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1、1,理論力學(xué),,第五章 摩擦,2,第五章 摩擦,前幾章我們把接觸表面都看成是絕對(duì)光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實(shí)上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。當(dāng)物體的接觸表面確實(shí)比較光滑，或有良好的潤(rùn)滑條件，以致摩擦力與物體所受其它力相比的確很小時(shí)，可以忽略。然而，在很多日常生活和工程實(shí)際問(wèn)題中，摩擦成為主要因素，摩擦力不僅不能忽略，而且還應(yīng)作為重點(diǎn)來(lái)研究。,由于摩擦是一種十分復(fù)雜的物理現(xiàn)象，涉及面廣，本章只限于討論工程中常用的近似理論，主要介紹滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩阻定律，重點(diǎn)研究有摩擦存在時(shí)物體的平衡問(wèn)題。,3,定義：兩個(gè)相接觸物體，當(dāng)其接觸處產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，其接觸處產(chǎn)生的

2、阻礙物體相對(duì)滑動(dòng)的力叫滑動(dòng)摩擦力。,5-1 滑動(dòng)摩擦,1. 靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力,如圖(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，當(dāng)水平方向無(wú)拉力時(shí)，顯然有P=FN?，F(xiàn)在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，如圖(b)所示，當(dāng)拉力F由零逐漸增加但又不很大時(shí)，物體仍能維持平衡。,4,由此可見，支承面對(duì)物體的約束力除了法向約束力FN外還有一個(gè)阻礙物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向約束力Fs，此力即靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力。顯然有Fs=F，因此靜摩擦力也是約束力，隨著F的增大而增大。然而，它并不能隨F的增大而無(wú)限地增大。而有一個(gè)最大值Fmax，稱為最大靜摩擦力，此時(shí)物體 處于平衡的臨界狀態(tài)。

3、當(dāng)主動(dòng)力F大于Fmax時(shí)，物體將失去平衡而滑動(dòng)。即,5,實(shí)驗(yàn)表明,上式稱為庫(kù)侖摩擦定律，是計(jì)算最大靜摩擦力的近似公式。式中 fs 稱為靜摩擦因數(shù)，它是一個(gè)無(wú)量綱的量。一般由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。,2. 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力,當(dāng)接觸處出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，接觸物體之間仍有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦力，以Fd 表示，大小可用下式計(jì)算。,式中 fd 是動(dòng)摩擦因數(shù)，通常情況下，,6,7,5-2 摩擦角和自鎖現(xiàn)象,1. 摩擦角,當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對(duì)物體的約束力有法向約束力FN和切向約束力Fs，這兩個(gè)力的合力稱為全約束力FR。,它的作用線與接觸處的公法線成一偏角j ,如圖所示，當(dāng)靜摩擦力達(dá)最大時(shí)，

4、j 也達(dá)到最大值jf ,稱jf 為摩擦角。,8,2. 自鎖現(xiàn)象,由于全約束力的作用線與接觸處公法線的夾角j不能大于摩擦角，即變化范圍為0 j jf ，因此可得：,,如果作用于物體的全部主動(dòng)力的合力的作用線與公法線的夾角q < jf，則無(wú)論這個(gè)力多么大，物體必保持靜止，這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。,利用摩擦角的概念，可用簡(jiǎn)單的試驗(yàn)方法測(cè)定摩擦因數(shù)。,反之如果q jf ，則無(wú)論這個(gè)力多么小，物體必不能保持平衡。,9,摩擦角就是物塊處于臨界狀態(tài)時(shí)斜面的傾角q ,即,下面的螺旋千斤頂就利用了自鎖的概念。,10,5-3 考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題,考慮有摩擦的平衡問(wèn)題時(shí)，其解法與前幾章基本一樣。但需指出的是，在

