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1、數(shù)學 統(tǒng) 計 第四章 統(tǒng)計與概率 1 調(diào)查方式 (1)普查：對 ____對象進行的調(diào)查叫做全面調(diào)查 (普查 ). (2)抽樣調(diào)查：從被考察的全體對象中抽取 進行考察的 調(diào)查方式叫做抽樣調(diào)查 . 全體 部分個體 2 總體、個體、樣本及樣本容量 總 體 所要考察 對 象的 ____稱 為總 體 個體 組 成 總 體的 ____考察 對 象稱 為 個體 樣 本 從 總 體中抽取的 叫做 總 體的一個 樣 本 樣 本容 量 樣 本中個體的 ____叫做 樣 本容量 全體 每一個 一部分個體 數(shù)目 3.頻數(shù)與頻率 頻數(shù)

2、：對總的數(shù)據(jù)按一定的組距將其分組 ， 一般我們稱落在不 同小組中的數(shù)據(jù)個數(shù)為該組的頻數(shù) 頻率：每個小組中的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值為頻率頻率反映 了各組頻數(shù)的大小在總數(shù)中所占的份量 ， 頻率之和等于 ____ 1 條形 統(tǒng)計 圖 條形 統(tǒng)計圖 就是用 長 方形的高來表示數(shù)據(jù)的 圖 形 折 線統(tǒng)計 圖 用幾條 線 段 連 成的折 線 來表示數(shù)據(jù)的 圖 形 扇形 統(tǒng)計 圖 用一個 圓 代表 總 體 ， 圓 中 的各個扇形分 別 代表 總 體中的不同 部分 ， 扇形的大小反映部分在 總 體中所占 大小 ， 這 樣 的 統(tǒng)計圖 叫扇形 統(tǒng)計圖 頻 數(shù)分布 直 方 圖 能 顯 示

3、各 組頻 數(shù)分布的情況 ， 顯 示各 組 之 間頻 數(shù)的差 別 4 統(tǒng)計圖 百分比 6. 方差 設一組數(shù)據(jù) x 1 ， x 2 ， ， x n 中 ， 各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) x 的差的平方 分別是 ( x 1 x ) 2 ， ( x 2 x ) 2 ， ， ( x n x ) 2 . 那么我們用它的平均數(shù)即 s 2 1 n ( x 1 x ) 2 ( x 2 x ) 2 ( x n x ) 2 來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小 ， 并把它叫做這 組數(shù)據(jù)的方差 1 統(tǒng)計圖的選擇 根據(jù)常用的幾種 統(tǒng)計圖 反映數(shù)據(jù)的不同特征 結 合 實際 來 選擇 (1)扇形

4、統(tǒng)計圖 的特點： 用扇形的面 積 表示部分在 總 體中所占的百分比 易于 顯 示每 組 數(shù)據(jù)相 對 于 總 數(shù)的大小 (2)條形 統(tǒng)計圖 的特點： 條形 統(tǒng)計圖 能清楚地表示出每個 項 目中的具體數(shù)目 易 于比 較 數(shù)據(jù)之 間 的差 別 (3)折 線統(tǒng)計圖 的特點： 能清楚地反映事物的 變 化情況 顯 示數(shù)據(jù) 變 化 趨勢 2 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的選擇 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是數(shù)據(jù)的代表 ， 它 們 是 “ 同一家族的三 個成 員 ” ， 都是用來刻畫一 組 數(shù)據(jù)的平均水平 ， 表示數(shù)據(jù)的集中 趨 勢 應 用平均數(shù) 時 ， 所有數(shù)據(jù)都參與運算 ， 它能充分地利用數(shù)

5、據(jù)所提 供的信息 ， 但當一 組 數(shù)據(jù)中存在極大 值 或極小 值時 ， 平均數(shù)將不能 準確地表示數(shù)據(jù)的集中情況 應 用中位數(shù) 時 ， 計 算 較簡單 ， 不會受極大 值 或極小 值 的影響 ， 但 不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息 應 用眾數(shù) 時 ， 某些情況下 ， 人 們 最關心、最重 視 的是出 現(xiàn) 次數(shù)最 多的數(shù)據(jù) ， 這時應 用眾數(shù)比 較簡單 且能 夠 直接 滿 足人 們 的需求 ， 但 當各個數(shù)據(jù)的重復次數(shù)大致相等 時 ， 眾數(shù)往往沒有意 義 3 在 頻 數(shù)分布直方 圖 中 ， 一般涉及 補 全 統(tǒng)計圖 ( 表 ) ， 也就是求未知 組 的 頻 數(shù) ( 或 頻 率 ) ， 方法如下

