2018高考全國一卷理科數(shù)學(xué)答案解析與解析
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1、2018年普通高等學(xué)招生全國統(tǒng)一考試(全國一卷)理科數(shù)學(xué)
參考答案與解析
一、選擇題:本題有12小題,每小題5分,共60分。
1、設(shè)z=,則|z|=
A、0
B、
C、1
D、
【答案】C
【解析】由題可得,所以|z|=1
【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)
2、已知集合A={x|x2-x-2>0},則A=
A、{x|-1
2、的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番,為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例,得到如下餅圖: 則下面結(jié)論中不正確的是: A、新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少。 B、新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上。 C、新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍。 D、新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半。 【答案】A 【解析】由題可得新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入37%*200%=74%>60%, 【考點(diǎn)定位】簡單統(tǒng)計(jì) 4、記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5= A、
3、-12 B、-10 C、10 D、12 【答案】B 【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d)(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得: 2d+3a1=0 ; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列求和 5、設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為: A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 【答案】D 【解析】f(x)為奇函數(shù),有f(x)+f(-x)=0整理得: f(x)+f(-x)=2*(a-1)x2=0
4、 ∴a=1 f(x)=x3+x 求導(dǎo)f‘(x)=3x2+1 f‘(0)=1 所以選D 【考點(diǎn)定位】函數(shù)性質(zhì):奇偶性;函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 6、在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則= A、-- B、-- C、-+ D、- 【答案】A 【解析】AD為BC邊∴上的中線 AD= E為AD的中點(diǎn)∴AE= EB=AB-AE= 【考點(diǎn)定位】向量的加減法、線段的中點(diǎn) 7、某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖,圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為11A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為 A、
5、 B、 C、3 D、2 【答案】B A A 【解析】將圓柱體的側(cè)面從A點(diǎn)展開:注意到B點(diǎn)在圓周處。 B ∴最短路徑的長度為AB= 【考點(diǎn)定位】立體幾何:圓柱體的展開圖形,最短路徑 8.設(shè)拋物線C:y=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2,0)且斜率為的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則= A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】 拋物線C:y=4x的焦點(diǎn)為F(1,0) 直線MN的方程: 消去x整理得:y2-6y+8=0 ∴y=2 或y=4 M、N的坐標(biāo)(1,2),(4,4) 則=(0,2)(3,4)=0*3+2*4=8
6、 【考點(diǎn)定位】拋物線焦點(diǎn)向量的數(shù)量積 如果消去X,計(jì)算量會(huì)比較大一些,您不妨試試。 9.已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是 A. [-1,0) B. [0,+∞) C. [-1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 【解析】 根據(jù)題意:f(x)+x+a=0 有兩個(gè)解。令M(x)=-a, N(x)=f(x)+x = 分段求導(dǎo):N‘(x)=f(x)+x =說明分段是增函數(shù)。考慮極限位置,圖形如下: M(x)=-a在區(qū)間(-∞,+1]上有2個(gè)交點(diǎn)。 ∴a的取值范圍是C. [-1,+∞) 【考
7、點(diǎn)定位】分段函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、分離參數(shù)法 10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為。直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC. △ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ。在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則 A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 【答案】A 【解析】 整個(gè)區(qū)域的面積: S1+S半圓BC=S半圓AB+S半圓AC+S△ABC 根據(jù)勾股定理,容易推出S半圓BC=S半圓AB+S半圓AC
