《(江蘇專用)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)強(qiáng)化練(二)坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理 選修4-4》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)強(qiáng)化練(二)坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理 選修4-4(4頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專項(xiàng)強(qiáng)化練(二) 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(理獨(dú))
題型一 曲線的極坐標(biāo)方程
1.在極坐標(biāo)系中,已知曲線C:ρ=2sin θ,過極點(diǎn)O的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且AB=,求直線l的極坐標(biāo)方程.
解:設(shè)直線l的方程為θ=θ0(ρ∈R),A(0,0),B(ρ1,θ0).
則AB=|ρ1-0|=|2sin θ0|.
又AB=,故sin θ0=.
解得θ0=+kπ或θ0=-+kπ,k∈Z.
所以直線l的方程為θ=或θ=(ρ∈R).
2.求以C(4,0)為圓心,半徑為4的圓的極坐標(biāo)方程.
解:如圖所示,由題設(shè)可知,這個圓經(jīng)過極點(diǎn),圓心在極軸上,設(shè)圓與極軸的另一個交點(diǎn)是A,在圓
2、上任取一點(diǎn)P(ρ,θ),連結(jié)OP,PA,在Rt△OPA中,|OA|=8,|OP|=ρ,∠AOP=θ,
∴|OA|cos θ=ρ,即8cos θ=ρ,即ρ=8cos θ就是圓C的極坐標(biāo)方程.
[臨門一腳]
1.在極坐標(biāo)系中,求直線的極坐標(biāo)方程的一般方法為:設(shè)M(ρ,θ)為直線上任意一點(diǎn),極點(diǎn)為O,連結(jié)OM,構(gòu)造出含有OM的三角形,再找出我們需求的ρ與θ的關(guān)系,即為直線的極坐標(biāo)方程.也可以先求出直角坐標(biāo)方程,再化為極坐標(biāo)方程.
2.求圓的極坐標(biāo)方程要注意作出圖形,充分利用三角函數(shù)和解三角形的知識,探究極徑和極角的關(guān)系,幾種特殊圓的極坐標(biāo)方程需要記憶清楚.
3.解極坐標(biāo)方程時(shí)如果求出ρ=0
3、,需要進(jìn)行檢驗(yàn),防止漏解.
題型二 方程互化
1.已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2,ρ2-2ρcos=2.
(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.
解:(1)由ρ2=x2+y2,且得圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4,
由ρ2-2ρcos=2,
得ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)=2,
x2+y2-2(x+y)=2,
故圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)聯(lián)立方程兩式相減,得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x+y-1=0,
該直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ-1=0.
4、2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.求:
(1)圓的普通方程;
(2)圓的極坐標(biāo)方程.
解:(1)圓的普通方程為(x-2)2+y2=4.
(2)把代入上述方程,得圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ.
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:(t為參數(shù))與橢圓C:(θ為參數(shù),a>0)的一條準(zhǔn)線的交點(diǎn)位于y軸上,求實(shí)數(shù)a的值.
解:由題意,直線l的普通方程為2x+y=9,
橢圓C的普通方程為+=1(0<a<3),
橢圓C的準(zhǔn)線方程為y=,
故=9,解得a=2(負(fù)值舍去).
[臨門一腳]
1.極坐標(biāo)與直角
5、坐標(biāo)互化的基本公式為x=ρcos θ,y=ρsin θ,也經(jīng)常需要用到ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0).
2.通過消去參數(shù)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,有利于識別曲線的類型.
(1)消去參數(shù)的方法一般有三種:
①利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式,然后代入消去參數(shù);
②利用三角恒等式消去參數(shù);
③根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù).
(2)在參數(shù)方程與普通方程的互化中, 必須使兩種方程中的x,y的取值范圍保持一致,否則將導(dǎo)致兩種方程所對應(yīng)的曲線不一致.
題型三 位置關(guān)系及參數(shù)方程應(yīng)用
1.在極坐標(biāo)系中,求直線θ=(ρ∈R)被曲線ρ=4sin θ
6、所截得的弦長.
解:法一:在ρ=4sin θ中,令θ=,得ρ=4sin=2,即所求弦長為2.
法二:以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
直線θ=(ρ∈R)的直角坐標(biāo)方程為y=x,①
曲線ρ=4sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y=0,②
由①②得或
故直線θ=(ρ∈R)被曲線ρ=4sin θ所截弦長的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0),(2,2),
所以直線θ=(ρ∈R)被曲線ρ=4sin θ所截得的弦長為=2.
2.(2019揚(yáng)州四模)在極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程為(
7、α為參數(shù)),求直線l與曲線C的交點(diǎn)P的直角坐標(biāo).
解:直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x.
由方程可得y=2cos2α=22=x2,又因?yàn)椋?≤cos α≤1,所以-4≤x≤4.
所以曲線C的普通方程為y=x2(-4≤x≤4)
將直線l的方程代入曲線方程中,得x2=x,解得x=0或x=8(舍去)
所以直線l與曲線C的交點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(0,0).
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(其中φ為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+=3.求橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值和最小值.
解:直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-3=0.
8、設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到直線l的距離為d.
則d==.
所以當(dāng)sin=1時(shí),dmax=2;
當(dāng)sin=-1時(shí),dmin=.
所以橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值為2,最小值為.
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.
解:直線l的普通方程為x-2y+8=0.
因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上,
設(shè)P(2s2,2s),
從而點(diǎn)P到直線l的距離
d==.
當(dāng)s=時(shí),dmin=.
因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)時(shí),曲線C上點(diǎn)P到直線l的距離取到最小值.
[臨門一腳]
1.如果遇到直線與圓的位置關(guān)系問題,應(yīng)優(yōu)先將方程化為普通方程后再研究較為方便.
2.圓或橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用于求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問題,需要輔助角公式的運(yùn)用,等號成立的條件一定要寫出.
3.直線的參數(shù)方程為中t的幾何意義要清楚,但如果給的方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式,此時(shí)不要直接用t的幾何意義來處理弦的問題.
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