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機(jī)器人技術(shù)第三章機(jī)器人運(yùn)動學(xué)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ).ppt

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1、I. 機(jī)器人學(xué) 機(jī)器人學(xué) 機(jī)械電子工程 Dr. Kevin Craig I. 機(jī)器人學(xué) IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA) 2010 安克雷奇 文章: 856/2034 分會場: 154 國家: 47 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS) 2009 圣路易斯 文章: 936/1599 分會場: 192 國家: 5

2、3 I. 機(jī)器人學(xué) Technical Session的主要內(nèi)容 Human robot interaction Medical robotics Sensor fusion Legged robots Underwater robots Manipulator motion planning Camera calibration Intelligent transportation systems SLAM: Features and landmarks Humanoid robot body motion Microrobots Biologically

3、-inspired robotic devices Rehabilitation robotics Field robotics Grasping Nanorobotic manipulation Fish-like robot Parallel robot 第二章 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 參考教材 美 付京遜 機(jī)器人學(xué) 中南大學(xué) 蔡自興 機(jī)器人學(xué) 美 理查德 鮑爾 機(jī)器人操作手 數(shù) 學(xué) 編程與控制 參考教材 美 付京遜 機(jī)器人學(xué) 美籍華人 普渡大學(xué)( Purdue University)電機(jī)工程專業(yè)著 名教授 4部

4、著作、 400多篇論文 第一任國際模式識別學(xué)會會長,被譽(yù)為自動模 式識別之父 1985年去世 參考教材 中南大學(xué) 蔡自興 中南大學(xué)教授,我國人工 智能和機(jī)器人領(lǐng)域著名專 家 中國人工智能學(xué)會智能機(jī) 器人專委會理事長 曾與付京遜教授一起工作 過 第一節(jié) 引言 串聯(lián)機(jī)器人可以用一個開環(huán)關(guān)節(jié)鏈來建模 由數(shù)個驅(qū)動器驅(qū)動的 轉(zhuǎn)動 或 移動 關(guān)節(jié)串聯(lián)而成 一端固定在基座上,另一端是自由的,安裝工具(末端 執(zhí)行器),用以操縱物體,或完成各種任務(wù) i n o a 關(guān)節(jié)的 相對運(yùn)動 導(dǎo)致桿件的運(yùn)動, 使末端執(zhí)行器定位于所需要的方 位上 在一般機(jī)器人應(yīng)用問題中,人

5、們 感興趣的是:末端執(zhí)行器相對于 固定參考坐標(biāo)數(shù)的 空間幾何描述 , 也就是機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)問題 機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)即是研究機(jī)器人 手臂 末端執(zhí)行器位置和姿態(tài) 與 關(guān) 節(jié)變量空間 之間的關(guān)系 運(yùn)動學(xué)研究的問題 Where is my hand? Direct Kinematics HERE! How do I put my hand here? Inverse Kinematics: Choose these angles! 運(yùn)動學(xué)正問題 運(yùn)動學(xué)逆問題 哈佛大學(xué) Roger Brockett建立的指數(shù)積公 式 運(yùn)動學(xué) 滾動接觸 非完整控制 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) -剛體運(yùn)動

6、 參考文獻(xiàn): 機(jī)器人操作的數(shù)學(xué)導(dǎo)論 作者:理查德 摩雷 李澤湘 夏卡恩 薩斯特里 翻譯:徐衛(wèi)良 錢瑞明(東南大學(xué)) 研究運(yùn)動學(xué)的方法 1955年丹納維特( Denavit)和哈頓伯格( Hartenberg)提 出了一種 采用矩陣代數(shù)方法 解決機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)問題 D-H 方法,其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)即是 齊次變換 具有直觀的幾何意義 能表達(dá)動力學(xué)、計算機(jī)視覺和 比例變換問題 為以后的比例變換、透視變換 等打下基礎(chǔ) 1000 p p p T z yyy xxx zzz y

7、 x w w w 第二節(jié) 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 齊次坐標(biāo)和齊次變換 2.1 點(diǎn)和面的齊次坐標(biāo) 2.1.1 點(diǎn)的齊次坐標(biāo) 一般來說, n維空間的齊次坐標(biāo)表示是一個( n+1)維空間實(shí)體。有一 個特定的投影附加于 n維空間,也可以把它看作一個附加于每個矢量的 特定坐標(biāo) 比例系數(shù)。 引入齊次坐標(biāo)的目的是為了表示幾何變換的旋轉(zhuǎn)、平移和縮放 kcjbiav zy x Tw w z y x V 式中 i, j, k為 x, y, z 軸上的單位矢量, a= , b= , c= , w為比例系數(shù) w x w y w z

8、顯然,齊次坐標(biāo)表達(dá) 并不是唯一 的,隨 w值的不同而不同。在計算機(jī)圖學(xué)中, w 作為通用比例因子,它可取任意正值,但 在機(jī)器人的運(yùn)動分析中,總是取 w=1 。 列矩陣 一個點(diǎn)矢: 例 1: kjiV 543 可以表示為: V=3 4 5 1T 或 V=6 8 10 2T 或 V=-12 -16 -20 -4T 齊次坐標(biāo)與三維直角坐標(biāo)的區(qū)別 V點(diǎn)在 O XYZ坐標(biāo)系中表 示是 唯一 的( a、 b、 c) 而在齊次坐標(biāo)中表示可 以是多值的。 不同的表 示方法代表的 V點(diǎn)在空間 位置上不變。 x y z z z x V 圖 2 - 2 o 幾個特定

9、意義的齊次坐標(biāo): 0 0 0 nT 坐標(biāo)原點(diǎn)矢量的齊次坐標(biāo), n為任 意非零比例系數(shù) 1 0 0 0T 指向無窮遠(yuǎn)處的 OX軸 0 1 0 0T 指向無窮遠(yuǎn)處的 OY軸 0 0 1 0T 指向無窮遠(yuǎn)處的 OZ軸 0 0 0 0T 沒有意義 2個常用的公式: zzyyxx babababa kbabajbabaibaba bbb aaa kji ba xyyxzxxzyzzy zyx zyx )()()( 點(diǎn)乘 : 叉乘 : 2.1.2 平面的齊次坐標(biāo) 平面齊次坐標(biāo)由 行矩陣 P=a b c d 來表示 當(dāng)點(diǎn) v=x y z wT處于平面 P內(nèi)時,

