx 離差分解圖 43 離差平方和的分解 （三個平方和的關(guān)系）

19、 2. 兩端平方后求和有 yyyyyy + 1. 從圖上看有 SST = SSR + SSE + n i i n i i n i i yyyyyy 1 2 1 2 1 2 總變差平方和 （ SST） 回歸平方和 （ SSR） 殘差平方和 （ SSE） 44 離差平方和的分解 （三個平方和的意義） 1. 總平方和 (SST) 反映因變量的 n 個觀察值與其均值的總離差 2. 回歸平方和 (SSR) 反映自變量 x 的變化對因變量 y 取值變化的影 響 ， 或者說 ， 是由于 x 與 y 之間的線性關(guān)系引 起的 y 的取值變化 ， 也稱為

20、可解釋的平方和 3. 殘差平方和 (SSE) 反映除 x 以外的其他因素對 y 取值的影響 ， 也 稱為不可解釋的平方和或剩余平方和 45 樣本決定系數(shù) （判定系數(shù) r2 ） 1. 回歸平方和占總離差平方和的比例 n i i n i i n i i n i i yy yy yy yy SST SSR r 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2. 反映回歸直線的擬合程度 3. 取值范圍在 0 , 1 之間 4. r2 1，說明回歸方程擬合的越好 r2 0，說明回歸方程擬合的越差 5. 判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即 r

21、2 (r)2 46 回歸方程的顯著性檢驗 （ 線性關(guān)系的檢驗 ） 1. 檢驗自變量和因變量間的線性關(guān)系是否顯著 2. 具體方法是將回歸離差平方和 (SSR)同剩余離 差平方和 (SSE)加以比較 ， 應(yīng)用 F檢驗來分析二 者之間的差別是否顯著 如果是顯著的 ， 兩個變量之間存在線性關(guān)系 如果不顯著的 ， 兩個變量之間不存在線性關(guān)系 47 回歸方程的顯著性檢驗 （ 檢驗 的步驟） 1. 提出假設(shè) H0：線性關(guān)系不顯著 )2,1( 2 1 2 1 1 2 1 2 nF nyy yy nSSE SSR F n i i n i i 2. 計算

22、檢驗統(tǒng)計量 F 3. 確定顯著性水平 ，并根據(jù)分子的自由度 1和 分母自由度 n-2找出臨界值 F 4. 作出決策： 若 FF ，拒絕 H0; 若 Ft，拒絕 H0； tt=2.201， 拒絕 H0， 表明蝗蟲平均 遷出量與平均遷入量 之間有線性關(guān)系 0 75 8.65 8 27.3 41 6 0 3495.14 5 26 3 8.0 2 t 對前例的回歸系數(shù)進行顯著性檢驗 ( 0.05) 55 回歸系數(shù)的顯著性檢驗 (Excel輸出的結(jié)果） SUMMARY OUTPUT 回歸統(tǒng)計 Multiple R 0.998703821 R Square 0.997409322 Adjus

23、ted R Square 0.997173806 標(biāo)準(zhǔn)誤差 14.94967766 觀測值 13 Coefficients 標(biāo)準(zhǔn)誤差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 54.22286392 8.99397869 6.028796 8.56501E-05 34.4272403 74.0184875 X Variable 1 0.52637714 0.00808855 65.07682 1.39842E-15 0.50857435 0.54417993 0 08 08 8 55.0 5 26 37 7 14.0 1 1 1 St

24、 99397869.8 22286392.54 0 0 0 St + n i i y xx x n SS 1 2 2 )( )(1 0 n i i y xx S S 1 2 )( 1 56 預(yù)測及應(yīng)用 利用回歸方程進行估計和預(yù)測 1. 根據(jù)自變量 x 的取值估計或預(yù)測因變量 y的取值 2. 估計或預(yù)測的類型 點估計 y 的平均值的點估計 y 的 個別值 的點估計 區(qū)間估計 y 的平均值的置信區(qū)間估計 y 的 個別值 的預(yù)測區(qū)間估計 58 利用回歸方程進行估計和預(yù)測 （點估計） 2. 點估計值有 y 的平均值的點估計 y

25、的 個別值 的點估計 3. 在點估計條件下，平均值的點估計和個別值的 點估計方式是一樣的，但在區(qū)間估計中則不同 1. 對于自變量 x 一個給定值 x0 ， 根據(jù)回歸方程 得到因變量 y 的一個估計值 0y 59 利用回歸方程進行估計和預(yù)測 （點估計） y 的平均值的點估計 1. 利用估計的回歸方程，對于自變量 x 的一個 給定平均值 x0 ，求出因變量 y 的平均值的 一個估計值 E(y0) ，就是平均值的點估計。 2. 在前面的例子中，假如我們要根據(jù)蝗蟲平均 遷入量為 2000只時，估計所有年份蝗蟲的遷 出量的平均值，就是平均值的點估計。根據(jù) 經(jīng)驗回歸方程得： )(98.

