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1、 初三數(shù)學 二次函數(shù) 知識點總結(jié) 一、二次函數(shù)概念： 1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)． 2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： ⑴ 等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2． ⑵ 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項． 二、二次函數(shù)的基本形式 二次函數(shù)的基本形式的性質(zhì)： a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。 的符號 開口方向 頂點坐標 對稱軸 性質(zhì) 向上 X=h 時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，

2、有最小值． 向下 X=h 時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值． 三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標； ⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”． 概括成八個字“左加右減，上加下減”． 方法二： ⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成 （或） ⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或） 四、二次函數(shù)與的比較 從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者

3、通過配方可以得到前者，即，其中． 五、二次函數(shù)圖象的畫法 五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）. 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點. 六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為． 當時，隨的增大而減?。划敃r，隨的增大而增大；當時，有最小值． 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大

4、；當時，隨的增大而減?。划敃r，有最大值． 七、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式：（，，為常數(shù)，）； 2. 頂點式：（，，為常數(shù)，）； 3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系 1. 二次項系數(shù) 二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然．決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小． 2. 一次項系數(shù)

5、在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸． 的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異” 3. 常數(shù)項 決定了拋物線與軸交點的位置． 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的． 二次函數(shù)解析式的確定： 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式； 3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式； 4

6、. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式． 九、二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與軸交點情況）： 一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況. 圖象與軸的交點個數(shù)： ① 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離. ② 當時，圖象與軸只有一個交點； ③ 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有． 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： ⑴ 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方

7、程； ⑵ 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； ⑶ 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號，或由二次函數(shù)中，，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； ⑷ 二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 二次函數(shù)考查重點與常見題型 1． 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關試題常出現(xiàn)在選擇題中，如： 已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點， 則的值是 2． 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試

8、題類型為選擇題，如： 如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x -1 o x 0 x 0 1 x A B C D 3． 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)

9、的解析式，有關習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如： 已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。 4． 考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關試題為解答題，如： 已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－ （1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標. 5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。 由拋物線的位置確定系數(shù)的符號 例1 （1）二次函數(shù)的圖像如圖1，則點在（ ） A．第一象限

10、 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 (1) (2) 【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關系，是解決問題的關鍵． 例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x

11、軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正確結(jié)論的個數(shù)為( ) A 1個 B. 2個 C. 3個 D．4個 答案：D 會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 例3.已知：關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標為( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C 例4、已知拋物線y=x2+x-． （1

12、）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸． （2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長． 【點評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關系． 函數(shù)主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關系”的數(shù)學模型；滲透函數(shù)的思想；關注函數(shù)與相關知識的聯(lián)系。 二次函數(shù)對應練習試題 一、選擇題 1. 二次函數(shù)的頂點坐標是( ) A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）

13、2. 把拋物線向上平移1個單位，得到的拋物線是（ ） A. B. C. D. 3.函數(shù)和在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的( ) 4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論: ①a,b同號;②當和時,函數(shù)值相等;③④當時, 的值只能取0.其中正確的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C. 3個 D. 4個 5.已知二次函數(shù)的頂點坐標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關于的一元二次方程的兩個根分別是（　　?。? Ａ．－１.３ B.-2.3

14、C.-0.3 D.-3.3　 6. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點在（　 ） A．第一象限　　　B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 7.方程的正根的個數(shù)為（ ） A.0個 B.1個 C.2個. 3 個 8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為 A. B. C. 或 D. 或 二、填空題 9．二次函數(shù)的對稱軸是，則_______。 10．已知拋物線y=-2（

15、x+3）+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_______. 11．一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點（－1，2），②當＜0時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 （只寫一個即可）。 12．拋物線的頂點為C，已知直線過點C，則這條直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為 。 13. 二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則b= ,c= 。 14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高

16、度是　　 (π取3.14).　　　　 三、解答題： 第15題圖 15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是,圖象經(jīng)過(1,-6),且與軸的交點為(0,). (1)求這個二次函數(shù)的解析式; (2)當x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0? (3)當x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大? 16.某種爆竹點燃后，其上升高度h（米）和時間t（秒）符合關系式 （0

17、這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由. 17.如圖，拋物線經(jīng)過直線與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D. （1）求此拋物線的解析式； （2）點P為拋物線上的一個動點，求使：5 ：4的點P的坐標。 18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負責處理）．當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸．該建材店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸．綜合考慮各

18、種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元．設每噸材料售價為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）． （1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量； （2）求出y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出x的取值范圍）； （3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？ （4）小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大．”你認為對嗎？請說明理由． 練習試題答案 一，選擇題、 1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 二、填空題、 9． 10．＜-3 11．如等（答案不唯一

19、） 12．1 13．-8 7 14．15 三、解答題 15．(1)設拋物線的解析式為,由題意可得 解得 所以 (2)或-5 (2) 16．（1）由已知得，，解得當時不合題意，舍去。所以當爆竹點燃后1秒離地15米．（2）由題意得，＝，可知頂點的橫坐標，又拋物線開口向下，所以在爆竹點燃后的1.5秒至108秒這段時間內(nèi)，爆竹在上升． 17．（1）直線與坐標軸的交點A（3，0），B（0，－3）．則解得 所以此拋物線解析式為．（2）拋物線的頂點D（1，－4），與軸的另一個交點C（－1，0）.

20、設P，則.化簡得 當＞0時，得 ∴P（4，5）或P（－2，5） 當＜0時，即，此方程無解．綜上所述，滿足條件的點的坐標為（4，5）或（－2，5）． 18．（1）=60（噸）．（2），化簡得： ．（3）． 紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應定為每噸210元． （4）我認為，小靜說的不對． 理由：方法一：當月利潤最大時，x為210元，而對于月銷售額來說， 當x為160元時，月銷售額W最大．∴當x為210元時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對． 方法二：當月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元； 而當x為200元時，月銷售額為18000元．∵17325＜18000， ∴當月利潤最大時，月銷售額W不是最大．∴小靜說的不對． 第 9 頁 共 9 頁