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1、第六章 圖形的性質(zhì) (二 ) 第 26講 幾何作圖 1 尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺 2 基本作圖 (1)作一條線段等于已知線段； (2)作一個(gè)角等于已知角； (3)作角的平分線； (4)作線段的垂直平分線； (5)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線 3 利用基本作圖作三角形 (1)已知三邊作三角形； (2)已知兩邊及其夾角作三角形； (3)已知兩角及其夾邊作三角形； (4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形； (5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形 4 與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖 (1)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓 (即三角形的外接圓 )； (2)作三角形的內(nèi)切圓

2、； (3)作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形 5 有關(guān)中心對(duì)稱或軸對(duì)稱的作圖以及設(shè)計(jì)圖案是中考的常見(jiàn)類型 1 兩種畫(huà)圖方法 對(duì)于一個(gè)既不屬于尺規(guī)基本作圖 ， 又不屬于已知條件為邊角邊、角邊 角、角角邊、邊邊邊、斜邊直角邊的三角形的作圖題 ， 可以分析圖形中 是否有屬于上述情況的三角形 ， 先把它作出來(lái) ， 再發(fā)展成整個(gè)圖形 ， 這 種思考方法 ， 稱為三角形奠基法；也可以按求作圖形的要求 ， 一步一步 地直接畫(huà)出圖形 ， 這時(shí) ， 關(guān)鍵的點(diǎn)常常由兩條直線 (或圓弧 )相交來(lái)確定 ， 稱為交會(huì)法 事實(shí)上 ， 往往把三角形奠基法和交會(huì)法結(jié)合使用 2 三點(diǎn)注意 (1)一般的幾何作圖 ， 初中階段

3、只要求寫(xiě)出已知、求作、作法三個(gè)步驟 ， 完成作圖時(shí) ， 需要注意作圖痕跡的保留 ， 作法中要注意作圖語(yǔ)句的規(guī) 范和最后的作圖結(jié)論 (2)根據(jù)已知條件作幾何圖形時(shí) ， 可采用逆向思維 ， 假設(shè)已作出圖形 ， 再尋找圖形的性質(zhì) ， 然后作圖或設(shè)計(jì)方案 (3)實(shí)際問(wèn)題要理解題意 ， 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題 3 六個(gè)步驟 尺規(guī)作圖的基本步驟： (1)已知：寫(xiě)出已知的線段和角 ， 畫(huà)出圖形； (2)求作：求作什么圖形 ， 它符合什么條件 ， 一一具體化； (3)作法：應(yīng)用 “ 五種基本作圖 ” ， 敘述時(shí)不需重述基本作圖的過(guò)程 ， 但圖中必須保留基本作圖的痕跡； (4)證明：為了驗(yàn)證所

4、作圖形的正確性 ， 把圖作出后 ， 必須再根據(jù)已知 的定義、公理、定理等 ， 結(jié)合作法來(lái)證明所作出的圖形完全符合題設(shè)條件 ； (5)討論：研究是不是在任何已知的條件下都能作出圖形；在哪些情況 下 ， 問(wèn)題有一個(gè)解、多個(gè)解或者沒(méi)有解； (6)結(jié)論：對(duì)所作圖形下結(jié)論 1 (2014安順 )用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角 ， 如圖 ， 能得出 AOB AOB的依據(jù)是 ( ) A SAS B SSS C ASA D AAS 2 (2016曲靖 )下列尺規(guī)作圖 ， 能判斷 AD是 ABC邊上的高是 ( ) B B 3 ( 2015 嘉興 ) 數(shù)學(xué)活動(dòng)課上 ， 四位同學(xué)圍繞作 圖問(wèn)題： “

