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1、產(chǎn)品設(shè)計(jì) 2 主講人：曾富洪 攀枝花學(xué)院 2 第九章 產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的計(jì)算機(jī)輔助工程（ CAE）技術(shù) 計(jì)算機(jī)輔助工程 (Computer Aided Engineering， CAE)主要以有限元分析技術(shù)為 基礎(chǔ)，綜合了迅速發(fā)展中的計(jì)算力學(xué)、計(jì)算 數(shù)學(xué)、相關(guān)的工程管理學(xué)與現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)而 形成的一門綜合性、知識(shí)密集型的學(xué)科。其 相關(guān)的軟件稱為 CAE軟件。 CAE軟件能夠?qū)?特定產(chǎn)品進(jìn)行性能分析、預(yù)測(cè)和優(yōu)化，也可 以對(duì)通用產(chǎn)品進(jìn)行物理、力學(xué)性能分析、模 擬、預(yù)測(cè)、評(píng)價(jià)和優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品的技術(shù) 創(chuàng)新。 計(jì)算機(jī)輔助工程 CAE 3 9.1.1 有限元法的發(fā)展歷史 第一次正式使用“有限單元” (Finit

2、e Element)這一術(shù)語(yǔ) 并提出這種離散系統(tǒng)分析方法的是美國(guó)加州大學(xué)伯克利 分校的 R.W.Clough教授 (1960)。在有限單元技術(shù)的發(fā)展中 Zien-Kiewicz教授被譽(yù)為解決難題的能手，和他齊名的美 國(guó) J.T.odne教授、 R.L.Taylor教授以及卡學(xué)磺教授等都是從 工程界出身的，這也正好說(shuō)明有限元法是工程和數(shù)學(xué)相 結(jié)合的產(chǎn)物。 1963-1964年，經(jīng)過(guò) J.F.Besseling， R.J.Melosh， R.E.Jones， R.H.Gallaher等多人的工作，認(rèn)識(shí) 到有限元就是變分原理中 Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了 用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式

3、。從而使 Ritz 分析的所有理論基礎(chǔ)都適用于有限元法，確認(rèn)了有限元 法是處理連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的一種普遍方法。 發(fā)展歷史 4 9.1.1 有限元法的發(fā)展歷史 時(shí)間 應(yīng)用范圍 理論基礎(chǔ) 研究對(duì)象 通用有限元法程序前后處理 1950年 Turner、 Clough等的論文 構(gòu)筑了有關(guān)的有限 元法 1960年 宇宙和航空 由 Zienkiewicz開(kāi)發(fā)各種單 元使用了“有限元 法”、虛功原理、 最小勢(shì)能原理 線性問(wèn)題、靜力分析 1967年 宇宙、航空、 土木、造 船、機(jī)械 、水利 瑞利 里茲法 加權(quán)殘數(shù)法 非線性問(wèn)題、動(dòng)力分析 1971年 熱傳導(dǎo)、流體 力學(xué)、電 磁場(chǎng) 變分法 非線性接觸碰撞，斷裂 力學(xué)

4、耦合問(wèn)題 ASK、 MSC、 Nastran、 MARC、 ANSYS、 SAP NISA II等 1980年 石油、核工程 形狀優(yōu)化、逆問(wèn)題 平面和復(fù)雜空間問(wèn)題 MSC.Patran、 MSC.Dytran、 MSC/XL、 ADINA、 PAM- CRASH、 COSMOS/M等 1990年 航空航天 各種新的解算方法和各種 高度非線性材料的 本構(gòu)模型 沖擊、振動(dòng)和疲勞問(wèn)題 MSC.Fatigue、 ANSYS、 MSC.Nastran、 SAP5等 2000年 后 機(jī)電、隨機(jī)有 限元研究 拓?fù)鋬?yōu)化、計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 固體、流體力學(xué)以及生 物力學(xué)制造、加 工仿真。 ANSYS、 ADINA、

5、ABAQUS、 MARC、 Nastran等 5 9.1.2 有限元法的基本概念 有限元分析（ FEA， Finite Element Analysis）是用較簡(jiǎn)單的問(wèn)題代替復(fù)雜問(wèn)題后再 求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的 小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適 的 (較簡(jiǎn)單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總 的滿足條件 (如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問(wèn) 題的解。有限元是那些集合在一起能夠表示實(shí) 際連續(xù)域的離散單元。 有限元分析 6 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解問(wèn)題的基本步驟 (1) 問(wèn)題及求解域定義 ：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題近似確定 求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。 (2) 求解