8、∴S1=S△ABC故選A 【考點(diǎn)定位】古典概率、不規(guī)則圖形面積 11.已知雙曲線C: -y=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為C的右焦點(diǎn),過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則∣MN∣= A. B.3 C. D.4 M F N o 【答案】B 【解析】 右焦點(diǎn),OF===2, 漸近線方程y=x∴∠NOF=∠MOF =30 在Rt△OMF中,OM=OF*cos∠MOF=2*cos=30 在Rt△OMN中,MN=OM=*=3 【考點(diǎn)定位】雙曲線漸近線、焦點(diǎn) 概念清晰了,秒殺!有時(shí)簡單的“解三角”也行,甚至雙曲線都不用
9、畫出來。如果用解方程,計(jì)算量很大。 12.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 如圖平面α截正方體所得截面為正六邊形,此時(shí),截面面積最大,其中邊長GH= 截面面積S=6()2= 【考點(diǎn)定位】立體幾何 截面 【盤外招】交并集理論:ABD交集為,AC交集為,選A 二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。 13.若x,y滿足約束條件則z=3x+2y的最大值為. 【答案】6 【解析】 當(dāng)直線z=3x+2y經(jīng)過點(diǎn)(2,0)時(shí),Z
10、max=3*2+0=6 【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃(頂點(diǎn)代入法) 14.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則S6=. 【答案】-63 【解析】 S1=2a1+1=a1 ∴a1=-1 n>1時(shí),Sn=2an+1,Sn-1=2an-1+1 兩式相減:Sn-Sn-1=an=2an-2an-1∴an=2an-1 an=a12n-1= (-1)2n-1 ∴S6=(-1)(26-1)=-63 【考點(diǎn)定位】等比數(shù)列的求和 15.從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案) 【答案】16 【解析】
11、 =26+1=16 【考點(diǎn)定位】排列組合 16.已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是. 【答案】 【解析】 f(x)=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx) 考慮到f(x)為奇函數(shù),可以求f(x)最大值.將f(x)平方: f2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3)3-3cosx)3(1+cosx))/4)4=()4= 當(dāng)3-3cosx=1+cosx 即cosx時(shí),f2(x)取最大值 f(x)min= 【考點(diǎn)定
12、位】三角函數(shù)的極值,基本不等式的應(yīng)用 【其他解法】:1.求導(dǎo)數(shù)解答 2.f(x)=2sinx(1+cosx)看成單位圓中一個(gè)三角形面積求解。 三.解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。 (一)必考題:共60分。 17.(12分) 在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90,∠A=45,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=,求BC. 【答案】 【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得 ∴sin∠ADB =ABsin∠ADB/
13、BD= 由題設(shè)可知,∠ADB<90∴== (2)由題設(shè)及(1)可知cos∠BDC= sin∠ADB= 在△BCD中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BDDCcos∠BDC =25+8-25=25 ∴BC=5 【考點(diǎn)定位】正弦定理余弦定理 18.(12分) 如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把?DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PF⊥BF. (1)證明:平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值. 【答案】 【解析】(1)由已知可得PF⊥BF ,BF⊥EF∴BF⊥平面PEF 又B
14、F在平面ABFD上∴平面PEF⊥平面ABFD (2)PH⊥EF,垂足為H,由(1)可得,PH⊥平面ABFD∴DP與平面ABFD所成角就是∠PDH. CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2=DE2+(EF-HF)2+PH2 CF2=PF2=HF2+PH2 設(shè)正方形ABCD的邊長為2.上面兩個(gè)等式即是: 22=12+(2-HF)2+PH2 12=HF2+PH2 ∴解方程得HF= PH= 在Rt△PHD中,sin∠PDH=PH/PD=/2=. 【考點(diǎn)定位】立體幾何點(diǎn)、直線、面的關(guān)系 19.(12分) 設(shè)橢圓C: +y=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A
15、,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0). (1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程; (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB. 【答案】 【解析】(1)由已知可得F(1,0),直線l的方程為x=1 由已知可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,)或(1,—) ∴直線AM的方程為y=—x+或y=x— (2)當(dāng)l與x軸重合,.∠OMA=∠OMB=00 當(dāng)l與x軸垂直,OM為AB的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB 當(dāng)l與x軸不重合且不垂直,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1) (k≠0) 點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2) ,x1<2,X2<2,則直線MA、MB的斜率之和 KMA+KMB=+
