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1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué)題庫 第一章 函數(shù)與極限 1． 設(shè) ，求 ，并作出函數(shù) 的圖形。 2． 設(shè) ， ，求 ，并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形。 3． 設(shè) ，求 。 4． 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性： （1） （2） 5．下列函數(shù)中哪些是是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期： （1） （2） 6．設(shè) 。試求下列復(fù)合函數(shù)，并指出x的取值范圍。 7．已知對一切實(shí)數(shù)x均有 ，且f(x)為單調(diào)增函數(shù)，試證： 8．計(jì)算下列極限： （1） （2） （3） 9．（1）設(shè) ，求常數(shù)a，b。 （2）已知 ，求a，b。 10．計(jì)算下列極限： （1） （

2、2） （x為不等于零的常數(shù)） （3） （4） （5） （k為正整數(shù)） 11．計(jì)算下列極限： （1） （2） （3） （4） （k為常數(shù)） （5） （6） （7） （8） （a>0，b>0，c>0） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） 12．當(dāng) 時(shí)，無窮小1-x和（1） （2） 是否同階？是否等價(jià)？ 13．證明：當(dāng) 時(shí)，有（1） （2） 14．利用等價(jià)無窮小的

3、性質(zhì)求下列極限： （1） （n，m為正整數(shù)） （2） 15．試確定常數(shù)a，使下列各函數(shù)的極限 存在： （1） （2） 16．討論下列函數(shù)的連續(xù)性： （1） 的連續(xù)性 （2） 在x=0處的連續(xù)性 17．設(shè)函數(shù) 在[0，2a]上連續(xù)， ,試證方程 在[0，a]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根。 18．設(shè)函數(shù) 在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)， ，試證：在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使得 （其中 ）。 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 1．討論下列函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性： （1） （2） 2．設(shè) 存在，求 3．設(shè) ，問a，b為何值時(shí)， 在x=0處可導(dǎo)？ 4．已知 ，求 及 ，

4、并問： 是否存在？ 5．證明：雙曲線 上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于 。 6．問當(dāng)系數(shù)a為何值時(shí)，拋物線 與曲線 相切？ 7．求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （a>0） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） 8．求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程和法線方程。 9．用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）

5、（2） （3） （4） （5） 10．求下列隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) ： （1） （2） ，求 （3） （4） （5） 11．求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)： （1） （2） （3） 12．已知函數(shù) ，求 。 13．若 存在，求下列函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù) ： （1） （2） 14．求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)： （1） （2） 15．求下列函數(shù)的微分： （1） （2） （3） 16．計(jì)算下列各式的近似值： （1） （2） 17．求極限： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （

6、7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） 18．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： （1） （2） （3） （a>0） （4） 19．求下列函數(shù)的極值： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 20．求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間： （1） （2） （3） 21．描繪下列函數(shù)的圖形： （1） （2） （3） （4） 22．要造一圓柱形油罐，體積為V，問底半徑r和高h(yuǎn)等于多少時(shí)，才能使表面積最??？這時(shí)直徑與高的比是多少？ 23．一火車的鍋爐每小時(shí)的耗煤費(fèi)用與速度的立方成正比。

7、已知當(dāng)速度為每小時(shí)20公里時(shí)，每小時(shí)耗費(fèi)的煤價(jià)為40元。至于其他費(fèi)用每小時(shí)需200元。問當(dāng)火車行駛的速度為多少時(shí)才能使火車從甲地到乙地的總費(fèi)用最??？ 第三章 不定積分 1．求下列不定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2．設(shè)有一曲線 ，在其上任一點(diǎn) 處的切線斜率為 ，并知此曲線通過點(diǎn)（3，2），求曲線的方程。 3．設(shè)有一通過原點(diǎn)的曲線 ，在其上任一點(diǎn) 處切線斜率為 ，其中a為常數(shù)，且知其拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，求曲線的方程。 4．求下列不定積分： （1） （2） （ 為常數(shù)） （3） （4） （5） （6） （7）

8、（8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） 5．求下列各不定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 6．證明下列各式： （1） （2） （3） （4） 7．求下列各不定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 與 8．求下列各有理函數(shù)的積分： （1） （2）

9、 （3） （4） （5） （6） （7） （8） 9．設(shè) 是連續(xù)函數(shù)，求 。 10．如果 的一個(gè)原函數(shù)是 ，證明： 。 11．求 12．試確定常數(shù)A，B，使下式成立： 第四章 定積分及其應(yīng)用 1．比較下列各對積分的大?。? （1） （2） （3） （4） （5） 2．證明不等式： 3．設(shè) （x>0），求 4．（1）設(shè) ，求 （2）設(shè) ，其中 連續(xù)，求 5．設(shè) ，求 6．設(shè) ，求 7．計(jì)算下列極限： （1） （2） （3） 8．利用牛頓——萊布尼茨公式計(jì)算下列各積分： （1） （2）