6、域離散化 ：將求解域近似為具有不同有 限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的 離散域，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。 7 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解問(wèn)題的基本步驟 選擇位移模式 。 在有限元法中，選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為 位移法 ； 選擇節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量時(shí)稱為 力法 ；取一部分節(jié)點(diǎn)力和一部 分節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為 混合法 。位移法易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算 自動(dòng)化，所以在有限元法中位移法應(yīng)用范圍最廣。 當(dāng)采用位移法時(shí)，物體或結(jié)構(gòu)物離散化之后，就可把單元中的 一些物理量如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等由節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示。這時(shí)可以對(duì) 單元中位移的分析采用一些能逼近原函數(shù)的近似函數(shù)予以描

7、述。 n 1i iiay i 是與坐標(biāo)有關(guān)的某種函數(shù) ai 是待定系數(shù) (3) 單元特性分析 （單元體的形狀，節(jié)點(diǎn)數(shù) 目和節(jié)點(diǎn)類型，節(jié)點(diǎn)參數(shù) 類型、形函數(shù)） 8 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解問(wèn)題的基本步驟 分析單元的力學(xué)性質(zhì)。 根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含 義等，找出單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式，這是單元分析中的 關(guān)鍵一步。此時(shí)需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來(lái)建 立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?，這是有限 元法的 基本步驟之一。 計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力 。 物體離散化后，假定力是通過(guò)節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳遞到另 一個(gè)單元。但是，對(duì)于實(shí)際的連續(xù)體，力

8、是從單元的公共邊界 傳遞到另一個(gè)單元中去的，因而，這種作用在單元邊界上的表 面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點(diǎn)上去 ，也就是用 等效的節(jié)點(diǎn)力來(lái)替代所有作用在單元上的力。 9 9.1.2 有限元法的基本概念 1) 有限元求解問(wèn)題的基本步驟 (4) 單元組集 利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來(lái)的物體結(jié)構(gòu) 重新聯(lián)接起來(lái)，組裝成整體的有限元方程。 2 2 1 1 )(, n e n e FePefKeK KUf K是整體 剛度矩陣 ， Ke為單元?jiǎng)偠染仃嚕?U是 節(jié)點(diǎn)位移列陣 ； f是 載荷列陣 ， Pe、 Fe分別表示作用在單元上的體力和面力所產(chǎn)生的等 效節(jié)點(diǎn)力。 (5) 求解未知

9、節(jié)點(diǎn)位移 10 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實(shí)例 1 2 i i+1 i+2 n n+1 L1 Li Li+1 Ln L 1 2 3 4 (a) 離散前 (b) n個(gè)有限段離散 (c) 3個(gè)有限段離散 11 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實(shí)例 (1) 離散化 。 如圖 9.1(b)所示，將直桿劃分成 n個(gè)有限段，有限段之間通過(guò)一個(gè)鉸 接點(diǎn)連接。兩段之間的鉸接點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，每個(gè)有限段稱為單元。其 中，第 i個(gè)單元的長(zhǎng)度為 Li,包含第 i， i+1個(gè)結(jié)點(diǎn) )(1 i i ii i xxL uuuxu 式中， ui為第 i結(jié)點(diǎn)的位移， xi為第 i結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。

10、12 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實(shí)例 (2) 用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)部力學(xué)關(guān)系 第 i個(gè)單元中的位移用所包含的結(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示，如式所示： )(1 i i ii i xxL uuuxu i i1i i L uu dx du i i1i ii L )u(uEE i i1i ii L )u(uEAAN 13 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實(shí)例 (3) 把外載荷集中到節(jié)點(diǎn)上。 把第 i單元和第 i+1單元重量的一半集中到第 i+1結(jié)點(diǎn)上 2)LL(q 1ii (4) 建立結(jié)點(diǎn)的力平衡方程。 對(duì)于第 i+1結(jié)點(diǎn)，由力的平衡方程可得式： 2 )LL(qNN 1ii