10、矩陣乘積 PV=0,或記為 0 dwczbyax w z y x dcbaPV 與點(diǎn)矢 相仿,平面 也沒有意義 T0000 0000 點(diǎn)和平面間的位置關(guān)系 設(shè)一個平行于 x、 y軸 , 且在 z軸上的坐標(biāo)為單位距離的平面 P可以表示為: 或 有: PV= 1100 P 2200 P v0 v0 v0 點(diǎn)在平面下方 點(diǎn)在平面上 點(diǎn)在平面上方 例如:點(diǎn) V=10 20 1 1T 必定處于此平面內(nèi) , 而點(diǎn) V=0 0 2 1T 處于平 P

11、的上方 , 點(diǎn) V=0 0 0 1T處于 P平面下方 , 因?yàn)椋? 0 1 1 20 10 101000 0 1 1 2 0 0 1100 0 -1 1 0 0 0 1-100 2.2 旋轉(zhuǎn)矩陣及旋轉(zhuǎn)齊次變換 2.2.1 旋轉(zhuǎn)矩陣 設(shè)固定參考坐標(biāo)系直角坐標(biāo)為 Oxyz, 動坐標(biāo)系為 Ouvw, 研究旋轉(zhuǎn)變換情況 。 x y z w v u P o ( O ) 圖 2 - 3 初始位置時,動靜坐標(biāo)系重合, O、 O 重合,如圖。各軸對 應(yīng)重合,設(shè) P點(diǎn)是動坐標(biāo)系 Ouvw中的一點(diǎn),且固定

12、不變。則 P 點(diǎn)在 Ouvw中可表示為: wwvvuuu v w kPjPiPP 、 、 為坐標(biāo)系 Ouvw的單位矢量 , 則 P點(diǎn)在 oxyz中可表示為: ui vj wk zzyyxxxyz kPjPiPP xyzu v w PP 當(dāng)動坐標(biāo)系 Ouvw繞 O點(diǎn)回轉(zhuǎn)時,求 P點(diǎn)在固定坐標(biāo)系 oxyz 中的位置 y z x o ( O ) u v w P Pw Pv Pu 圖 2 - 4 已知: P點(diǎn)在 Ouvw中是不變的仍然成 立,由于 Ouvw回轉(zhuǎn),則: wwvvuuu v w kPjPiPP xwwvvuuxu v wx ikPjPiPiP )(P ywwvv

13、uuyu v wy jkPjPiPjP )(P zwwvvuuzu v wz kkPjPiPkP )(P 用矩陣表示為 : w v wzvzz wvyy wxvxx z y x P P P kkjkik kjjjij kijiii P P P y ( 2-7) u v wxyz wzvzz wvyy wxvxx PRp kkjkik kjjjij kijiii :R y 則旋轉(zhuǎn)矩陣為:定義 反過來: x y zu v w PRP 1 R RR de t *1 T1 RR Rd

14、 e t 是正交矩陣,的行列式,為的伴隨矩陣,為 RRRR 2.2.2 旋轉(zhuǎn)齊次變換 用齊次坐標(biāo)變換來表示式( 2-7) 11000 0 0 0 1 w v u z y x P P P R P P P 11000 0 0 0 1 1 z y x w v u P P P R P P P 2.2.3 三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣和合成旋轉(zhuǎn)矩陣 三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣 ),( xR 即動坐標(biāo)系 求 的旋轉(zhuǎn)矩陣 , 也就是 求出坐標(biāo)系

15、 中各軸單位矢量 在固定坐標(biāo)系 中各軸的投影分量 , 很容易得到在兩個坐標(biāo)系重合時 , 有: 角,軸轉(zhuǎn)動繞, XOvwO vwO wv kji ,, Oxyz ),( xR 100 010 001 R wzvzz wvyy wxvxx kkjkik kjjjij kijiii y)R ( x , x y z o u v w U V W O 圖 2 - 5 ss in0 s inc o s0 001 co ii ux 方向余弦陣 同理: c o s0

16、s in 010 s in0c o s )y,R ( 100 0c o ss in 0s in-c o s )z,R ( ss in0 s inc o s0 001 )R ( x , co 三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣 : x y z o u v w U W O x y z o u v w U W O v 合成旋轉(zhuǎn)矩陣 : 例 1:在動坐標(biāo)中有一固定點(diǎn) ,相對固定參 考坐標(biāo)系 做如下運(yùn)動: R( x, 90 ); R(z, 90 ); R(y,90 )。求運(yùn)動后點(diǎn) 在固定參考

17、坐標(biāo)系 下的位置。 Tu v wPo 1321 Oxyz uvwPo Oxyz 解 1:用畫圖的簡單方法 解 2:用分步計算的方法 R( x, 90 ) R( z, 90 ) R( y, 90 ) 1 2 3 1 1 3 2 1 1000 0010 01-00 0001 P 1 2 1 3 1 2 3 1 1000 0100 0001 001-0 P

18、 1 3 1 2 1 2 1 3 1000 0001- 0010 0100 P ( 2-14) ( 2-15) ( 2-16) 上述計算方法非常繁瑣,可以通過一系列計算得到上述 結(jié)果。將式( 2-14)( 2-15)( 2-16)聯(lián)寫為如下形式: 110001 33 w v u z y x P P P R P P P R3x3為二者之間的關(guān)系矩陣,我們令: ),(),(),RR 33 xRzRy( 定義 1: 當(dāng)動坐標(biāo)系 繞固定坐標(biāo)系 各坐標(biāo)軸順序有