6、： 未知 組頻 數(shù) 樣 本 總 量已知 組頻 數(shù)之和； 未知 組頻 數(shù) 樣 本容量 該組頻 率； 未知 組頻 率 1 已知 組頻 率之和； 未知 組頻 率 該組頻 數(shù) 樣 本容量 100 %. 1 (2015漳州 )下列調(diào)查中 ， 適宜采用普查方式的是 ( ) A 了解一批圓珠筆的壽命 B 了解全國九年級學生身高的現(xiàn)狀 C 考察人們保護海洋的意識 D 檢查一枚用于發(fā)射衛(wèi)星的運載火箭的各零部件 2 (2015攀枝花 )2015年我市有 1.6萬名初中畢業(yè)生參加升學考 試 ， 為了了解這 1.6萬名考生的數(shù)學成績 ， 從中抽取 2000名考生的 數(shù)學成績進行統(tǒng)計

7、， 在這個問題中樣本是 ( ) A 1.6萬名考生 B 2000名考生 C 1.6萬名考生的數(shù)學成績 D 2000名考生的數(shù)學成績 D D 3 (2015龍巖 )下列統(tǒng)計圖能夠顯示數(shù)據(jù)變化趨勢的是 ( ) A 條形圖 B扇形圖 C折線圖 D直方圖 4 (2015益陽 )某小組 5名同學在一周內(nèi)參加家務勞動的時間如 下表所示 ， 關于 ” 勞動時間 ” 的這組數(shù)據(jù) ， 以下說法正確的是 ( ) 勞動時間 (小 時 ) 3 3.5 4 4.5 人數(shù) 1 1 2 1 A.中位數(shù)是 4， 平均數(shù)是 3.75 B 眾數(shù)是 4， 平均數(shù)是 3.75 C 中位數(shù)是 4，

8、平均數(shù)是 3.8 D 眾數(shù)是 2， 平均數(shù)是 3.8 C C 5 (2015恩施州 )某中學開展 “ 陽光體育一小時 ” 活動 ， 根據(jù)學 校實際情況 ， 決定開設 “ A：踢毽子 ， B：籃球 ， C：跳繩 ， D： 乒乓球 ” 四項運動項目 (每位同學必須選擇一項 )， 為了解學生最 喜歡哪一項運動項目 ， 隨機抽取了一部分學生進行調(diào)查 ， 現(xiàn)將調(diào) 查結果繪制成如圖的統(tǒng)計圖 ， 則參加調(diào)查的學生中最喜歡跳繩運 動項目的學生數(shù)為 ( ) A 240 B 120 C 80 D 40 D 【 例 1】 (1)(2014內(nèi)江 )下列調(diào)查中 ， 調(diào)查本班同學的視力 ； 調(diào)查一批節(jié)能燈管的使

9、用壽命； 為保證 “ 神舟 9號 ” 的成功 發(fā)射 ， 對其零部件進行檢查； 對乘坐某班次客車的乘客進行安 檢其中適合采用抽樣調(diào)查的是 ( ) A B C D (2)(2015聊城 )電視劇 鐵血將軍 在我市拍攝 ， 該劇展示了抗 日英雄范筑先的光輝形象某校為了了解學生對 “ 民族英雄范筑 先 ” 的知曉情況 ， 從全校 2400名學生中隨機抽取了 100名學生進行 調(diào)查在這次調(diào)查中 ， 樣本是 ( ) A 2400名學生 B 100名學生 C 所抽取的 100名學生對 “ 民族英雄范筑先 ” 的知曉情況 D 每一名學生對 “ 民族英雄范筑先 ” 的知曉情

10、況 B C 【 點評 】 (1)全面 調(diào)查 可以直接 獲 得 總 體的情況 ， 調(diào)查 的 結 果準 確 ， 但搜集、整理、 計 算數(shù)據(jù)的工作量大；抽 樣調(diào)查 的范 圍 小 ， 節(jié) 省人力、物力 ， 但往往不如全面 調(diào)查 的 結 果準確 選擇 普 查還 是抽 樣調(diào)查 要根據(jù)所要考 查 的 對 象的特征靈活 選 用 ， 一般來 說 ， 對 于具有破壞性的 調(diào)查 、無法 進 行普 查 、普 查 的意 義 或價 值 不大 ， 應選擇 抽 樣調(diào)查 ， 對 于精確度要求高的 調(diào)查 ， 事關重大的 調(diào)查 往往 選 用普 查 (2) 明確 總 體、個體、 樣 本、 樣 本容量的含 義 ： 總 體：我