11、 1ii 1iii LL 2 i i 2ii1iii L) 11( 2E A quu)1(u- 14 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實(shí)例 (5) 將直桿劃分成 3個(gè)等長(zhǎng)的單元，用有限元法進(jìn) 行求解。定義單元的長(zhǎng)度 a=L/3. 對(duì)于節(jié)點(diǎn) 2， 1=1， EA qau2uu- 2 321 對(duì)于節(jié)點(diǎn) 3， 2=1 EA qau2uu- 2 432 對(duì)于節(jié)點(diǎn) 1， u1=0 15 9.1.2 有限元法的基本概念 2) 有限元求解實(shí)例 對(duì)于結(jié)點(diǎn) 4可以有兩種處理方法。 直接用第 3個(gè)單元的內(nèi)力與結(jié)點(diǎn) 4上的載荷建立平衡方程 a )uu(EA 2 qaN 34 3 2 E Aqauu-

12、 2 43 2 E A qauu- 2 43 假定存在一個(gè)虛擬結(jié)點(diǎn) 5，與結(jié)點(diǎn) 4構(gòu)成了虛擬單元 4； L4=0， u5=u4， 3=L3/L4 ，可得： 2E A qa EA qa EA qa u u u 1 1 0 1 2 1 0 1 2 2 2 2 4 3 2 U1=0代入 后整理 16 2 E A 5qau 2 2 EA 4qau 2 3 2 E A 9qau 2 4 解得： 9.1.2 有限元法的基本概念 17 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 結(jié)構(gòu)靜力分析是用來(lái)分析由于 靜態(tài)外載荷引起的系統(tǒng)或部件的 位移、應(yīng)力和應(yīng)變 。靜力分析很適合于求解慣性及阻尼的

13、時(shí)間相 關(guān)作用對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響并不顯著的問(wèn)題。 其位移的矩陣形式 Tw,v,uu TXZYZXYZYX , 應(yīng)變的矩陣形式 應(yīng)力的矩陣形式 TXZYZXYZYX , 概念 0 0 0 vz zyzxz vy yzyxy vx xzxyx p zyx p zyx p zyx 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 (1) 基本方程 平衡方程 19 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 (1) 基本方程 平衡方程 0qL T T X Y 0 Z 0 0 0 Z X 0 Y 0 Z 0 Y 0 0 X L q為體積力矩陣 力平衡 w v u xz y

14、z xy z y x z u x w y w z v x v y u z w y v x u zx yz xy z y x 0 0 0 00 00 00 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 幾何方程 物體受力后變 形，其內(nèi)部的 應(yīng)變和位移的 關(guān)系稱為幾何 方程。 uL zxzx yzyz xyxy yxzz xzyy zyxx G G G E E E 1 1 1 )( 1 )( 1 )( 1 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 物理方程 彈性力學(xué)中應(yīng)力 應(yīng)變之間 的關(guān)系稱為物理方程，或稱 為本構(gòu)方程。 22 9.1.3 有限元法的基本理論

15、 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 物理方程 D )-2( 1 2-1 0 0 0 0 0 0 )-2( 1 2-1 0 0 0 0 0 0 )-2( 1 2-1 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0 -1 -1 1 )21)(1( )1(E D 23 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 邊界條件 彈性體 的全部邊界為 ，其中在一部分邊界上作用已知的 外力，如面力、集中力等，這部分邊界稱為力的邊界 ；另 一部分邊界上彈性體的位移為已知，這部分邊界稱為位移邊界 u np 力的邊界 位移邊界 uu n方向余弦矩陣 u 已知位移矩陣

16、 24 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 虛功原理 虛功原理在力學(xué)中是一個(gè)普遍的原理。虛功原理的定義為：設(shè)一彈 性體在虛位移發(fā)生之前處于平衡狀態(tài)，當(dāng)彈性體產(chǎn)生約束許可的微 小虛位移并同時(shí)在彈性體內(nèi)產(chǎn)生虛應(yīng)變時(shí)，體力與面力在虛位移上 所作的虛功等于整個(gè)彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功的 總和，即 外力虛功等于內(nèi)力虛功 A T V T V T dA)p(d X d Y d Z)p(d X d Y d Z)( 25 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 (2) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題有限元法的求解過(guò)程 連續(xù)體的離散化 選擇合適的等參數(shù)單元對(duì)連續(xù)體