5、 如圖 ， 已知直 線 l 和 l 外一點(diǎn) P ， 用直尺和圓規(guī)作直線 PQ ， 使 PQ l 于點(diǎn) Q. ” 分別作出了 下列四個(gè)圖形 其中作法錯(cuò)誤的是 ( ) , A ) , B ) , C ) , D ) A 4 ( 2015 深圳 ) 如圖 ， 已知 ABC ， AB BC ， 用尺規(guī)作圖的方法在 BC 上取一點(diǎn) P ， 使得 PA PC BC ， 則下列選項(xiàng)正確的是 ( ) , A ) , B ) , C ) , D ) D 5 (2016麗水 )用直尺和圓規(guī)作 Rt ABC斜邊 AB上的高線 CD， 以下四個(gè) 作圖中 ， 作法錯(cuò)誤的是

6、( ) D 【 例 1】 (2015杭州 )“ 綜合與實(shí)踐 ” 學(xué)習(xí)活動(dòng)準(zhǔn)備制作一組三角形 ， 記這些三角形的三邊分別為 a， b， c， 并且這些三角形三邊的長(zhǎng)度為大 于 1且小于 5的整數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度 (1)用記號(hào) (a， b， c)(abc)表示一個(gè)滿足條件的三角形 ， 如 (2， 3， 3) 表示邊長(zhǎng)分別為 2， 3， 3個(gè)單位長(zhǎng)度的一個(gè)三角形請(qǐng)列舉出所有滿足條 件的三角形 (2)用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足 a b c的三角形 (用給定的單位長(zhǎng)度 ， 不寫(xiě)作法 ， 保留作圖痕跡 ) 解： (1)共 9種： (2， 2， 2)， (2， 2， 3)， (2， 3， 3)， (2，

7、3， 4)， (2， 4， 4) ， (3， 3， 3)， (3， 3， 4)， (3， 4， 4)， (4， 4， 4) (2)由 (1)可知 ， 只有 (2， 3， 4)， 即 a 2， b 3， c 4時(shí)滿足 a b c.如 圖的 ABC即為滿足條件的三角形 【 點(diǎn)評(píng) 】 (1)作三角形包括：已知三角形的兩邊及其夾角 ， 求作三 角形；已知三角形的兩角及其夾邊 ， 求作三角形；已知三角形的三 邊 ， 求作三角形； (2)求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的頂點(diǎn)；而求作直角三角形時(shí) ， 一 般先作出直角 ， 然后根據(jù)條件作出所求的圖形 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (2015南京 )如圖 ， 在邊長(zhǎng)

8、為 4的正方形 ABCD中 ， 請(qǐng)畫(huà)出以 A為一 個(gè)頂點(diǎn) ， 另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形 ABCD的邊上 ， 且含邊長(zhǎng)為 3的所有大小 不同的等腰三角形 (要求：只要畫(huà)出示意圖 ， 并在所畫(huà)等腰三角形長(zhǎng)為 3的邊上標(biāo)注數(shù)字 3) 解：滿足條件的所有圖形如圖所示： 【 例 2】 兩個(gè)城鎮(zhèn) A， B與兩條公路 ME， MF位置如圖所示 ， 其中 ME 是東西方向的公路現(xiàn)電信部門(mén)需在 C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔 ， 要求發(fā)射 塔到兩個(gè)城鎮(zhèn) A， B的距離必須相等 ， 到兩條公路 ME， MF的距離也必須 相等 ， 且在 FME的內(nèi)部 (1)那么點(diǎn) C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中 ， 用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)

9、C.( 不寫(xiě)已知、求作、作法 ， 只保留作圖痕跡 ) (2)設(shè) AB的垂直平分線交 ME于點(diǎn) N， 且 MN 2( 1) km， 在 M處測(cè)得點(diǎn) C位于點(diǎn) M的北偏東 60 方向 ， 在 N處測(cè)得點(diǎn) C位于點(diǎn) N的北偏西 45 方向 ， 求點(diǎn) C到公路 ME的距離 解： (1) 如圖 (2) 作 CD MN 于點(diǎn) D ， 由題意得： CMN 30 ， CND 45 ， 在 Rt CMD 中 ， CD MD tan CMN ， MD CD 3 3 3 CD ； 在 Rt CND 中 ， CD DN tan CNM ， ND CD 1 CD ；

