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大學(xué)物理第一版 朱峰 課后答案第九,十章

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1、習(xí)題精解 9-1.在氣墊導(dǎo)軌上質(zhì)量為m的物體由兩個(gè)輕彈簧分別固定在氣墊導(dǎo)軌的兩端,如圖9-1所示,試證明物體m的左右運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),并求其振動(dòng)周期。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k1和k2. 解:取物體在平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),則物體在任意位置時(shí)受的力為 根據(jù)牛頓第二定律有 化簡(jiǎn)得 令則所以物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng),其周期 9-2 如圖9.2所示在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中,放置一電偶極矩P=ql的電偶極子

2、,+q和-q相距l(xiāng),且l不變。若有一外界擾動(dòng)使這對(duì)電荷偏過(guò)一微小角度,擾動(dòng)消息后,這對(duì)電荷會(huì)以垂直與電場(chǎng)并通過(guò)l的中心點(diǎn)o的直線為軸來(lái)回?cái)[動(dòng)。試證明這種擺動(dòng)是近似的簡(jiǎn)諧振動(dòng),并求其振動(dòng)周期。設(shè)電荷的質(zhì)量皆為m,重力忽略不計(jì)。 解 取逆時(shí)針的力矩方向?yàn)檎较颍?dāng)電偶極子在如圖9.2所示位置時(shí),電偶極子所受力矩為 電偶極子對(duì)中心O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律知 化簡(jiǎn)得 當(dāng)角度很小時(shí)有,若令,則上式變?yōu)? 所以電偶極子的微小擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。而且其周期為

3、 9-3 汽車(chē)的質(zhì)量一般支承在固定與軸承的若干根彈簧上,成為一倒置的彈簧振子。汽車(chē)為開(kāi)動(dòng)時(shí),上下為自由振動(dòng)的頻率應(yīng)保持在 附近,與人的步行頻率接近,才能使乘客沒(méi)有不適之感。問(wèn)汽車(chē)正常載重時(shí),每根彈簧松弛狀態(tài)下壓縮了多少長(zhǎng)度? 解 汽車(chē)正常載重時(shí)的質(zhì)量為m,振子總勁度系數(shù)為k,則振動(dòng)的周期為,頻率為  正常載重時(shí)彈簧的壓縮量為 9-4 一根質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒,一端懸掛在水平軸O點(diǎn),如圖9.3所示。開(kāi)始棒在平衡位置OO,處于平衡狀態(tài)。將棒拉開(kāi)微小角度后放手,棒將在重力矩作用下,繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)。此裝置時(shí)最簡(jiǎn)單的物理

4、擺。 若不計(jì)棒與軸的摩擦力和空氣的阻力,棒將擺動(dòng)不止。試證明擺角很小的情況下,細(xì)棒的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),并求其振動(dòng)周期。 解 設(shè)在某一時(shí)刻,細(xì)棒偏離鉛直線的角位移為,并規(guī)定細(xì)棒在平衡位置向右時(shí)為正,在向左時(shí)為負(fù),則力矩為 負(fù)號(hào)表示力矩方向與角位移方向相反,細(xì)棒對(duì)O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 化簡(jiǎn)得 當(dāng)很小時(shí)有,若令則上式變?yōu)? 所以細(xì)棒的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng),其周期為 9-5 一放置在水平光滑桌面上的彈簧振子,振幅,周期,當(dāng)t=0時(shí), (1)物體在正方

5、向的端點(diǎn); (2)物體在負(fù)方向的端點(diǎn); (3) 物體在平衡位置,向負(fù)方向運(yùn)動(dòng); (4)物體在平衡位置,向負(fù)方向運(yùn)動(dòng); (5)物體在處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng) (6)物體在處向正方向運(yùn)動(dòng)。求以上各種情況的振動(dòng)方程。 解 由題意知 (1)由初始條件得初想為是,所以振動(dòng)方程為 (2)由初始條件得初想為是,所以振動(dòng)方程為 (3)由初始條件得初想為是,所以振動(dòng)方程為 (4)由初始條件得初想為是,所以振動(dòng)方程為 (5)因?yàn)?,所以,?。ㄒ驗(yàn)樗俣刃∮诹悖哉駝?dòng)方程為 (6),所以,取(因?yàn)樗俣却笥诹悖?/p>