16、=+= 將y=k(x-1)代入橢圓C的方程得:(2k2+1)x2-4k2x+(2k2-2)=0 x1∴+x2=,x1x2= = 從而KMA+KMB=0 MA、MB的傾斜角互補(bǔ),∴∠OMA=∠OMB 綜上所述,∠OMA=∠OMB 【考點(diǎn)定位】圓錐曲線 20、(12分) 某工廠的某、種、產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品,檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件產(chǎn)品作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn),設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的k概率都為P(0
17、20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(P),f(P)求f(P)的最大值點(diǎn)。 (2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的作為P的值,已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用。 (i) 若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX: (ii) 以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)? 【答案】 【解析】(1)f(P)=P2(1-P)18=(9P)2(1-P)18≧}20=}20 當(dāng)9P=1-P,即f(P)的最大值點(diǎn)P0=
18、0.1. f(0.1)= (2)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中不合格品件數(shù),依題意可知Y-B(180,0.1), X=20*2+25Y=40+25Y ∴EX=E(40+25Y)=40+25EY=490 (ii)如果開箱檢驗(yàn),檢驗(yàn)費(fèi)=200*2=400元 EX>400,∴應(yīng)該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)。 【考點(diǎn)定位】隨機(jī)變量及分布:二項(xiàng)分布最值(基本不等式)、數(shù)學(xué)期望 21、(12分) 已知函數(shù). (1)討論的單調(diào)性; (2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn), ,證明: . 【答案】 【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞) f’(x)=-=- △=a2-4 (i)若a≤2
19、,則f’(x)≤0,當(dāng)且僅當(dāng)a=2,x=1時(shí)f’(x)=0,∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減。
(i)若a>2,令f’(x)=0得到,
當(dāng)x∈(0,)∪(,+∞)時(shí),f’(x)<0
當(dāng)x∈(,)時(shí),f’(x)>0
∴f(x)在x∈(0,),(,+∞)單調(diào)遞減,在(,)單調(diào)遞增。
(2)由(1)可得f(x)存在2個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2
由于f(x)的極值點(diǎn)x1,x2滿足x2-ax+1=0 所以x1x2=1 不妨設(shè)x1
20、定位】函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (二)選考題:共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。 22. [選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]、(10分) 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C?的方程為y=k∣x∣+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C?的極坐標(biāo)方程為p+2p-3=0. (1) 求C?的直角坐標(biāo)方程: (2) 若C?與C?有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C?的方程. 【答案】 【解析】(1)由x=cosθ,y=sinθ得到C?的直角坐標(biāo)方程: x2+y2+2x-3=0 即(x+1)2+y2=4 (2)由(1)可知C2
21、是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓。
由題設(shè)可知,C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于Y軸對(duì)稱的兩條射線,且
C1:=
顯然,K=0時(shí),C1與C2相切,只有一個(gè)交點(diǎn)。
K>0時(shí),C1與C2沒有交點(diǎn)。
∴C1與C2有且僅有三個(gè)交點(diǎn),則必須滿足K<0且y=kx+2(x>0)與C2相切,圓心到射線的距離d=故K=-4/3或K=0.
經(jīng)檢驗(yàn),因?yàn)镵<0,所以K=-4/3。
綜上所述,所求 C?的方程y=-∣x∣+2.
【考點(diǎn)定位】極坐標(biāo)與參數(shù)方程直線與圓的關(guān)系
23. [選修4-5:不等式選講](10分)
已知f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣.
(1) 當(dāng)a=1時(shí), 求不等式f(x)﹥1的解集;
(2) 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)﹥x成立,求a的取值范圍.
【答案】
【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí), f(x)=∣x+1∣-∣x-1∣=
∴不等式f(x)﹥1的解集為{x|x>}
(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣﹥x成立,等價(jià)于∣ax-1∣<1成立
若a≤0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí)∣ax-1∣≧1
若a>0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí)∣ax-1∣<1的解集為0
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