11、們 把所 要 考察的 對 象的全體叫做 總 體； 個體：把 組 成 總 體的每一個考 察 對 象叫做個體； 樣 本：從 總 體中取出的一部分個體叫做 這 個 總 體的一個 樣 本； 樣 本容量：一個 樣 本包括的個體數(shù)量叫做 樣 本容量 對應訓練 1 (1)(2015通遼 )下列調(diào)查適合抽樣調(diào)查的是 ( ) A 審核書稿中的錯別字 B 對某社區(qū)的衛(wèi)生死角進行調(diào)查 C 對八名同學的身高情況進行調(diào)查 D 對中學生目前的睡眠情況進行調(diào)查 (2)(2014巴中 )今年我市有 4萬名考生參加中考 ， 為了了解這些考 生的數(shù)學成績 ， 從中抽取 2000名考生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析

12、 ， 在 這個問題中 ， 下列說法： 這 4萬名考生的數(shù)學中考成績的全體是總 體； 每個考生是個體； 2000名考生是總體的一個樣本； 樣本 容量是 2000， 其中說法正確的有 ( ) A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 D C 【 例 2】 (1)(2015日照 )某市測得一周 PM2.5的日均值 (單位： 微克 /立方米 )如下： 31， 30， 34， 35， 36， 34， 31， 對這組數(shù)據(jù)下 列說法正確的是 ( ) A 眾數(shù)是 35 B中位數(shù)是 34 C 平均數(shù)是 35 D方差是 6 (2)某校體育節(jié)有 13名同學參加女子百米賽跑 ， 它們預

13、賽的成績 各不相同 ， 取前 6名參加決賽 ， 小穎已經(jīng)知道了自己的成績 ， 她想 知道自己能否進入決賽 ， 還需要知道這 13名同學成績的 ( ) A 方差 B眾數(shù) C中位數(shù) D平均數(shù) B C 【點評】 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差是中考的 熱 點之一 ， 解決 這類 問題 的關 鍵 是弄清概念 平均數(shù)的大小與一 組 數(shù)據(jù)里的每一個數(shù)據(jù)均有關系 ， 其中任何一個數(shù)據(jù)的 變動 都會引起平均數(shù)的 變動 ；眾數(shù)著眼于各數(shù)據(jù)出 現(xiàn) 的 頻 率 ， 其大小只與 這組 數(shù)據(jù)中的部分數(shù)據(jù)有關 ， 可以是一個或多個；中位數(shù) 則 與數(shù)據(jù)的排列位置有關 ， 某些數(shù)據(jù)的 變動對 中位數(shù)沒有影響 ，

14、計 算 時 要分 清數(shù)據(jù)是奇數(shù)個 ， 還 是偶數(shù)個 一般地 設 n 個數(shù)據(jù) ， x 1 ， x 2 ， x n 的平均數(shù) 為 x ， 則 方差 s 2 1 n ( x 1 x ) 2 ( x 2 x ) 2 ( x n x ) 2 對應訓練 2 ( 1 ) ( 2015 內(nèi)江 ) 有一組數(shù)據(jù)如下： 3 ， a ， 4 ， 6 ， 7 ， 它們的平均數(shù)是 5 ， 那么這組數(shù)據(jù)的方差是 ( ) A 10 B. 10 C. 2 D 2 ( 2 ) ( 2015 龍巖 ) 若甲、乙、丙、丁四位同學一學期 4 次數(shù)學測試的平均成 績恰好都是 85 分 ，

15、 方差分別為 s 甲 2 0. 80 ， s 乙 2 1. 3 1 ， s 丙 2 1. 72 ， s 丁 2 0.42 ， 則成績最穩(wěn)定的同學是 ( ) A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 ( 3 ) ( 2015 寧波 ) 在端午節(jié)到來之前 ， 學校食堂推薦了 A ， B ， C 三家粽子 專賣店 ， 對全校師生愛吃哪家店的粽子作調(diào)查 ， 以決定最終向哪家店采購 ， 下面的統(tǒng)計量中最值得關注的是 ( ) A 方差 B 平均數(shù) C 中位數(shù) D 眾數(shù) D D D 【例 3 】 ( 20 15 麗水 ) 某運動品牌店對第一季度 A 、 B 兩款

