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1、納什討價還價問題 約翰福布斯納什 在經濟問題中出現(xiàn)了一種新的處理方式。它可以以很多形式出現(xiàn)，例如討價還價，雙邊壟斷等等。它也可以被看作是一種非零和博弈。在這種處理方式中，一般的假設是，在特定的經濟環(huán)境中關于單個的個人的和一個兩個人的群體的行為。從這些假設出發(fā)，我們可以得到這個經典問題的解。這篇文章對博弈論來說也是有價值的。 引言 一個兩人博弈討價還價的解涉及到兩個個人，他們?yōu)榱穗p方共同的利益都有合作的機會，而且合作還不止一種方式。在更簡單的情況下，正如本文所考慮的，在沒有另一個人同意情況下，一個人不能采取任

2、何行動來影響另一個人的福利。 賣方壟斷與買方壟斷的經濟情況，兩國之間的國際貿易，還有雇主和勞動聯(lián)盟之間的談判都可以被看成是討價還價問題。本文的目的是為這些問題提供一個理論上的探討，并且獲得一個確定的“解”——當然，為此我們做了一些理想化的的假設。這里的“解”的意思是：每一個個人期望從這種情況中獲得的滿意的數(shù)量的決定?；蛘?，甚至是，對于每一個個人來說，擁有討價還價的機會應該價值多少的決定。 這就是經典的交換問題，更確切地說，古諾等人所說的雙邊壟斷。馮諾依曼和摩根斯坦在《博弈論和經濟行為》一書中介紹了另一種方法。書中用兩人非零和博弈來證明這種經典交換情形。 總的來說，通過設定一些假設，我們將

3、討價還價問題理想化了。這些假設包括：兩個個體都是高度理性的；每一個人都能精確地將他自己的意愿和不同的東西相比較；他們在討價還價的能力上是相等的；并且每一個人都完全了解對方品位和偏好。 為了給出討價還價情形的理論解釋，我們提取出這種情形來建立一個明確的數(shù)學模型。 在尋找討價還價解的過程中，我們采用基數(shù)效用來表示討價還價中個人的偏好或者品位。通過這個方法，我們將個人的意愿加入到數(shù)學模型中，以此來最大化他在討價還價中的收益。我們將簡略地回顧一下這篇論文中所用的專業(yè)術語的理論。 個人的效用理論 預期這個概念在這個理論中是很重要的。我們將會部分地解釋一下這個概念。假設斯密思先生知道他明天

4、將會獲得一輛新的別克汽車。我們就說他有一個別克汽車的預期。同樣地，他也可能有凱德拉克汽車的預期。假如他知道明天用擲硬幣的方式來決定他到底是擁有別克汽車還是凱迪拉克汽車，我們就說，他有二分之一的別克汽車和二分之一的凱迪拉克汽車的預期。因此，個人的預期是一種期待的狀態(tài)。這種期待也許涉及到一些可能事件的必然性，或者是其他可能事件的不同概率。另一個例子，斯密思先生可能知道他明天將會得到一輛別克汽車并且認為他也有二分之一的概率獲得一輛凱迪拉克汽車。上文提到的二分之一的別克汽車和二分之一的凱迪拉克汽車的預期闡釋了下面預期的重要性質：假如0≤p≤1，A和B代表兩個不同的預期，這就會有一個預期pA+（1-p）

5、B。它是由概率為A和概率為B的兩個預期的概率組合而成。 通過做出如下假設，我們能夠建立個人的效用理論： 1. 一個提供兩種可能的預期的個人能夠決定哪一個是更好的，或者至少它們是一樣好的； 2. 因此而產生的順序是可傳遞的。假如A比B更好，B比C更好，則A比C更好； 3. 任何相同意愿的狀態(tài)的概率的組合，彼此之間是令人滿意的； 4. 假如A,B,C符合假設2，那么，存在一個A,C的概率組合使得它和C一樣好。這意味著假設的連續(xù)性； 5. 假如0≤p≤1，A,B一樣好，那么pA+（1-p）C和pB+（1-p）C一樣好。假如A,B一樣好，那么當B滿足任何的意愿順序關系時，A可以替代B。

