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2016全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)高考真題及答案

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1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷Ⅰ) 理科數(shù)學(xué) 一. 選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)集合,,則 (A) (B) (C) (D) 2.設(shè),其中是實(shí)數(shù),則 (A) (B) (C) (D) 3.已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27,,則 (A)100 (B)99 (C)98 (D)97 4.某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是 (A) (B

2、) (C) (D) 5.已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是 (A) (B) (C) (D) 6.如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是 (A) (B) (C) (D) 7.函數(shù)在的圖像大致為 (A) (B) (C) (D) 8.若,則 (A) (B) (C) (D) 9.執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的,則輸出x,y的值滿足 (A) (B) (C) (D) 10.以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于

3、A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 是 否 11.平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1, 平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為 (A) (B) (C) (D) 12.已知函數(shù) 為的零點(diǎn),為圖像的對(duì)稱軸,且在單調(diào),則的最大值為 (A)11(B)9(C)7(D)5 二、填空題:本大題共3小題,每小題5分 13.設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+

4、|b|2,則m= . 14.的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是 .(用數(shù)字填寫答案) 15.設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2 …an的最大值為 . 16.某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為

5、 元. 三.解答題:解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. 17.(本小題滿分為12分) 的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知 (I)求C; (II)若,的面積為,求的周長(zhǎng). 18.(本小題滿分為12分)如圖,在以A,B,C,D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是. (I)證明:平面ABEF平面EFDC; (II)求二面角E-BC-A的余弦值. 19.(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種

6、零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖: 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù). (I)求的分布列; (II)若要求,確定的最小值; (III)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)? 20.(本小題滿分12分)設(shè)圓的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l

7、交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (I)證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程; (II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). (I)求a的取值范圍; (II)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明:. 請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分. 22.(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講 如圖,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120.以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓. (I)證明:直線AB與⊙O相切

8、; (II)點(diǎn)C,D在⊙O上,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,證明:AB∥CD. 23.(本小題滿分10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0). 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=. (I)說(shuō)明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程; (II)直線C3的極坐標(biāo)方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a. 24.(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講 已知函數(shù). (I)畫出的圖像; (II)求不等式的解集. 20

9、16年高考全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)參考答案 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C B A A D C C B A B 1.,. 故. 故選D. 2.由可知:,故,解得:. 所以,. 故選B. 3.由等差數(shù)列性質(zhì)可知:,故, 而,因此公差 ∴. 故選C. 4.如圖所示,畫出時(shí)間軸: 小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段中,而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段或時(shí),才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘 根據(jù)幾何概型,所求概率. 故選B. 5.表示雙曲線,則 ∴ 由雙曲線性質(zhì)知:,其中是半焦距

10、 ∴焦距,解得 ∴ 故選A. 6.原立體圖如圖所示: 是一個(gè)球被切掉左上角的后的三視圖 表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和 故選A. 7.,排除A ,排除B 時(shí),,當(dāng)時(shí), 因此在單調(diào)遞減,排除C 故選D. 8.對(duì)A:由于,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,因此,A錯(cuò)誤 對(duì)B:由于,∴函數(shù)在上單調(diào)遞減, ∴,B錯(cuò)誤 對(duì)C:要比較和,只需比較和,只需比較和,只需和 構(gòu)造函數(shù),則,在上單調(diào)遞增,因此 又由得,∴,C正確 對(duì)D: 要比較和,只需比較和 而函數(shù)在上單調(diào)遞增,故 又由得,∴,D錯(cuò)誤 故選C. 9.如下表: 循環(huán)節(jié)運(yùn)行次數(shù) 判斷 是否

11、輸出 運(yùn)行前 0 1 / / 1 第一次 否 否 第二次 否 否 第三次 是 是 輸出,,滿足 故選C. 10. 以開(kāi)口向右的拋物線為例來(lái)解答,其他開(kāi)口同理 設(shè)拋物線為,設(shè)圓的方程為, 題目條件翻譯如圖: 設(shè),, 點(diǎn)在拋物線上,∴……① 點(diǎn)在圓上,∴……② 點(diǎn)在圓上,∴……③ 聯(lián)立①②③解得:,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為. 故選B. 11. 如圖所示: ∵,∴若設(shè)平面平面,則 又∵平面∥平面,結(jié)合平面平面 ∴,故 同理可得: 故、的所成角的大小與、所成角的大小相等,即的大?。? 而(均為面對(duì)交線),