16、運動鞋的銷售 情況進行統(tǒng)計兩款運動鞋的銷售量及總銷售額如圖所示： (1) 一月份 B 款運動鞋的銷售量是 A 款的 4 5 ， 則一月份 B 款運動鞋銷售了 多少雙？ (2) 第一季度這兩款運動鞋的銷售單價保持不變 ， 求三月份的總銷售額 ( 銷 售額銷售單價 銷售量 ) ； (3) 綜合第一季度的銷售情況 ， 請你對這兩 款運動鞋的進貨、銷售等方面 提出一條建議 解： ( 1 ) 根據(jù)題意得： 50 4 5 40 ( 雙 ) 答：一月份 B 款運動鞋銷售了 40 雙 ( 2 ) 設 A ， B 兩款運動鞋的銷量單價分別為 x 元 ， y 元 ， 根據(jù)題

17、意得： 50 x 40y 40000 ， 60 x 52y 50000 ， 解得： x 400 ， y 500 ， 則三月份的總銷售額是： 400 65 500 26 39000 3.9 ( 萬元 ) ( 3 ) 從銷售量來看 ， A 款運動鞋銷售量逐月增加 ， 比 B 款運動鞋銷量大 ， 建議多進 A 款運動鞋 ， 少進或不進 B 款運動鞋 【點評】 讀 懂 統(tǒng)計圖 ， 從不同的 統(tǒng)計圖 中得到必要的信息是解決 問題 的 關 鍵 條形 統(tǒng)計圖 能清楚地表示出每個 項 目的數(shù)據(jù) 對應訓練 3 ( 2015 陜西 ) 某校為了了解本校九年

18、級女生體育測試項目 “ 仰臥起 坐 ” 的訓練情況 ， 讓體育老師隨機抽查了該年級若干名女生 ， 并嚴格地對 她們進行了 1 分鐘 “ 仰臥起坐 ” 測試 ， 同時統(tǒng)計了每個人做的個數(shù) ( 假設這 個個數(shù)為 x) ， 現(xiàn)在我們將這些同學的測試結果分為四個等級：優(yōu)秀 (x 44) 、 良好 ( 36 x 43) 、及格 (25 x 35) 和不及格 (x 24) ， 并將統(tǒng)計結果繪制成 如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖 根據(jù)以上信息 ， 解答下列問題： (1) 補全上面的 扇形統(tǒng)計圖； ( 2) 被測試女生 1 分鐘 “ 仰臥起坐 ” 個數(shù)的中位數(shù)落在 ____ 等級； (3

19、) 若該年級有 650 名女生 ， 請你估計該年級女生中 1 分鐘 “ 仰臥起坐 ” 個數(shù)達到優(yōu)秀的人數(shù) 良好 解： ( 1 ) ( 2 ) 13 20 12 5 50 ， 50 2 25 ， 25 1 26 ， 中位數(shù)落在良好 等級 ， 故答案為：良好 ( 3 ) 650 26 % 169 ( 人 ) ， 即該年級女生中 1 分鐘 “ 仰臥起坐 ” 個數(shù)達到 優(yōu)秀的人數(shù)是 169 【 例 4】 (2015長沙 )中華文明 ， 源遠流長：中華漢字 ， 寓意深 廣 ， 為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化 ， 某校團委組織了一次全校 3000名學 生參加的 “ 漢字聽寫

20、” 大賽 ， 賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學生的成績均不 低于 50分為了更好地了解本次大賽的成績分布情況 ， 隨機抽取 了其中 200名學生的成績 (成績 x取整數(shù) ， 總分 100分 )作為樣本進行 整理 ， 得到下列不完整的統(tǒng)計圖表： 成 績 x(分 ) 頻 數(shù) 頻 率 50 x 60 10 0.05 60 x 70 20 0.10 70 x 80 30 b 80 x 90 a 0.30 90 x 100 80 0.40 請根據(jù)所給信息 ， 解答下列問題： (1)a ， b ； (2)請補全頻數(shù)分布直方圖； (3)

21、這次比賽成績的中位數(shù)會落在 分數(shù)段； (4)若成績在 90分以上 (包括 90分 )的為 “ 優(yōu) ” 等 ， 則該校參加這次 比賽的 3000名學生中成績 “ 優(yōu) ” 等的約有多少人？ 200 0.30 60 30 200 0.15 80 x 90 解： (1)樣本容量是： 10 0.05 200， a 200 0.30 60， b 30 200 0.15 (2)補全頻數(shù)分布直方圖 ， 如下 (3)一共有 200個數(shù)據(jù) ， 按照從小到大的順序排列后 ， 第 100個與 第 101個數(shù)據(jù)都落在第四個分數(shù)段 ， 所以這次比賽成績的中位數(shù)會 落在 80 x 9