19、限次 轉(zhuǎn)動時,其合成旋轉(zhuǎn)矩陣為各基本旋轉(zhuǎn)矩陣依旋轉(zhuǎn)順序 左乘 。 注意: 旋轉(zhuǎn)矩陣間 不可以交換 uvwO Oxyz 平移齊次變換矩陣 1000 100 010 001 c) b (a T r a n sH c b a 注意: 平移矩陣間可以交換, 平移和旋轉(zhuǎn)矩陣間不可以交換 z y x o o w u v a b c 2.2.4 相對變換 舉例說明: 例 1: 動坐標(biāo)系 0起始位置與固定參考坐標(biāo)系 0重合 ,動坐標(biāo)系 0做如下運(yùn)動: R(Z,90) R( y,90) Trans(4, -3, 7), 求合成矩陣 解 1:用畫圖的方

20、法: o z y x 7 4 - 3 o w u v v u w z y x o o(o ) x y z u v w z y x u w o ( o ) v 解 2:用計算的方法 根據(jù)定義 1, 我們有: 1000 7010 3001 4100 )R ( Z ,90 )90 R ( y , 7) ,3- ,T r a n s ( 4T 以上均以固定坐標(biāo)系多軸為變換基準(zhǔn) , 因此矩陣左乘 。 如果我們做如下變換,也可以得到相同的結(jié)果: 例 2: 先平移 Trans (4,-3,7); 繞當(dāng)前 軸轉(zhuǎn)動 90;

21、繞當(dāng)前 軸轉(zhuǎn)動 90;求合成旋轉(zhuǎn)矩陣 。 v w ( 2-20) 解 1:用畫圖的方法 z y x o( o ) v w u z y x o o w u v o z y x o w v u x y z o o w u v 解 2:用計算的方法 1000 7010 3001 4100 )R ( Z ,9 0 )90 R ( y , 7) ,3- ,T r a n s ( 4T oo ( 2-21) 式 ( 2-20) 和式 ( 2-21) 無論在形式上 , 還是在結(jié)果上都是 一致的 。 因此我們有如下的結(jié)論: 動坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的齊

22、次變換有 2種情況: 定義 1: 如果所有的變換都是 相對于固定坐標(biāo)系 中各坐標(biāo)軸旋 轉(zhuǎn)或平移 , 則依次 左乘 , 稱為 絕對變換 。 定義 2: 如果動坐標(biāo)系 相對于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸 旋轉(zhuǎn)或 平移,則齊次變換為依次 右乘 ,稱為 相對變換 。 結(jié)果均為動坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)中的位姿 ( 位置 +姿態(tài) ) 。 相 對于固定坐標(biāo)系 , 軸。軸相當(dāng)于軸,軸相對于軸,軸相當(dāng)于 ZYX wv 也就是說,動坐標(biāo)系繞自身坐標(biāo)軸做齊次變換, 要達(dá)到繞固 定坐標(biāo)系相等的結(jié)果,就應(yīng)該用相反的順序。 右乘的意義: 機(jī)器人用到相對變換的 時候比較多 例如機(jī)械手抓一個杯子, 如右圖所示,手爪

23、需要 轉(zhuǎn)動一個角度才抓的牢, 相對于固定坐標(biāo)系表達(dá) 太麻煩,可以直接根據(jù) 手爪的坐標(biāo)系表示 但也要知道在 O中的位 姿,就用右乘的概念。 x y z o H 2.2.5 繞通過原點(diǎn)的任意軸旋轉(zhuǎn)的齊次變換 有時動坐標(biāo)系 O可能繞過原點(diǎn) O的分量分別為 rx、 ry、 rz的 任意單位矢量 r 轉(zhuǎn)動 角。 研究這種轉(zhuǎn)動的好處是可用 O繞某軸 r 的一次轉(zhuǎn)動代替繞 O各坐標(biāo)軸的數(shù)次轉(zhuǎn)動 為推導(dǎo)此旋轉(zhuǎn)矩陣,可作下述 5步變換: 1. 繞 X 軸轉(zhuǎn) 角, 使 r 軸處于 XZ平面內(nèi) 2. 繞 Y 軸轉(zhuǎn) - 角,使 r 軸與 OZ軸重合 3. 繞 OZ軸

24、轉(zhuǎn)動 角 4. 繞 Y 軸轉(zhuǎn) 角 5. 繞 X 軸轉(zhuǎn) - 角 X Y Z r x r y r z A B C D B O 5 1 2 43 r A 由上圖容易求出: 2 z 2 y y rr rs in 2 z 2 y z rr rc o s x x r r r r OCs in 2 z 2 y 2 z 2 y rr r rr OB CBc o s 由定義 1和定義 2,上述 5次旋轉(zhuǎn)的合成旋轉(zhuǎn)矩陣為: c o ss i n0 s

25、i n-c o s0 001 c o s0s i n 010 s i n-0c o s 100 0c o ss i n 0s i n-c o s c o s0s i n- 010 s i n0c o s c o ss i n0 s i nc o s0 001 RRRRRR ,x,y,z,y,x,r ( 2-25) X Y Z r x r y r z A B C D B O 5 1 2 43 r A 帶入式 ( 2-25),得 c os)c os(1r s i nr)c os(1rr s i nr)c os(1rr s i nr)c o

26、s(1rrs i nr)c os(1rr c os)c os(1rs i nr)c os(1rr s i nr)c os(1rrc os)c os(1r R 2 z xzy yzx xzyyzx 2 yzyx zyx 2 x ,r 由該式可以推出 3個基本旋轉(zhuǎn)矩陣 2.2.6 齊次變換矩陣的幾何意義 設(shè),有一個手爪,即動坐標(biāo)系 O,已知, 初始位置 重合,那么 O在 O中的齊次坐標(biāo)變換為: ,如果手爪轉(zhuǎn)了一個角度, 則: 111 cbao 1000 100 010 001 T 1 1 1 1