10、 MN 2( 3 1) km ， MN MD DN CD 3 CD 2( 3 1) km ， 解得： CD 2 km . 點(diǎn) C 到公路 ME 的距離為 2 km . 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 (2015濟(jì)寧 )如圖 ， 在 ABC中 ， AB AC， DAC是 ABC的一個(gè) 外角 實(shí)驗(yàn)與操作： 根據(jù)要求進(jìn)行尺規(guī)作圖 ， 并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母 (保留作圖痕跡 ， 不寫(xiě) 作法 ) (1)作 DAC的平分線 AM； (2)作線段 AC的垂直平分線 ， 與 AM交于點(diǎn) F， 與 BC邊交于點(diǎn) E， 連接 AE ， CF. 猜想并證明： 判斷四邊形 AECF的形狀并加以證明

11、 解：如圖所示 ， 四邊形 AE CF 的形狀為菱形 理由如下： AB AC ， ABC ACB ， AM 平分 DAC ， DAM CAM ， 而 DAC ABC ACB ， CAM ACB ， EF 垂直平分 AC ， OA OC ， AOF COE ， 在 AOF 和 COE 中 ， F AO ECO ， OA OC ， AOF COE ， AOF COE ( ASA ), OF OE ， 即 AC 和 EF 互相垂直平分 ， 四邊形 AE CF 的形狀為菱形 【例 3 】 ( 2015

12、孝感 ) 如圖 ， 一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧 ( AB ) (1) 用直尺和圓規(guī)作出 AB 所在圓的圓心 O ； ( 要求保留作圖痕跡 ， 不寫(xiě)作法 ) (2) 若 AB 的中點(diǎn) C 到弦 AB 的距離為 2 0 m ， AB 8 0 m ， 求 AB 所在圓的半徑 解： (1)如圖 ， 點(diǎn) O為所求 【點(diǎn)評(píng)】 根據(jù) “ 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓 ” ， 在 AB 上另找 一點(diǎn) C ， 分別畫(huà)弦 AC ， BC 的垂直平分線 ， 交點(diǎn)即為圓心 O. (2) 連接 OA ， OC ， OC 交 AB 于 D ， 如圖 ， C 為 AB

13、的中點(diǎn) ， OC AB ， AD BD 1 2 AB 40 ， 設(shè) O 的半徑為 r ， 則 OA r ， OD OC CD r 20 ， 在 Rt OAD 中 ， OA 2 OD 2 AD 2 ， r 2 (r 20) 2 40 2 ， 解得 r 50 ， 即 AB 所在圓的半徑是 5 0 m . 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 (2016青島 )已知：線段 a及 ACB.求作： O， 使 O在 ACB 的內(nèi)部 ， CO a， 且 O與 ACB的兩邊分別相切 解：作 ACB的平分線 CD 在 CD上截取 CO a 作 OE CA于 E

14、， 以 O為圓心 ， OE長(zhǎng)為半徑作圓 如圖所示： O即為所求 試題 尺規(guī)作圖 ， 已知頂角和底邊上的高 ， 求作等腰三角形 已知： ， 線段 a. 求作： ABC， 使 AB AC， BAC ， AD BC于 D， 且 AD a. 錯(cuò)解 如圖 ， (1)作 EAF ； (2)作 AG平分 EAF， 并在 AG上截取 AD a； (3)過(guò) D畫(huà)直線 MN交 AE， AF分別于 C， B， ABC為所求作的等腰三角 形 剖析 上述畫(huà)法考慮 AD平分 BAC， 等腰三角形頂角的平分線與底邊 上的高重合 ， 但是畫(huà)法 (3)沒(méi)有注意到要使 AD BC， 也難以使 AB AC. 正解 如圖 ， (1)作 EAF (2)作 AG平分 EAF， 并在 AG上截取 AD a (3)過(guò) D作 MN AG， MN與 AE， AF分別交于 B， C.則 ABC即 為所求作的等腰三角形