17、進(jìn)行網(wǎng)格劃分。 單元分析 根據(jù)彈性力學(xué)或熱學(xué)或電磁學(xué)等的基本方程和變分原理建立單 元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。 (a) 形函數(shù) 形函數(shù)代表一種單元上近似解的插值關(guān)系，它決定 近似解在單元上的形狀 形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)的自由度（ DOF）值到單元內(nèi)所有點(diǎn)處的 DOF值得計(jì)算方法，單 元的形函數(shù)是給定單元的一種假定特性 26 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 (2) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題有限元法的求解過(guò)程 根據(jù)形函數(shù)，可以導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移為基本變量來(lái)表示的 單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的關(guān)系式，其矩陣形式如 : eNu Tw,v,uu 為單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移矩陣； e 為單

18、元的節(jié)點(diǎn)位移矩陣。 N為單元形函數(shù)矩陣，可根據(jù)單元類型及節(jié)點(diǎn)數(shù)來(lái)選擇確定； 27 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 (2) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題有限元法的求解過(guò)程 (b) 單元特性分析 eB eS eK eeF eF 、 分別為單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣 ,節(jié)點(diǎn)力矩陣 B 為單元幾何矩陣，表示應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系 S為單元應(yīng)力矩陣，表示應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系， Ke為單元?jiǎng)偠染仃?e 為單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣 28 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 、 (3)整體分析 根據(jù)節(jié)點(diǎn)力的平衡條件建立有限元方程，引入邊界條件，解線性 方程已計(jì)算單元應(yīng)

19、力。具體說(shuō)來(lái)可以分為下面三個(gè)步驟。 分析整理各單元?jiǎng)偠染仃嚕ㄟ^(guò)節(jié)點(diǎn)的平衡方程形成節(jié)點(diǎn)載荷列陣 ，合成總剛度矩陣，建立以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的，以總體剛度矩陣為系 數(shù)的線性代數(shù)方程組，此即為結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元控制方程。 FK K為總剛度矩陣 F為總載荷向量 節(jié)點(diǎn)位移列陣 對(duì)線性代數(shù)方程組進(jìn)行邊界處理，求解節(jié)點(diǎn)位移。 29 9.1.3 有限元法的基本理論 1) 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 、 (3)整體分析 進(jìn)一步求得單元應(yīng)力。 30 9.1.3 有限元法的基本理論 、 2) 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析是用來(lái)確定慣性 (質(zhì)量效應(yīng) )和阻尼起重要作用時(shí) 結(jié)構(gòu)或構(gòu)件動(dòng)力學(xué)特性的技術(shù)。其動(dòng)

20、力學(xué)特性有振動(dòng)特性 (結(jié)構(gòu)振動(dòng) 方式和振動(dòng)頻率 )、隨機(jī)載荷的效應(yīng)。 )( tFuKuCuM M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣 C為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣 K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣 F為隨時(shí)間變化的節(jié)點(diǎn)載荷向量 u 為節(jié)點(diǎn)位移矩陣 u 為節(jié)點(diǎn)速度矢量矩陣 u 為節(jié)點(diǎn)加速度矩陣 31 9.1.3 有限元法的基本理論 、 2) 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法 分析類型 模態(tài)分析。設(shè)定 F(t)為零，而矩陣 C通常被忽略。 諧響應(yīng)分析。設(shè)定 F(t)和 u(t)都為諧函數(shù)。 瞬間動(dòng)態(tài)分析。即為上述控制方程。 模態(tài)疊加法 可按自然頻率和模態(tài)將完全耦合的通用控制方 程轉(zhuǎn)化為一組獨(dú)立的非耦合方程。模態(tài)疊加法可以用來(lái)處 理瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析和諧響應(yīng)分

21、析。 直接積分法 是通過(guò)顯示 積分或隱式積分法直接求解通用控制方程。 分析方法 32 9.1.3 有限元法的基本理論 、 3）熱分析問(wèn)題的有限元法 熱分析用于計(jì)算一個(gè)系統(tǒng)或部件的溫度分布及其他熱物理參數(shù)，熱 分析的類型主要有：穩(wěn)態(tài)熱分析 系統(tǒng)的溫度場(chǎng)不隨時(shí)間變化；瞬態(tài) 傳熱 系統(tǒng)的溫度場(chǎng)隨時(shí)間明顯變化。 式中， Q為熱量； W為做功； U為系統(tǒng)內(nèi)能； KE為系統(tǒng)動(dòng)能 ； PE為系統(tǒng)勢(shì)能。 對(duì)于大多數(shù)工程傳熱問(wèn)題， KE=PE=0；通?？紤]沒(méi)有做功 ，即 W=0，則 Q=U。 對(duì)于穩(wěn)態(tài)熱分析，即 Q=U=0，即流入系統(tǒng)的熱量等于流出的 熱量 . PEKEUWQ 33 9.1.3 有限元法的基本理