10、（3） （4） （5） （6） （7） （8） 9．計(jì)算下列各積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 10．計(jì)算下列定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 11．利用分部積分法計(jì)算下列定積分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 12．利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列積分： （1） （2） （3） 13．下列各廣義積分如果收斂，求其值： （1） （2） （3） （4） （a>0

11、） （5） （6） 14．求面積： （1）求曲線 與直線 所圍成的平面圖形的面積。 （2）求由拋物線 與直線 所圍成的平面圖形的面積。 （3）求由曲線 與直線 所圍成的平面圖形的面積。 （4）求三次曲線 與直線 所圍成的平面圖形的面積。 （5）求拋物線 與直線 之間的面積。 15．已知塔高為80米，離它的頂點(diǎn)x米處的水平截面是邊長為 米的正方形，求塔的體積。 16．一立體的底面為一半徑為5的圓，已知垂直于底面的一條固定直徑的截面都是等邊三角形，求立體的體積。 17．一立體的底面為由雙曲線 與直線 所圍成的平面圖形。如果垂直于x軸的立體截面分別是： （1）正方形；（2

12、）等邊三角形；（3）高為3的等腰三角形； 求各種情況的立體體積。 18．直徑為20cm，高為80cm的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為10 的蒸汽。設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？ 第五章 微分方程 1．下列等式中哪些是微分方程？ （1） （2） （3） （4） （5） 2．說出下列微分方程的階數(shù)： （1） （2） （3） （4） 3．求下列微分方程的通解： （1） （2） （3） 4．求下列微分方程滿足所給初值條件的特解： （1） （2） 5．用分離變量法求下列各微分方程的通解： （1） （2） （3）

13、 （4） 6．求下列齊次微分方程的通解： （1） （2） （3） 7．求滿足下列微分方程和初始條件的特解： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 8．求解下列微分方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） 9．質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)受外力的作用作直線運(yùn)動(dòng)，該力和時(shí)間成正比，和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比。在t=10s時(shí)，速度為45 ，力為4N。

14、問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過20s后的速度為多少？ 10．一桶內(nèi)有100 的水，現(xiàn)以濃度為2 的鹽溶液用3 的速率注入桶內(nèi)，同時(shí)，被攪拌均勻的混合溶液以同樣的速率流出。 （1）求任一時(shí)刻t桶內(nèi)鹽的含量m； （2）何時(shí)桶內(nèi)存鹽100kg? 11．設(shè)汽車A從原點(diǎn)出發(fā)，以固定速度 沿y軸正向行駛，汽車B從 以固定速度 出發(fā)（ ），其速度方向永遠(yuǎn)指向汽車A，求汽車B的運(yùn)動(dòng)軌跡。 12．在某粘性液體中，一單位質(zhì)點(diǎn)P受一力作用沿直線運(yùn)動(dòng)，該力與P點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離成正比（比例系數(shù)為10），粘性液體的阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比（比例系數(shù)為3），求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P靜止，距原點(diǎn)kcm）。 第六章 概

15、率論初步 1．寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件中的樣本點(diǎn)： （1）一個(gè)口袋中有5只外形完全相同的球，編號分別為1，2，，，3，4，5，從中同時(shí)取3只球，球的最小號碼為1。 （2）在1，2，3，4四個(gè)數(shù)中可重復(fù)地取兩個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍。 （3）將a,b兩個(gè)球隨機(jī)地放到三個(gè)盒子中去，第一個(gè)盒子中至少有一個(gè)球。 （4）10件產(chǎn)品中有一件廢品，從中任取兩件得一件廢品。 （5）兩個(gè)口袋各裝一個(gè)白球與一個(gè)黑球，從一袋中任取一球記下其顏色放入第二袋，攪勻后再從第二袋中任取一球，兩次取出的球有相同的顏色。 （6）重復(fù)擲硬幣，擲了偶次后才第一次得到正面。 2．在數(shù)學(xué)系學(xué)生中任選一名

16、學(xué)生，令事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示該生是三年級學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員。 （1）敘述事件 的意義。 （2）在什么條件下ABC=C成立？ （3）什么時(shí)候關(guān)系式 成立？ （4）什么時(shí)候 成立？ 3．將下列事件用A，B，C表示出來： （1）A發(fā)生 （2）只有A發(fā)生 （3）A與B都發(fā)生而C不發(fā)生 （4）三個(gè)事件都發(fā)生 （5）三個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生 （6）三個(gè)事件中至少有兩個(gè)發(fā)生 （7）三個(gè)事件中恰好發(fā)生一個(gè) （8）三個(gè)事件中恰好發(fā)生兩個(gè) （9）三個(gè)事件都不發(fā)生 （10）三個(gè)事件中不多于二個(gè)事件發(fā)生 （11）三個(gè)事件中不多于一個(gè)事件發(fā)生 4．證明下列各式