6、這些假設條件足夠說明存在符合要求的效用函數(shù)。將每一個個人的預期都賦予一個實數(shù)。這個效用函數(shù)并不是唯一的，這是因為，假如u是這樣一個效用函數(shù)，那么au+b也會是一個效用函數(shù)（a>0）。令大寫字母代表預期，小寫字母代表實數(shù)。這樣的效用函數(shù)將會滿足一下性質： 1. u（A）> u（B）等價于A比B更好，等等； 2. 假如0≤p≤1，那么u [pA+（1-p）B]=p u（A）+（1-p）u（B）。 這就是效用函數(shù)重要的線性性質。 兩人理論 在《博弈論和經濟行為》一書中，作者提出了n個人博弈的理論。它將兩人討價還價問題作為其特殊的情形。但是，那里所發(fā)展的理論沒有試圖找出給定的n個人博

7、弈的價值，也就是，對于每一個參與人來說，決定有機會參與到博弈中來有什么價值。這種決定只有在兩人零和博弈情況下才能達到。 我們的觀點是：這些n個人博弈應該是有價值的。那就是，應該有一組數(shù)字，它連續(xù)地取決于一組數(shù)量，而這組數(shù)量由博弈的數(shù)學描述構成。并且，這組數(shù)字表示每一個有機會參與到博弈中的個人的效用。 我們將一個兩人預期定義為兩個一人預期的組合。這樣，我們就有兩個個人，每一個個人都有一個關于他自己未來環(huán)境的確定的預期。我們把一人效用函數(shù)看成是可應用到兩人預期的。假如一人預期（兩人預期的一個組成部分）被應用到相應的兩人預期中，那么每一個一人預期都給出了它將要給出的預期。兩個兩人預期的概率組合的

8、定義為給它們的成分制定相應的組合。因此，假如[A，B]是一個兩人預期，并且0≤p≤1，則有 p[A，B]+（1-p）[C，D] 將被定義為 [pA+（1-p）C，pB+（1-p）D] 顯然，一人效用函數(shù)和一人情況一樣擁有相同的線性特征。從這一點來看，當使用“預期”這一名詞時，它表示的意思是兩人預期。 在一個討價還價情形中，一個預期是很容易辨別的。這是一種在討價還價者之間的非合作的預期。因此，對兩個個體使用效用函數(shù)很自然的。這兩個個體賦予預期的數(shù)字為0.這依然使得每一個個體的效用函數(shù)由只和正的實數(shù)相乘來決定。從此以后，任何效用函數(shù)的使用都一定

9、要被理解成這樣被選擇。 我們制作一個圖標來表示面對如下兩種情形：給它們選擇效用函數(shù)以及在平面圖形上構建所有可用的預期的效用。 介紹關于獲得的點集的性質的假設是有必要的。我們希望假設從數(shù)學的意義上來說，這個點集是緊的凸的。它也應該是凸的，因為通過描繪成兩點的兩個預期的適當?shù)母怕式M合，在點集中的兩點構成的線段上，總是能夠找到描繪成任意點的預期。緊的條件暗示了一件事：點集一定是有界的。這就是說，它們能夠被包圍在一個足夠大的平面空間。緊還暗示著任何連續(xù)的效用函數(shù)在集合中的某些點具有最大值。 我們應該把與具有相同效用的任何效用函數(shù)相對應的兩個個體的預期看成是等價的。因此，這個圖形變成了這種情形的重

10、要特征的完全描述。當然，圖形僅僅由比例的改變所決定，因為效用函數(shù)并沒有完全決定。 現(xiàn)在，因為我們的解應該包含兩個討價還價者獲得的理性預期，所以這些預期應該在這兩個人之間適當?shù)钠跫s是可實現(xiàn)的。因此，應該存在一個可利用的預期，這個預期給每個人他所期望獲得的滿足的數(shù)量。有理由假設：兩個人是理性的將會很容易符合那種預期，或者是一個等價的預期。因此，我們把圖形中的集合的某一點看做是代表“解”。并且它也代表所有的作為公平討價還價的兩個人會同意預期。通過給定在這個解點和集合之間應該成立的條件，以及從這些演繹出一個簡單的決定解點的條件，我們擴展了這個理論。我們應該只考慮那些存在一個雙方都能從這種情形中獲利的