22、論 、 3）熱分析問(wèn)題的有限元法 (2) 熱傳遞的類型 熱傳導(dǎo) 熱傳導(dǎo)為完全接觸的兩個(gè)物體之間或一個(gè)物體的不同部分之間由 于溫度梯度而引起的內(nèi)能的交換。熱傳導(dǎo)遵循傅里葉定律 式中， q為熱流密度 (W/m2)； K為導(dǎo)熱系數(shù) (W/(m.0C) dX dTkq 34 9.1.3 有限元法的基本理論 3）熱分析問(wèn)題的有限元法 熱對(duì)流 熱對(duì)流是指固體的表面與它周圍接觸的流體之間，由于溫差的存 在引起的熱量的交換。熱對(duì)流有兩類：自然對(duì)流和強(qiáng)制對(duì)流。熱 對(duì)流用牛頓冷卻方程來(lái)描述如下所示： 式中， h為對(duì)流換熱系數(shù)； TS為固體表面的溫度； TB為周圍流體的溫度 )( BS TThq 35 9.1.3

23、有限元法的基本理論 3）熱分析問(wèn)題的有限元法 熱輻射 熱輻射指物體發(fā)射電磁能，并被其他物體吸收轉(zhuǎn)變?yōu)闊岬臒峤?換過(guò)程。物體溫度越高，單位時(shí)間輻射的熱量越多。熱輻射傳遞可 以用斯蒂芬 -波爾茲曼方程來(lái)計(jì)算。 )( 4241121 TTFAq 式中， q為熱流率； 為輻射率 (黑度 )， 為斯蒂芬 -波爾茲曼 常數(shù)， A1為輻射面 1的面積， F12為輻射面 1到輻射面 2的形狀系 數(shù)； T1輻射面 1的絕對(duì)溫度； T2輻射面 2的絕對(duì)溫度。 36 9.1.3 有限元法的基本理論 3）熱分析問(wèn)題的有限元法 (3) 控制方程 穩(wěn)態(tài)傳熱 在穩(wěn)態(tài)熱分析中任一節(jié)點(diǎn)的溫度不隨時(shí)間變化。根據(jù)能量守恒原 理，穩(wěn)

24、態(tài)熱分析的控制方程為： QTK 式中， K為傳導(dǎo)矩陣，包含導(dǎo)熱系數(shù)、對(duì)流系數(shù)及輻射率和形狀系 數(shù)； T為節(jié)點(diǎn)溫度向量； Q為節(jié)點(diǎn)熱流率向量，包含熱生成。 37 9.1.3 有限元法的基本理論 3）熱分析問(wèn)題的有限元法 (3) 控制方程 瞬態(tài)傳熱 在這個(gè)過(guò)程中系統(tǒng)的溫度、熱流率、熱邊界條件以及系統(tǒng)內(nèi)能隨時(shí) 間都有明顯變化。根據(jù)能量守恒原理，瞬態(tài)熱分析的控制方程為： TC QTK 式中， K為傳導(dǎo)矩陣，包含導(dǎo)熱系數(shù)、對(duì)流系數(shù)及輻射率和形狀 系數(shù)； C為比熱容矩陣，考慮系統(tǒng)內(nèi)能的增加； T為節(jié)點(diǎn)溫度向 量； Q為節(jié)點(diǎn)熱流率向量，包含熱生成。 38 9.1.3 有限元法的基本理論 3）熱分析問(wèn)題的有限元法 (4)邊界條件、初始條件 熱分析的邊界條件或初始條件一般有：溫度、熱 流率、熱流密度、對(duì)流、輻射、絕熱、生熱。 在實(shí)際 CAE分析工作中，通常將 CAE的基本理 論融入 CAE軟件中實(shí)現(xiàn)。 39 小結(jié) 1 有限元法的發(fā)展歷史 3 有限元法的基本理論 4 結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問(wèn)題的有限元法 2 有限元法的基本概念 5 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法 6 熱分析問(wèn)題的有限元法