27、 c b a 1000 p p p T z yyy xxx zzz y x w w w T反映了 O在 O中的位置和姿態(tài) , 即表示了該坐標(biāo)系原點(diǎn) 和各坐標(biāo)軸單位矢量在固定坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài) 。 該矩陣可以由 4個子矩陣組成 , 寫成如下形式: 比例系數(shù)透視矩陣 位置矢量旋轉(zhuǎn)矩陣 1131 1333 wf PR T zzz yyy xxx w w w 33R 為 姿態(tài)矩陣(旋轉(zhuǎn)矩陣) ,表示動坐標(biāo)系 O在固定參考坐標(biāo)系 O中的姿態(tài),即表示 O各坐標(biāo)軸單位矢量在 O各軸上的投

28、影 為 位置矢量矩陣 ,代表動坐標(biāo)系 O坐標(biāo)原點(diǎn) 在固定參考坐標(biāo)系 O中的位置 Tzyx ppp P 13 為 透視變換矩陣 ,在視覺中進(jìn)行圖像計算,一 般置為 0 00031 f 為 比例系數(shù) 1 11 w 如果需要求解 O在 O中的位置和姿態(tài),此時的齊次變換矩 陣為 ,即求逆矩陣: 1T 1000 - -R - T T T1- 33 T 1 pw pv p )( )( )( kpjpipp zyx kji zyx kvjvivv zyx kwjwiww zyx 其中: 這些式子以后經(jīng)常遇到, 在機(jī)器人計算

29、中,所要 求的就是齊次變換矩陣 2.2.7 透鏡成像的齊次變換 p p : P x 1 P P x 1 1 () 1 pp pp T T yz yz y p zp zp f y p zp zp y p f y p f zp x p y p f zp x p y p y p f y p f y p f y p y p y p f y p y p f f xp xp y 以光心為原點(diǎn)O,光軸與y軸重合,P 為物點(diǎn), 用齊次坐標(biāo)表示 求 的齊次坐標(biāo),即求 根據(jù)三角形相似原理: 注意 是負(fù)值, 是正值,所以實(shí)際上為相減

30、關(guān)系 又有 設(shè) 11 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1 y p zp y p zp p y p zp f f f xp x p x p yp y p y p Tfzp zp zp yp f 用矩陣表示: z y P y p f o z p f p z P p y p p : P x 1 P P x 1 1 () 1 pp pp T T yz yz y p zp zp f y p zp zp y p f y p f zp x p y p f

31、zp x p y p y p f y p f y p f y p y p y p f y p y p f f xp xp y 以光心為原點(diǎn)O,光軸與y軸重合,P 為物點(diǎn), 用齊次坐標(biāo)表示 求 的齊次坐標(biāo),即求 根據(jù)三角形相似原理: 注意 是負(fù)值, 是正值,所以實(shí)際上為相減關(guān)系 又有 設(shè) 11 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1 y p zp y p zp p y p zp f f f xp x p x p yp y p y p Tfzp zp zp yp f

32、 用矩陣表示: 因此,進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動學(xué)計算時,不能省略透視矩陣,有 攝像頭時,透視矩陣為 0 - 0,沒有攝像頭時為 0 0 0 。 f 1 10 1 0 0100 0010 0001 T 1 T 11 p f z y x f y z y x z y x f p p p f p p p p p p 用矩陣表示: 知識點(diǎn): 1. 點(diǎn)和面的齊次坐標(biāo)和齊次變換 2. 三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣 3.

33、 絕對變換:如果所有的變換都是相對于固定坐標(biāo)系中各坐 標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)或平移 , 則依次左乘 , 稱為絕對變換 。 4. 相對變換:如果動坐標(biāo)系相對于自身坐標(biāo)系的當(dāng)前坐標(biāo)軸 旋轉(zhuǎn)或平移 , 則齊次變換為依次右乘 , 稱為相對變換 。 5. 繞任意軸旋轉(zhuǎn): 5步順序 6. 透視變換 知識點(diǎn): 三個基本旋 轉(zhuǎn)矩陣 c o s0s in 010 s in0c o s )y,R ( 100 0c o ss in 0s in-c o s )z,R ( ss in0 s inc o s0 001 )R ( x , co

34、例題 1: O與 O初始重合, O作如下運(yùn)動:繞 Z軸轉(zhuǎn)動 30 ; 繞 X軸轉(zhuǎn)動 60 ;繞 Y軸轉(zhuǎn)動 90 。求 T。 1000 0100 0030c o s30s in 0030s in30c o s R 1 1000 060c os60s in0 060s in60c os0 0001 2 R 1000 090c o s090s in 0010 090s in090c o s 3 R 1000 002/12/3 02/34/34

35、/1 02/14/34/3 123 RRRT 例題 2: O與 O初始重合, O作如下運(yùn)動:繞 X軸轉(zhuǎn)動 90;繞 w軸轉(zhuǎn)動 90;繞 Y軸轉(zhuǎn)動 90。求 T;改變旋轉(zhuǎn)順序,如何 旋轉(zhuǎn)才能獲得相同的結(jié)果。 1000 090c os90s in0 090s in-09c os0 0001 R 1 1000 0100 0090c o s90s in 0090s in90c o s 2 R 1000 090c o s090s in 0010 090s in090c o s

36、 3 R 1000 0010 0100 0001 213 RRRT 解: 解 : 繞 Z( w)軸轉(zhuǎn)動 90; 繞 X軸轉(zhuǎn)動 90; 繞 Y軸轉(zhuǎn)動 90。 例題 3: 矢量 在 O中表示為 , O相對于 O的 奇次變換為: P kjip 2230 1000 1100 20001 10010 T oo 中的矢量在求此時 ,軸平移的沿軸轉(zhuǎn)的繞當(dāng) 中的矢量在求 的位置和姿態(tài)在畫出:求 0 20X0 90Y0 0)3 0 2) 00 1) O

37、00 p pp 解: 1) z x y u w v o o 解: 2) 1 3 23 8 T 00 pp o 解: 3) , , 1000 090c o s090s in 0010 090s in090c o s R 1 1000 0100 0010 20001 T 1r 1000 10010 20001 21100 TRT 1 1 or T 1 8 23 23