5、受力分析和列平衡方程時(shí)要將摩擦力考慮在內(nèi)，因而除平衡方程外，還需增加補(bǔ)充方程 0 Fs fs FN，因此有摩擦的平衡問(wèn)題的解通常是一個(gè)范圍。為了避免解不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（ Fs = fs FN），求得結(jié)果后再討論解的平衡范圍。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷，只有摩擦力是待求未知數(shù)時(shí)，可以假設(shè)其方向 。,求解時(shí)，根據(jù)具體的問(wèn)題采用解析法或幾何法求解，下面舉例說(shuō)明,11,取物塊A為研究對(duì)象，受力分析如圖。列平衡方程。,解:,例題5-1,聯(lián)立求解得,最大靜摩擦力,所以作用在物體上的摩擦力為,因?yàn)?小物體A重P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它

6、與固定面之間的靜摩擦因數(shù) fs=0.3。今在小物體A上施加F=4 N的力， q =30，試求作用在物體上的摩擦力。,12,(a),構(gòu)件A及B用楔塊C聯(lián)結(jié)，如圖(a)所示，楔塊自重不計(jì)， 。已知楔塊與構(gòu)件間的摩擦系數(shù) fs= 0.1, 求能自鎖的傾斜角q 。,解：(1) 解析法 研究楔塊C，受力如圖(b)，考慮臨界平衡,例題5-2,再考慮補(bǔ)充方程,聯(lián)立解之得,(b),13,(c),(2) 幾何法,仍考慮臨界平衡狀態(tài),在此情況下,楔塊C 兩端所受的全約束力必大小相等,方向相反且作用線在一條直線上;與作用點(diǎn)處的法線的夾角均等于摩擦角jf 如圖(c) 所示。,由幾何關(guān)系不難得,以上是考慮臨界狀態(tài)

7、所得結(jié)果，稍作分析即可得,例題5-2,14,例題5-3,平衡方程為,取支架為研究對(duì)象,受力分析如圖。,（1）解析法,解:,一活動(dòng)支架套在固定圓柱的外表面，且h = 20 cm。假設(shè)支架和圓柱之間的靜摩擦因數(shù) fs = 0.25。問(wèn)作用于支架的主動(dòng)力F 的作用線距圓柱中心線至少多遠(yuǎn)才能使支架不致下滑（支架自重不計(jì)）。,15,聯(lián)立求解得,補(bǔ)充方程,例題5-3,解得,（2）幾何法,由以上二個(gè)例子可以看出，當(dāng)有摩擦處的約束力以全約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交定理且?guī)缀侮P(guān)系又較簡(jiǎn)單，用幾何法往往較方便。,16,寬a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C 在其幾何中心，柜與地面間

8、的靜摩擦因數(shù)是 fs，在柜的側(cè)面施加水平向右的力F，求柜發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)所需推力F 的最小值。,例題5-4,17,1 .假設(shè)不翻倒但即將滑動(dòng)，考慮臨界平衡。,解:,取矩形柜為研究對(duì)象,受力分析如圖。,聯(lián)立求解得柜子開始滑動(dòng)所需的最小推力,,補(bǔ)充方程,列平衡方程,例題5-4,18,2.假設(shè)矩形柜不滑動(dòng)但將繞 B 翻倒。,柜繞 B 翻倒條件： FNA=0,使柜翻倒的最小推力為,列平衡方程,解得,例題5-4,綜上所述使柜發(fā)生運(yùn)動(dòng)所需的最小推力為,19,長(zhǎng)為l的梯子AB一端靠在墻壁上，另一端擱在地板上，如圖所示。假設(shè)梯子與墻壁的接觸是完全光滑的，梯子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù)為fs。梯子的重量略去不計(jì)。

9、今有一重為P的人沿梯子向上爬，如果保證人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子與墻壁的夾角q 。,例題5-5,20,以梯子AB為研究對(duì)象，人的位置用距離 a 表示，梯子的受力如圖。,解：,使梯子保持靜止，必須滿足下列平衡方程：,同時(shí)滿足物理?xiàng)l件,例題5-5,聯(lián)立解之得,因 0al， 當(dāng) a = l 時(shí)，上式左邊達(dá)到最大值。,21,,重為P =100 N的勻質(zhì)滾輪夾在無(wú)重桿AB和水平面之間，在桿端B作用一垂直于AB的力FB ，其大小為FB = 50 N。A為光滑鉸鏈，輪與桿間的摩擦因數(shù)為 fs1=0.4。輪半徑為r，桿長(zhǎng)為 l，當(dāng) q = 60 時(shí)，AC = CB = 0.5l ，如圖所示。如要維持系統(tǒng)