22、0分數(shù)段 (4)3000 0.40 1200(人 )即該校參加這次 比賽的 3000名學生中成績 “ 優(yōu) ” 等的大約有 1200人故答案為 60 ， 0.15； 80 x 90； 1200 【 點評 】 本 題 考 查讀頻 數(shù)分布直方 圖 的能力和利用 統(tǒng)計圖獲 取信息的能力；利用 統(tǒng)計圖獲 取信息 時 ， 必 須認 真 觀 察、分析、 研究 統(tǒng)計圖 ， 才能作出正確的判斷和解決 問題 對應訓練 4 (2015宿遷 )某校為了了解九年級 1000名學生的身體健康情 況 ， 從該年級隨機抽取了若干名學生 ， 將他們按體重 (均為整數(shù) ， 單位： kg)分成五組 (A： 39.5 46.5

23、； B： 46.5 53.5； C： 53.5 60.5； D： 60.5 67.5； E： 67.5 74.5)， 并依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如 下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖 解答下列問題： (1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量是 ____， 并補全頻數(shù)分布直方圖 ； (2)C組學生的頻率為 ____， 在扇形統(tǒng)計圖中 D組的圓心角是 ____度； (3)請你估計該校九年級體重超過 60 kg的學生大約有多少名 ？ 50 0.32 72 解： ( 1 ) 這次抽樣調(diào)查的樣本容量是 4 8 % 50 ， B 組的 頻數(shù) 50 4 16 10 8 12 ， 補全頻數(shù)分布直方圖 ，

24、如圖： ( 2 ) C 組學生的頻率是 0.3 2 ； D 組的圓心角 10 50 360 72 ( 3 ) 樣本中體重超過 60 kg 的學生是 10 8 18 人 ， 該校九年級體重超過 60 kg 的學生 18 50 100 % 1000 360 人 ， 故答案為： ( 1 ) 50 ； ( 2 ) 0.32 ； 72 試題 1 我市某一周前六天的最高氣溫統(tǒng)計如下： 18 ， 16 ， 15 ， 17 ， 18 ， 16 ( 單位： ) ， 則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是 ____ 、 ____ 錯解 16 ， 16 剖析 一 組 數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止

25、一個；求中位數(shù) 時 ， 應 先按大小 順 序排列 ， 然后 觀 察數(shù)據(jù)個數(shù)的奇偶性 ( 一 組 數(shù)中的 總 數(shù) 為 奇數(shù)個 時 ， 中位數(shù) 為 中 間 的那個 數(shù)字； 總 數(shù) 為 偶數(shù)個 時 ， 中位數(shù) 為 中 間 兩個數(shù)字的平均數(shù) ) 正解 16 和 18 ， 16.5 試題 2 某校七年級六個班的人數(shù)依次為 52 人 ， 55 人 ， 53 人 ， 51 人 ， 54 人 ， 52 人 ， 各班的期末數(shù)學平均成績分別為 95 分 ， 91. 5 分 ， 93 分 ， 95 分 ， 91 分 ， 93. 5 分 ， 求七年級期末數(shù)學考試的平均成績 錯解 解： x 1 6 ( 95

26、 91.5 93 95 91 93.5 ) 93.2 ( 分 ) 答：七年級期末數(shù)學考試的平均成績?yōu)?93. 2 分 剖析 七年 級 的平均成 績應該 是七年 級 每個學生成 績 的平均數(shù) ， 題 目已 知六個班各班的平均成 績 ， 求 這 個年 級 的平均成 績 ， 只需分 別 求出每個班的 總 分數(shù) ， 這 些 總 分數(shù)的和就是 這 個年 級 所有學生成 績 的和 ， 再除以年 級總 人 數(shù) ， 就是所求的 這 個年 級 的平均成 績 ， 而上面的 錯 解把六個班的平均成 績 的 平均數(shù) 誤 當成年 級 的平均成 績 ， 導 致了 錯誤 正解 x 95 52 91. 5 55 93 53 95 51 91 54 93. 5 52 52 55 53 51 54 52 93. 1 ( 分 ) 答：該校七年級期末數(shù)學考試的平均成績?yōu)?93. 1 分