38、 1 2 2 3 1000 10010 20001 21101 00 pTp 例題 4: 如圖所示, 1)寫出 、 、 、 ; 2)求 1T 21T 32T 43T 40 T 1000 11-00 301-0 3.5-001 T 1 1000 101-0 3001- 0100 T 21 1000 0001 5 5 3 5 4 -0 0 5 4 5 3 0 T 32 1000 01-00 0010 3.5001- T 43 解: 1) o 0 x 0 y 0 z

39、4 3 3 . 5 1 1 o 1 x 1 y 1 z 2 o 2 x 2 y 2 z 3 o 3 x 3 y 3 z 4 o 4 x 4 y 4 z 解 2) :根據(jù)定義 2, 繞自身旋轉(zhuǎn) , 右乘 1000 50.6-0.8-0 00.8-0.60 0001- T T T TT 433221140 習(xí)題 1: O與 O初始重合, O作如下運(yùn)動:繞 z軸轉(zhuǎn)動 90;繞 v軸轉(zhuǎn)動 90;繞 x軸轉(zhuǎn)動 90。求 T;改變旋轉(zhuǎn)順序,如 何旋轉(zhuǎn)才能獲得相同的結(jié)果。 習(xí)題 2: 已知齊次變換矩陣 要求 R( f,) , 求

40、 f和 值 1000 0001 0100 0010 H 第三章 機(jī)器人運(yùn)動學(xué) 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)主要是把機(jī)器人 相對于固定參考 系 的運(yùn)動作為 時間的函數(shù) 進(jìn)行分析研究,而不 考慮引起這些運(yùn)動的力和力矩 也就是要把機(jī)器人的 空間位移 解析地表示為 時 間的函數(shù) ,特別是研究機(jī)器人 關(guān)節(jié)變量空間和 機(jī)器人末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)之間 的關(guān)系 本章將討論機(jī)器人運(yùn)動學(xué)幾個具有實(shí)際意義的 基本問題。 3.1 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)所討論的問題 3.1.1 研究的對象 機(jī)器人在基本機(jī)構(gòu)形式上分為兩種,一種是關(guān)節(jié)式串 聯(lián)機(jī)器人,另外一種是并聯(lián)機(jī)器人,如圖: PUMA56

41、0 Hexapod Fanuc manipulator 1972 Victor Scheinman在 Unimation公司為通用; 1980Westinghouse收購; 1988Stubli收購; Nokia Robotics在 80年代賣出 1500余臺 PUMA系統(tǒng); Nokia的 Robotics division1990年賣出。 運(yùn)動學(xué)研究的問題 Where is my hand? Direct Kinematics HERE! How do I put my hand here? Inverse Kinematics: Choose these angles! 運(yùn)動學(xué)正

42、問題 運(yùn)動學(xué)逆問題 研究的問題 : 運(yùn)動學(xué)正問題 ---已知桿件幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)角矢量 , 求操 作機(jī)末端執(zhí)行器相對于固定參考作標(biāo)的位置和姿態(tài) ( 齊 次變換問題 ) 。 運(yùn)動學(xué)逆問題 ---已知操作機(jī)桿件的幾何參數(shù) , 給定操作 機(jī)末端執(zhí)行器相對于參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài) ( 位 姿 ) , 操作機(jī)能否使其末端執(zhí)行器達(dá)到這個預(yù)期的位姿 ? 如能達(dá)到 , 那么操作機(jī)有幾種不同形態(tài)可以滿足同樣的 條件 ? 運(yùn)動學(xué)正問題關(guān)節(jié)角 桿件參數(shù) 末端執(zhí)行器 運(yùn)動學(xué)正問題關(guān)節(jié)角 桿件參數(shù) 逆 3.2 機(jī)器人桿件,關(guān)節(jié)和它們的參數(shù) 3.2.1 桿件 , 關(guān)節(jié) 操作機(jī)由一串用轉(zhuǎn)動或平移(棱

43、 柱形)關(guān)節(jié)連接的剛體(桿件) 組成 每一對關(guān)節(jié)桿件構(gòu)成一個 關(guān)節(jié) 自由度 ,因此 N個自由度的操作 機(jī)就有 N對關(guān)節(jié) -桿件。 0號桿件(一般不把它當(dāng)作機(jī)器 人的一部分)固聯(lián)在機(jī)座上,通 常在這里建立一個固定參考坐標(biāo) 系,最后一個桿件與工具相連 關(guān)節(jié)和桿件均由底座向外順序排 列,每個桿件最多和另外兩個桿 件相聯(lián),不構(gòu)成閉環(huán)。 關(guān) 節(jié) 桿 件 末端操作手 機(jī)座 兩自 由度 關(guān)節(jié): 一般說來,兩個桿件間是用 低付 相聯(lián)的 只可能有 6種低付關(guān)節(jié): 旋轉(zhuǎn) (轉(zhuǎn)動)、 棱柱 (移動)、 圓柱形 、 球形 、 螺旋 和 平面 ,其中只有 旋轉(zhuǎn)和棱柱形 關(guān) 節(jié)是串聯(lián)機(jī)器人操作機(jī)常見的,

44、各種低副形狀如下圖所 示: 旋轉(zhuǎn) 棱柱形 柱形 球形 螺旋形 平面 3.2.2 桿件參數(shù)的設(shè)定 條件 關(guān)節(jié)串聯(lián) 每個桿件 最多 與 2個桿件相連 , 如 Ai與 Ai-1和 Ai+1相連 。 第 i 關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)軸 Ai 位于 2個桿 件相連接處 , 如圖所示 , i-1關(guān)節(jié)和 i+1關(guān)節(jié) 也各有一個關(guān)節(jié)軸 Ai-1 和 Ai+1。 Ai Ai+1 Ai-1 桿件參數(shù)的定義 和 li 關(guān)節(jié) Ai軸和 Ai+1軸線 公法線的長度 關(guān)節(jié) i軸線與 i+1軸線 在垂直于 li 平面內(nèi)的夾 角,有方向性 ,由 Ai轉(zhuǎn) 向 Ai+1, 由右手定則決 定正負(fù)