10、平衡，（1） 若D處?kù)o摩擦因數(shù) fs2 = 0.3，求此時(shí)作用于輪心O處水平推力 F 的最小值;（2）若fs2=0.15 ,此時(shí)F 的最小值又為多少？,例題5-6,22,解：,此題在C，D兩處都有摩擦，兩個(gè)摩擦力之中只要有一個(gè)達(dá)到最大值，系統(tǒng)即處于臨界狀態(tài)。,假設(shè)C處的摩擦先達(dá)到最大值，輪有水平向右滾動(dòng)的趨勢(shì)。,,例題5-6,1.以桿AB為研究對(duì)象，受力分析如圖。,解得,列平衡方程,補(bǔ)充方程,23,例題5-6,2.以輪為研究對(duì)象，列平衡方程。,當(dāng) fs2= 0.3時(shí)，D處最大摩擦力為,24,解方程得,最小水平推力為,受力圖不變，補(bǔ)充方程應(yīng)改為,此時(shí)C處最大摩擦力為,因此當(dāng) fs2= 0.15

11、時(shí)，維持系統(tǒng)平衡的最小水平推力改為,說(shuō)明前面假定不成立，D處應(yīng)先達(dá)到臨界狀態(tài)。,3. 當(dāng) fs2= 0.15時(shí),,例題5-6,25,由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力，如果仍用下圖的力學(xué)模型來(lái)分析就存在問(wèn)題。即無(wú)論水平力F 多么小，此物體均不能平衡，因?qū)c(diǎn)A的矩的平衡方程不滿足，即,5-4 滾動(dòng)摩阻的概念,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實(shí)際接觸面并不是剛體，它們?cè)诹Φ淖饔孟露紩?huì)發(fā)生一些變形，有一個(gè)接觸面，如圖所示。,這是與實(shí)際情況不符的，說(shuō)明此力學(xué)模型有缺陷，需要修正。,26,與靜滑動(dòng)摩擦力相似，滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf 隨主動(dòng)力 F的增大而增大；但有一個(gè)最大值 Mmax ,即,或,且最大滑動(dòng)摩阻力偶矩,

12、上式即是滾動(dòng)摩阻定律，d 稱為滾動(dòng)摩阻系數(shù)，具有長(zhǎng)度的量綱 ，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度和濕度等有關(guān)。與滾子的半徑無(wú)關(guān)。,27,滾動(dòng)摩阻動(dòng)畫,28,滾阻系數(shù)的物理意義如下,,由力的平移定理,,一般情況下，相對(duì)滑動(dòng)摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計(jì)。,29,取輪子為研究對(duì)象,受力分析如圖。由平衡方程,解:,例題5-7,勻質(zhì)輪子的重量P = 3 kN，半徑 r = 0.3 m；今在輪中心施加平行于斜面的拉力FH，使輪子沿與水平面成q =30的斜面勻速向上作純滾動(dòng)。已知輪子與斜面的滾阻系數(shù)= 0.05 cm，試求力FH的大小。,聯(lián)立求解,補(bǔ)充方程,30,如圖所示，總重為P的拖車在牽引力F作用下要爬上傾角為 的斜坡。設(shè)車輪半徑為r，輪胎與路面的滾動(dòng)摩阻系數(shù)為，其它尺寸如圖所示。求拖車所需的牽引力。,例題5-8,31,拖車的兩對(duì)輪子都是從動(dòng)輪，因此滑動(dòng)摩擦力的方向都朝后。設(shè)拖車處于開始向上滾動(dòng)的臨界狀態(tài)，因此前后輪的滾動(dòng)摩阻力偶的力偶矩 M1, max 和 M2 max 都達(dá)到最大值。,解：,由平衡方程,首先取整個(gè)拖車為研究對(duì)象， 受力分析如圖。,例題5-8,32,再取前輪為研究對(duì)象，受力分析如圖。,同樣由后輪得,輪子滾動(dòng)臨界時(shí)的補(bǔ)充方程,解方程可得,列平衡方程,例題5-8,33,第五章結(jié)束,