11、例子。（這并沒有排除那些最后只有一個人獲益的例子，因為“公平的交易”可能包含一個契約用以使用某種概率的方法來決定最后誰獲得收益。任何可利用的預期的概率的組合都是可以利用的預期） 令u1和u2表示兩個人的效用函數(shù)。令c（S）表示集合S的解點。S是緊的凸的，還包括原點。我們假設： 6. 假如是S中的點，在S中存在另一點，若u1（）> u1（），u2（）> u2（），則≠c（S）。 7. 假如集合T包含集合S，并且c（T）在集合S中，那么c（T）= c（S）。 我們說一個集合S是對稱的假如存在效用算符u1和u2以致于當（a，b）包含于集合S 時，（b，a）也包含于集合S。這就是說，圖形關于

12、直線u1=u2對稱。 8. 假如S是對稱的，并且u1和u2顯示出這樣的性質，那么c（S）是一個形式為（a，a）的點。這就是，在直線u1=u2上的一點。 上文第一個假設表達的意思是：每一個個人希望在最終的交易中最大化他自己的效用。第三個假設表達討價還價技巧的質量。第二個假設有點復雜。以下的描述或許有利于揭示這條假設的性質：假如兩個理性的個人同意c（T）是一個公平的交易，假如T是可能的交易的集合，那么他們應該愿意簽訂一個限制更少的契約，并且如果S包含c（T），沒有試圖到達任何集合S以外的點的交易。假如S包含于T，這將會減少有S的概率集合的情形。因此c（T）= c（S）。 現(xiàn)在，我們展示這些條

13、件要求解在點集的u1和u2 取最小值的第一象限。我們知道一些這樣的點存在于緊空間。凸性使它獨特。 現(xiàn)在讓我們選擇效用函數(shù)，這樣以上提到的點就轉換成點（1，1）。因為這涉及到效用乘以常數(shù)，點（1，1）現(xiàn)在將是u1，u2最佳的點。集合中沒有哪一點使得u1+u2>2，現(xiàn)在，因為假如集合中存在一點使得u1+u2>2，這一點位于點（1，1）和該點的線段上。那么存在一個u1，u2 的值大于1（見表1）。 我們在區(qū)域u1+u2≤2建立一個空間：它關于直線u1=u2對稱；有一邊位于直線u1+u2=2；完全包含選擇集。把這個空間當做是選擇集而他不是原先的那個集合，很清晰的是點（1，1）是唯一滿足假設（8）的

14、點?，F(xiàn)在使用假設（7），我們可以總結道當我們原始的集合是選擇集時，點（1，1）也是解點。這證明了這個斷言。 我們現(xiàn)在給出以下這個理論的應用的例子。 假設兩個聰明人比爾和杰克，他們以物作為交換卻沒有錢來促進交換。進一步講，讓我們假設每一個人涉及到的物品總數(shù)目的某一部分的效用是他那一部分物品的效用的總和。如下的表格表示每一個個人所擁有的物品的效用。當然，每個個人的效用函數(shù)都是任意的。 Billgoods Utility to Bill Utility to Jack book 2 4 whip 2 2 ball 2 1 bat 2 2 box

15、 4 1 Jackgoods 　 　 pen 10 1 toy 4 1 knife 6 2 hat 2 2 討價還價情形的圖表包含在圖2的詳細解釋之中。它的結果是一個凸的多邊形，獲得產品效用最大的點是頂點且在多邊形內，并且只有一個相應的預期。那就是： Bill給Jack:書、奶油甜點、球、球拍； Jack給Bill筆、玩具、小刀。 當交易者有一個共同的交換媒介時，問題將會變得非常的簡單。在很多情況下，與貨幣相等的某一物品可以用作滿意的大概的效用函數(shù)（貨幣相等的意思是與我們所關心的個人的物品一樣好的貨幣的數(shù)量）。當貨幣的某一數(shù)量的效用大概等于一個線性數(shù)量函數(shù)（在這種情形考慮的數(shù)量范圍之內）時，這是會發(fā)生的。當我們將共同的交換媒介使用到每一個人的效用函數(shù)上時，圖中點集是圖中那一部分在第一象限形成了一個等腰直角三角形。因此，解是每一個人都獲得相同的貨幣收益（見圖3）。 普林斯頓大學