45、 由運(yùn)動學(xué)的觀點(diǎn)來看 , 桿件的作用僅在于它能保 持其兩端關(guān)節(jié)間的 結(jié)構(gòu)形態(tài) 不變 。 這種形態(tài)由兩 個參數(shù)決定 , 一是桿件的長度 li, 一個是桿件的 扭轉(zhuǎn)角 i Ai Ai+1 i il i il i 桿件參數(shù)的定義 和 Li和 Li-1在 Ai軸線上 的交點(diǎn)之間的距離 Li和 Li-1之間的夾 角,由 Li-1轉(zhuǎn)向 Li,由 右手定則決定正負(fù), 對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)它是個 變量 確定桿件 相對位置關(guān)系 , 由另外 2個參數(shù)決定 , 一個是桿 件的偏移量 , 一個是桿件的回轉(zhuǎn)角 iid i id i Ai Ai+1 i il id 1il i Ai-1 id

46、移動關(guān)節(jié)桿件參數(shù)的定義 確定桿件的結(jié)構(gòu)形態(tài)的 2個參數(shù) Li與 i與旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)是一樣的。 確定桿件相對位置關(guān)系的 2個參數(shù)則相反。這里 i為常數(shù), di為變量。 上述 4個參數(shù),就確定了桿件的結(jié)構(gòu)形態(tài)和相鄰桿件相對位 置關(guān)系,在轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)中, Li, i, di是固定值, i是變量。在 移動關(guān)節(jié)中, Li, i, i是固定值, di 是變量。 3.3 機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立 oO o n-1nX 對于每個桿件都可以在關(guān)節(jié)軸處建立一個正規(guī)的笛卡兒 坐標(biāo)系( xi, yi, zi),( i=1, 2, , n ), n是自由度數(shù),再 加上基座坐標(biāo)系,一共有( n+1)個坐標(biāo)系

47、。 基座坐標(biāo)系 定義為 0號坐標(biāo)系( x0, y0, z0) ,它也是機(jī) 器人的慣性坐標(biāo)系, 0號坐標(biāo)系在基座上的位置和方向可 任選,但 軸線必須與關(guān)節(jié) 1的軸線重合,位置和方向可 任選; 最后一個坐標(biāo)系( n關(guān)節(jié)),可以設(shè)在手的任意部位,但 必須保證 與 垂直。 機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立主要是為了描述機(jī)器人各桿件和終 端之間的相對運(yùn)動,對建立運(yùn)動方程和動力學(xué)研究是基礎(chǔ)性 的工作。 為了描述機(jī)器人各桿件和終端之間轉(zhuǎn)動或移動關(guān)系, Denavit 和 Hartenberg于 1955年提出了一種為運(yùn)動鏈中每個桿件建立 附體坐標(biāo)系的矩陣方法 ( D-H方法)

48、 ,建立原則如下: D-H關(guān)節(jié)坐標(biāo)系建立原則 右手坐標(biāo)系 原點(diǎn) Oi:設(shè)在 Li與 Ai+1軸線的交點(diǎn)上 Zi軸 : 與 Ai+1關(guān)節(jié)軸重合,指向任意 Xi軸 : 與公法線 Li重合,指向沿 Li由 Ai軸線指向 Ai+1軸線 Yi軸 : 按右手定則 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立原則 Ai Ai+1 i il id 1il i Ai-1 1iz 1ix 1iy 1io iz ix iy io 原點(diǎn) Oi:設(shè)在 Li與 Ai+1軸線的交點(diǎn)上 Zi軸:與 Ai+1關(guān)節(jié)軸 重合,指向任意 Xi軸:與公法線 Li 重合,指向沿 Li由 Ai軸線指向 Ai+1軸線 Yi軸

49、:按右手定則 桿件長度 Li 沿 xi 軸 , zi-1 軸與 xi 軸交點(diǎn)到 0i 的距離 桿件扭轉(zhuǎn)角 i 繞 xi 軸 , 由 zi-1 轉(zhuǎn)向 zi 桿件偏移量 di 沿 zi-1 軸 , zi-1 軸和 xi 交點(diǎn)至 0i 1 坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離 桿件回轉(zhuǎn)角 i 繞 zi-1 軸 , 由 xi-1轉(zhuǎn)向 xi 兩種特殊情況 兩軸相交,怎么建立坐 標(biāo)系? 0iAi與 Ai+1關(guān)節(jié)軸線的交 點(diǎn); ZiAi+1軸線; XiZi和 Zi-1構(gòu)成的平面的 法線 ; Yi右手定則; i-1 i A i A i + 1 o i z i -

50、 1 z i x i y i 兩軸平行,怎么建立坐標(biāo)系 (Ai與 Ai+1平行 )? 先建立 0i-1 然后建立 0i+1 最后建立 0i i-1O D 注意: 由于 Ai和 Ai+1平行 , 所以公法線任意點(diǎn) 在 A點(diǎn)位置; 按照先前的定義 , di為 Oi-1點(diǎn)和 A點(diǎn)之間的距離 , di+1為 B點(diǎn)和 C點(diǎn)間 的距離 , 這樣設(shè)定可以的 , 但我們可以變更一下 , 將 0i點(diǎn)放在 C點(diǎn) , 定義 Oi在 Li+1和 Ai+1軸的交點(diǎn)上 , 這樣使 di+1=0使計算簡便 , 此時 di= A i - 1 A i A i + 1 A i + 2 l i -

51、 1 o i - 1 x i - 1 y i - 1 z i - 1 A B D C o i ( x i ) ( y i ) z i x i y i o i + 1 x i + 1 y i + 1 z i + 1 d i + 1 l i + 1 d i 相鄰 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系間的齊次變換過程 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)正解 1. 將 xi-1軸繞 zi-1 軸轉(zhuǎn) i 角度,將其與 xi軸平行; 2. 沿 zi-1軸平移距離 di , 使 xi-1 軸與 xi 軸重合; 3. 沿 xi 軸平移距離 Li, 使兩坐標(biāo)系原點(diǎn)及 x軸 重合; 4. 繞 xi 軸轉(zhuǎn) i 角度,兩 坐標(biāo)系完全重合