26、1 1 6 02 0 0 0526.0223.54 0 只+y 60 利用回歸方程進行估計和預(yù)測 （點估計） y 的個別值的點估計 1. 利用估計的回歸方程 ， 對于自變量 x 的一個 給定值 x0 ， 求出對應(yīng)因變量 y 的一個 個別值 的估計值 ， 就是個別值的點估計 。 0y 2. 比如 ， 如果我們只是想知道 1990年蝗蟲遷入 量為 1250.7只時 ， 對應(yīng)的遷出量是多少 ， 則 屬于個別值的點估計 。 根據(jù)經(jīng)驗回歸方程得 : )(57.71270.1 2 5 0526.0223.54 0 只+y 61 利用回歸方程進行估計和預(yù)測 （區(qū)間估計） 1. 點估計不能給

27、出估計的精度 ， 點估計值與實際 值之間是有誤差的 ， 因此 ， 需要進行區(qū)間估計 。 2. 對于自變量 x 的一個給定值 x0， 根據(jù)回歸方程 得到因變量 y 的一個估計區(qū)間 。 3. 區(qū)間估計有兩種類型 置信區(qū)間估計 預(yù)測區(qū)間估計 62 利用回歸方程進行估計和預(yù)測 （置信區(qū)間估計） y 的平均值的置信區(qū)間估計 1. 利用估計的回歸方程 ， 對于自變量 x 的一個 給定值 x0 ， 求出因變量 y 的平均值 E(y0)的估 計區(qū)間 ， 這一估計區(qū)間稱為 置信區(qū)間 2. E(y0) 在 1-置信水平下的置信區(qū)間為 + n i i y xx xx n Snt

28、y 1 2 2 0 20 1 )2( 其中： Sy為估 計標(biāo)準(zhǔn)誤差 63 利用回歸方程進行估計和預(yù)測 （置信區(qū)間估計 :算例） 【 例 6.3】 根據(jù)前例，求出當(dāng)蝗蟲平均遷入量為 1250.7 只時，平均遷出量 95%的置信區(qū)間。 解： 根據(jù)前面的計算結(jié)果 712.57， Sy=14.95， t(13-2) 2.201， n=13 置信區(qū)間為： 827.3416034 73077.9867.1250 13 195.14201.257.712 2+ = 712.5710.265 平均遷出量 95%的置信區(qū)間為 702.305只 722.835 只

29、 之間 。 0y 64 利用回歸方程進行估計和預(yù)測 （預(yù)測區(qū)間估計） y 的個別值的預(yù)測區(qū)間估計 1. 利用估計的回歸方程，對于自變量 x 的一個 給定值 x0 ，求出對應(yīng)因變量 y 的一個 個別值 的估計區(qū)間，這一區(qū)間稱為 預(yù)測區(qū)間 2. y0在 1-置信水平下的預(yù)測區(qū)間為 ++ n i i y xx xx n Snty 1 2 2 0 20 1 1)2( 注意！ 65 利用回歸方程進行估計和預(yù)測 （置預(yù)測區(qū)間估計 :算例） 【 例 6.4】 根據(jù)前例 ， 求出 1990年蝗蟲平均遷入量 為 1250.7只時 ， 對應(yīng)平均遷出量 95%的預(yù)測區(qū)間 。

30、 解： 根據(jù)前面的計算結(jié)果有 712.57， Sy=14.95， t(13-2) 2.201， n=13 置信區(qū)間為： 827.3416034 73077.9867.1250 13 1195.14201.257.712 2++ =712.5734.469 1990年在當(dāng)?shù)鼗认x 平均遷出量 95%的預(yù)測區(qū)間為 678.101只 747.039只之間 。 0y 66 影響區(qū)間寬度的因素 1.置信水平 (1 - ) 區(qū)間寬度隨置信水平的增大而增大 2.數(shù)據(jù)的離散程度 (S) 區(qū)間寬度隨離散程度的增大而增大 3.樣本容量 區(qū)間寬度隨樣本容量的增大而減小 4.用于預(yù)測的 xp與 x的差異程度 區(qū)間寬度隨 xp與 x 的差異程度的增大而增大 67 置信區(qū)間 、 預(yù)測區(qū)間 、 回歸方程 xp xy 10 + y x x 68 Thanks ! 69