12、因此,即. 故選A. 12. 由題意知: 則,其中 在單調(diào), 接下來(lái)用排除法 若,此時(shí),在遞增,在遞減,不滿足在單調(diào) 若,此時(shí),滿足在單調(diào)遞減 故選B. 13.-2 14.10 15.64 16. 216000 13. 由已知得: ∴,解得. 14. 設(shè)展開(kāi)式的第項(xiàng)為, ∴. 當(dāng)時(shí),,即 故答案為10. 15.由于是等比數(shù)列,設(shè),其中是首項(xiàng),是公比. ∴,解得:. 故,∴ 當(dāng)或時(shí),取到最小值,此時(shí)取到最大值. 所以的最大值為64. 16. 設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品件,B產(chǎn)品件,根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件,構(gòu)

13、造線性規(guī)則約束為 目標(biāo)函數(shù) 作出可行域?yàn)閳D中的四邊形,包括邊界,頂點(diǎn)為 在處取得最大值, 17.解: ⑴ 由正弦定理得: ∵, ∴ ∴, ∵ ∴ ⑵ 由余弦定理得: ∴ ∴ ∴周長(zhǎng)為 18.解:(1) ∵為正方形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴面 面 ∴平面平面 ⑵ 由⑴知 ∵ 平面 平面 ∴平面 平面 ∵面面 ∴ ∴ ∴四邊形為等腰梯形 以為原點(diǎn),如圖建立坐標(biāo)系,設(shè) ,, 設(shè)面法向量為. ,即 設(shè)面法向量為 .即

14、 設(shè)二面角的大小為. 二面角的余弦值為 19解: ⑴ 每臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11 記事件為第一臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件 記事件為第二臺(tái)機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件 由題知, 設(shè)2臺(tái)機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為,則的可能的取值為16,17,18,19,20,21,22 16 17 18 19 20 21 22 ⑵ 要令,, 則的最小值為19 ⑶ 購(gòu)買零件所需費(fèi)用含兩部分,一部分為購(gòu)買機(jī)器時(shí)購(gòu)買零件的費(fèi)用,另一部分為備件不足時(shí)額外購(gòu)買的費(fèi)用 當(dāng)時(shí),費(fèi)用的期望為 當(dāng)時(shí)

15、,費(fèi)用的期望為 所以應(yīng)選用 20. (1)圓A整理為,A坐標(biāo),如圖, ,則,由, 則 所以E的軌跡為一個(gè)橢圓,方程為,(); ⑵ ;設(shè), 因?yàn)?,設(shè),聯(lián)立 得; 則; 圓心到距離, 所以, 21. (Ⅰ). (i)設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn). (ii)設(shè),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. 又,,取滿足且,則 , 故存在兩個(gè)零點(diǎn). (iii)設(shè),由得或. 若,則,故當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn). 若,則,故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn). 綜上,的取值范圍為. 不

16、妨設(shè),由(Ⅰ)知,,,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即. 由于,而,所以 . 設(shè),則. 所以當(dāng)時(shí),,而,故當(dāng)時(shí),. 從而,故. 22.⑴ 設(shè)圓的半徑為,作于 ∵ ∴ ∴與相切 ⑵ 方法一: 假設(shè)與不平行 與交于 ∵四點(diǎn)共圓 ∴ ∵ ∴由①②可知矛盾 ∴ 方法二: 因?yàn)?,因?yàn)樗詾榈闹写咕€上,同理所以的中垂線,所以. 23.⑴ (均為參數(shù)) ∴ ① ∴為以為圓心,為半徑的圓.方程為 ∵ ∴ 即為的極坐標(biāo)方程 ⑵ 兩邊同乘得 即 ② :化為普通方程為 由題意:和的公共方程所在直線即為 ①—②得:,即為 ∴ ∴ 24.⑴ 如圖所示: ⑵ 當(dāng),,解得或 當(dāng),,解得或 或 當(dāng),,解得或 或 綜上,或或 ,解集為

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