52、 ),(),(),(),(A 111 iiiir a n siir a n siiii xRlxTdZTZR 根據(jù)上述坐標(biāo)系建立原則,用下列旋轉(zhuǎn)和位移我們 可以建立相鄰的 Oi-1 和 Oi 坐標(biāo)系之間的關(guān)系 Ai Ai+1 i il id 1il i Ai-1 1iz 1ix 1iy 1io iz ix iy io 機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)正解方程 0 0 1 1 12 i iiT A A A D-H變換矩陣 ii A1 1000 100 0010 0001 id 100 0100 00c oss in 0s inc os ii i

53、i 1000 0100 0010 001 il 1000 0c oss in0 0s inc os0 0001 ii ii 1000 c oss i n0 s i nc oss i nc osc oss i n c oss i ns i ns i nc osc os iii iiiiiii iiiiiii d l l = = 機(jī)械手的坐標(biāo)變換圖如圖所示,機(jī)械手的末端(即連桿坐標(biāo)系 i) 相對于基座坐標(biāo)系 0的描述用 oTi 表示,即: 0 z A1 A2 A3

54、A4 A5 A6 0 E X 0T6 1T6 2T6 3T6 4T6 5T6 機(jī)械手的坐標(biāo)變換圖 機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)正解方程 0 0 1 1 12 i iiT A A A 舉例: Stanford機(jī)器人 A1 A2 A3 A4 A5 A6 d1 z1 x1 y 1 O1 d2 z2 x2 y2 O2 z3 y3 x3 O3 y4 z4 x4 O4 z5 y5 x5 O5 345 45 ,, 0 o o o dd 重 合 d3 z6 x6 y6 O6 d6 z0 y0 x0 O0 為右手坐標(biāo)系 原點(diǎn) Oi: Ai與 Ai+1 關(guān)節(jié)軸線的交點(diǎn) Zi軸:與 Ai+1關(guān)節(jié)軸 重

55、合,指向任意 Xi軸: Zi和 Zi-1構(gòu)成 的面的法線 Yi軸:按右手定則 Li 沿 xi 軸 , zi-1 軸與 xi 軸交點(diǎn)到 0i 的距離 i 繞 xi 軸 , 由 zi-1 轉(zhuǎn)向 zi di 沿 zi-1 軸 , zi-1 軸和 xi 交點(diǎn)至 0i 1 坐標(biāo)系原 點(diǎn)的距離 i 繞 zi-1 軸 , 由 xi-1轉(zhuǎn)向 xi 解: 3.4 例題 試求立方體中心在機(jī)座坐標(biāo)系 0中的位置 該手爪從上方把物體抓起,同時手爪的開合方向與物體的 Y軸同向, 那么,求手爪相對于 0的姿態(tài)是什么? 在機(jī)器人工作臺上加裝一電視攝像機(jī),攝像機(jī)可見

56、到固聯(lián) 著 6DOF關(guān)節(jié)機(jī)器人的機(jī)座坐標(biāo)系原點(diǎn),它也可以見到被操作 物體(立方體)的中心,如果在物體中心建一局部坐標(biāo)系,則 攝像機(jī)所見到的這個物體可由齊次變換矩陣 T1來表示,如果攝 像機(jī)所見到的機(jī)座坐標(biāo)系為矩陣 T2表示。 1000 101-00 2001-0 10-001 T 1000 91-00 10001 1010 T 21 x y z 解 1: T T 21 物機(jī)機(jī)攝物攝 求,,已知 TTT TT 11-2 )(有: 物攝攝機(jī)物機(jī) TTT 1000 91-00 10001 1010 1000 101-00

57、2001-0 10001 1000 1100 10001- 11010 O 物 根據(jù) T 1 畫出 O 機(jī) 根據(jù) T 2 畫出 因此物體位于機(jī)座坐標(biāo)系的( 11, 10, 1) T 處,它的 X, Y, Z軸分別與機(jī)座坐標(biāo)系的 -Y, X, Z軸平行。 x y z y 機(jī) z 物 y 物 x 物 z 機(jī) o O 機(jī) O 物 解 2: 向重合手爪開合方向與物體 ya : Ts 001有 方向相反方向物體的從上向下抓,指出手爪 zab : Ta 100 則有 Tkji kji asnc 01000 100

58、 001: 1-00 001 010 因此:姿態(tài)矩陣為 重合時 與物體中心 當(dāng)手爪中心 1000 11-00 10001 11010 T 物 機(jī) O s n a y z x X機(jī) 手爪 機(jī)實(shí)際要求 T pzazsznz pyaysyny pxaxsxnx 1000 工作空間 工作空間 : 末端操作手可以到達(dá)的空間位置集合 如何獲得工作空間 : 利用正運(yùn)動學(xué)模型 ,改變關(guān)節(jié) 變量值 可達(dá)空間 : 末端操作手可以至少以一個姿態(tài)到達(dá)的 空間位置集合 靈活空間 : 末端

59、操作手可以以任何姿態(tài)到達(dá)的空間 位置集合 如何確定可達(dá)空間 ?首先, 令 3變 化 示例 : 平面 3連桿機(jī)器人 l2 l3 l1 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 c os c os c os si n si n si n , x l l l y l l l l l l l l l 然后 2變化 最終, 變化 1 3.5 機(jī)器人末端操作器位姿的其它 描述方法 用矩陣表示剛性體的轉(zhuǎn)動簡化了許多

60、運(yùn)算, 但它需要 9個元素來完全描述旋轉(zhuǎn)剛體的姿 態(tài),因此矩陣并不直接得出一組完備的廣 義坐標(biāo)。 一組廣義坐標(biāo)應(yīng)能描述轉(zhuǎn)動剛體相對于參 考坐標(biāo)的方向,被稱為歐拉角的三個角度, 、 、 就是這種廣義坐標(biāo)。 有幾種不同的歐拉角表示方法,它們均可 描述剛體相對于固定參考系的姿態(tài)。三種 最常見的歐拉角類型列在表中 3種最常見的歐拉角類型 步 1 步 2 步 3 類型 1 繞 OZ軸轉(zhuǎn) 角 繞當(dāng)前 OU 軸轉(zhuǎn) 角 繞當(dāng)前 OW軸轉(zhuǎn) 角 類型 2 繞 OZ軸轉(zhuǎn) 角 繞當(dāng)前 OV 軸轉(zhuǎn) 角 繞當(dāng)前 OW軸轉(zhuǎn) 角 類型 3 繞 OX軸轉(zhuǎn) 角 繞 OY軸轉(zhuǎn) 角 繞 OZ軸轉(zhuǎn)