17、： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 5．證明下列各式： （1） （2） （3） （4） 6．一部五卷文集任意地排列到書架上，問卷號自左向右或自右向左恰好為12345的順序的概率等于多少？ 7．把一個(gè)表面涂有顏色的立方體等分為一千個(gè)小立方體，從這些小立方體中任取一個(gè)，求所取小立方體有k面（k=0,1,2,3）涂有顏色的概率 。 8．甲從2，4，6，8，10中任取一數(shù)，乙從1，3，5，7，9中任取一數(shù)。求甲取的數(shù)大于乙取的數(shù)的概率。 9．在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求他們正好可以互相吃掉的概率。 10．

18、一批燈泡有40只，其中3只是壞的，從中任取5只檢查。問： （1）5只都是好的概率為多少？ （2）5只中有2只壞的概率為多少？ 11．一幢10層樓中的一架電梯在底層走上7為乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，設(shè)沒位乘客在每層離開都是等能的，求沒有2為乘客在同一層離開的概率。 12．一個(gè)班級有2n個(gè)男生及2n個(gè)女生，把全班學(xué)生任意的分成人數(shù)相等的兩組，求每組中男女生人數(shù)相等的概率。 13．公共汽車每隔五分鐘有一輛汽車到站，乘客到汽車站的時(shí)刻是任意的。求一個(gè)乘客候車時(shí)間不超過三分鐘的概率。 14．平面上有兩組互相垂直的平行線把平面劃分為邊長為a的正方形。向平面任意地透一半徑為

19、r（2r

20、（1） （2） （3） 20．在某城市中共發(fā)行三種報(bào)紙：甲，乙，丙。在這城市的居民中訂甲報(bào)的有45%，訂乙報(bào)的有35%，訂丙報(bào)的有30%，同時(shí)訂甲，乙兩報(bào)的有10%，同時(shí)訂乙，丙兩報(bào)的有5%，同時(shí)訂三種報(bào)的有3%，求下列百分比： （1）只訂甲報(bào)的； （2）只訂甲，乙兩報(bào)的； （3）只訂一種報(bào)紙的； （4）正好訂兩種報(bào)紙的； （5）至少訂一種報(bào)紙的； （6）不訂任何報(bào)紙的。 21．已知一個(gè)家庭有三個(gè)小孩，且其中一個(gè)是女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率。（假設(shè)一個(gè)小孩為男或女是等可能的） 22．設(shè)M件產(chǎn)品中有m件廢品，從中任取兩件。 （1）在所取產(chǎn)品中有一件是廢品的條件下，

21、求另一件也是廢品的概率； （2）在所取產(chǎn)品中有一件是正品的條件下，求另一件是廢品的概率。 23．乒乓球盒中有15只球，其中9只是沒有用過的新球。第一次比賽時(shí)任取3只使用，用畢返回。第二次比賽時(shí)也任取3只球，求次3只球全是沒有用過的概率。 24．某射手射靶五次，各次命中的概率為0.6，求下列各事件的概率： （1）前三次中靶，后兩次脫靶； （2）第一，三，五次中靶，第二，四次脫靶； （3）五次中恰有三次中靶。 25．一架轟炸機(jī)襲擊1號目標(biāo)，另一架轟炸機(jī)襲擊2號目標(biāo)，擊中1號目標(biāo)的概率為0.8，擊中2號目標(biāo)的概率為0.5，求至少擊中一個(gè)目標(biāo)的概率。 26．一口袋中裝有m個(gè)白球，n-m

22、個(gè)黑球，連續(xù)不返回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，設(shè)此時(shí)取出了 個(gè)白球，求 的分布列。 27．每年襲擊某地的臺風(fēng)次數(shù)近似服從 的普哇松分布，求 （1）該地一年中受臺風(fēng)襲擊次數(shù)<6的概率 （2）一年中該地受到臺風(fēng)襲擊的次數(shù)為7~9次的概率。 28．一個(gè)射手射擊了n次，每次射中的概率為p，設(shè)第n次射擊是射中的，且為第 次射中，求 的分布列。 29．設(shè)隨機(jī)變量 與 的分布列為 已知 ，求 。 30．已知隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為 （1）求相應(yīng)的分布函數(shù)F（x） （2）求 31．設(shè)隨機(jī)變量 具有分布： 求 。 32．設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件廢品，從中抽取150件進(jìn)行檢查，求查得廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 33．在貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為p，試驗(yàn)進(jìn)行到成功與失敗均出現(xiàn)為止，求平均試驗(yàn)次數(shù)。 34．從一個(gè)裝有m個(gè)白球，n個(gè)黑球的袋中不返回的摸球，直到摸到白球?yàn)橹?，求已取出黑球?shù)的數(shù)學(xué)期望。 35．設(shè)隨機(jī)變量 具有密度函數(shù)： ，求E ，D 。 36．甲乙兩人進(jìn)行比賽，每局中甲勝的概率為p，乙勝的概率為1-p。比賽進(jìn)行到有一人連勝兩局為止。以 表示比賽的局?jǐn)?shù)，求E ，D 。