61、角 u v w x(u) y (v) z (w) o u v w u v W ),( ZR ),( R ),( wR N0 T 100 0 0 0 0 001 100 0 0 cs sc cs sccs sc ccsss sccccssscccs ssccsscscscc 類型 1:表示法通常用于陀螺運(yùn)動 類型 2: 所得的轉(zhuǎn)動矩陣為右乘 100 0 0 c0s- 010 s

62、0c 100 0 0 ),(),v(),(R cs sc cs sc wRRZR 1000 pz pyR px T ccsss ssccscsscccs sccssccssccc 類型 2 繞 OZ軸轉(zhuǎn) 角 繞當(dāng)前 OV 軸轉(zhuǎn) 角 繞當(dāng)前 OW軸轉(zhuǎn) 角 類型 3:一般稱此轉(zhuǎn)動的歐拉角 為偏航角、俯仰和橫滾, (這 種方法也叫做 偏航、俯仰和橫滾 角表示方法)這種形 式主要用 于航空工程中分析飛行器的運(yùn)動, 其旋轉(zhuǎn)矩陣為

63、 ccscs sccssccssscs sscsccsssccc cs sc cs sc cs sc xRyRz 0 0 001 0 010 0 100 0 0 ),(),(),RR ( 類型 3 繞 OX軸轉(zhuǎn) 角 繞 OY軸轉(zhuǎn) 角 繞 OZ軸轉(zhuǎn) 角 正運(yùn)動學(xué)問題 : 已知關(guān)節(jié)角度或位移,計算 末端操作手的對應(yīng)位姿 . 逆運(yùn)動學(xué)問題 : 已知 末端操作手的位姿,求 解對應(yīng)的關(guān)節(jié)變量 . 為 什么逆運(yùn)動學(xué)問題更困難 ? 可能存在多解或無解 通常需多次求解非線性超越方程 3.6 運(yùn)動學(xué)逆問題 解的存在性 目標(biāo) 點(diǎn)應(yīng)位于工作空間內(nèi) 可能存在多解,如何選擇最

64、合適的解? 存在雙解 ! 求解方法 如果各關(guān)節(jié)可用某算法獲得,一個機(jī)械手是 有解的 . 算法應(yīng)包含所有可能解 . 封閉形式解(解析解) 數(shù)值解 方法 我們對封閉形式的解法更感興趣 代數(shù)方法 幾何方法 可解性的重要結(jié)論是: 所有具有轉(zhuǎn)動和移動關(guān)節(jié)的系統(tǒng),在一個單一串聯(lián)中 總共有 6個(或小于 6個)自由度時,是可解的,其通 解一般是數(shù)值解,它不是解析表達(dá)式,而是利用數(shù)值 迭代原理求解,它的計算量要比解析解大。 但在某些特殊情況下,如若干個關(guān)節(jié)軸線相交和或多 個關(guān)節(jié)軸線等于 0 或 90 的情況下,具有 6個自由度 的機(jī)器人可得到解析解。 為使機(jī)器人有解析

65、解,一般設(shè)計時,使工業(yè)機(jī)器人足 夠簡單,盡量滿足這些特殊條件。 對于給定的機(jī)器人 , 能否求得它的運(yùn)動學(xué)逆解的解析式 ( 也叫封閉解 ) 。 運(yùn)動學(xué)逆問題的可解性 運(yùn)動學(xué)逆問題的多解性 機(jī)器人運(yùn)動問題為解三角方程 , 解反三角函數(shù)方程時會 產(chǎn)生多解 .顯然對于真實(shí)的機(jī)器人 , 只有一組解與實(shí)際情 況最相對應(yīng) , 因此必須作出判斷 , 以選擇合適的解 。 通常采用如下方法剔除多余解: 01 40i 0002 2 2 01 8 040 i 若該關(guān)節(jié)運(yùn)動空間為 ,則應(yīng)選 。 100 040i 1 根據(jù)關(guān)節(jié)運(yùn)動空間選取合適的解 。 例如求得機(jī)器 人某

66、關(guān)節(jié)角的兩個解為 2 選擇一個與前一采樣時間最接近的解 , 例如: 01 40i 0002 2 2 01 8 040 i 若該關(guān)節(jié)運(yùn)動空間為 , 且 , 則應(yīng)選 250 01 160i 0220i 3 根據(jù)避障要求 , 選擇合適的解 4 逐級剔除多余解 對于具有 n個關(guān)節(jié)的機(jī)器人 , 其全部解將構(gòu)成樹形結(jié)構(gòu) 。 為簡化起見 , 應(yīng)逐級剔除多余解 。 這樣可以避免在樹形解中 選擇合適的解 。 迭代法 計算量大 幾何法 適用于自由度較少的情況 反變換法 運(yùn)動學(xué)逆問題解法 用未知的逆變換逐次左乘,由乘得的矩陣方程 的元素決定未知數(shù),即用逆變換把一個未知數(shù) 由矩陣方程的右邊移到左邊 考察方程式左、右兩端對應(yīng)元素相等,以產(chǎn)生 一個有效方程式,理論上可得到 12個方程。 然后求這個三角函數(shù)方程式,以求解未知數(shù) 把下一個未知數(shù)移到左邊 重復(fù)上述過程,直到解出所有解 缺點(diǎn):無法由數(shù)種可能的解中直接得出合適的解, 需要通過人為的選擇 運(yùn)動學(xué)逆問題解法 反變換法 Paul 等人提出的方法 (1981年,也叫求逆的方 法,是解析解

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