6、,所以振動(dòng)方程為 9-6一質(zhì)點(diǎn)沿x軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng),振幅為0.12m,周期為2s,當(dāng)t=0時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位置在0.06m處,且向x軸正方向運(yùn)動(dòng),求; (1)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程; (2)t=0.5s時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度; (3)質(zhì)點(diǎn)x=-0.06m處,且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),在回到平衡位置所需最短的時(shí)間。 解 (1)由題意可知:可求得(初速度為零),所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 (2) 任意時(shí)刻的速度為 所以 任意時(shí)刻的加速度為 所以 (3)根據(jù)題意畫(huà)旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖9.4所示。 由圖可知,質(zhì)點(diǎn)在x=-0.

7、06m處,且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),再回到平衡位置相位的變化為 所以 9-7 一彈簧懸掛0.01kg砝碼時(shí)伸長(zhǎng)8cm,現(xiàn)在這根彈簧下懸掛0.025kg的物體,使它作自由振動(dòng)。請(qǐng)建立坐標(biāo)系,分析對(duì)下述3種情況列出初始條件,求出振幅和初相位,最后建立振動(dòng)方程。 (1)開(kāi)始時(shí),使物體從平衡位置向下移動(dòng)4cm后松手; (2)開(kāi)始時(shí),物體在平衡位置,給以向上的初速度,使其振動(dòng); (3)把物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm后,又給以向上的初速度,同時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。 解 (1)取物體處在平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),向下為x軸正方向,建立如圖9.5所示坐標(biāo)系。 系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為 根

8、據(jù)題意,初始條件為 振幅,初相位 振動(dòng)方程為 (2)根據(jù)題意,初始條件為 振幅,初相位 振動(dòng)方程為 (3)根據(jù)題意,初始條件為 振幅,,得 振動(dòng)方程為 9-8 質(zhì)量為0.1kg的物體,以振幅做簡(jiǎn)諧振動(dòng),其最大加速度為,求:(1)振動(dòng)周期;(2)通過(guò)平衡位置時(shí)的動(dòng)能;(3)總能量。 解 (1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體的最大加速度為 ,所以周期為。 (2)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體通過(guò)平衡位置時(shí)具有最大速度 所以動(dòng)能為 (3)總能量為 9-9 彈簧振子在光滑的

9、水平上面上做振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng),如圖9.6所示,物體的質(zhì)量為M,彈簧的勁度系數(shù)為k,當(dāng)物體到達(dá)平衡位置且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí),一質(zhì)量為m的小泥團(tuán)以速度從右打來(lái),并粘附于物體之上,若以此時(shí)刻作為起始時(shí)刻,求: (1)系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率; (2)按圖示坐標(biāo)列出初始條件; (3)寫(xiě)出振動(dòng)方程; 解 (1)小泥團(tuán)粘附于物體之后與物體一起做簡(jiǎn)諧振動(dòng),總質(zhì)量為M+m,彈簧的勁度系數(shù)為k,所以系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為 (2)小泥團(tuán)粘附于物體之上后動(dòng)量守恒,所以有 按圖9.6所示坐標(biāo)初始條件為 (3)根據(jù)初始條件,系統(tǒng)振動(dòng)的初相位為;假設(shè),系統(tǒng)的振

10、動(dòng)振幅為A,根據(jù)能量守恒,有 其中 故得 振動(dòng)方程為 9-10 有一個(gè)彈簧振子,振幅,周期T=1s,初相位,(1)寫(xiě)出它的振動(dòng)方程;(2)利用旋轉(zhuǎn)矢量圖,作x-t圖。 解 (1)由題意可知,,所以彈簧振子的振動(dòng)方程為 (2)利用旋轉(zhuǎn)矢量圖做x-t圖如圖9.7所示 9-11 一物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng),(1)當(dāng)它的位置在振幅一半處時(shí),試?yán)眯D(zhuǎn)矢量計(jì)算它的相位可能為哪幾個(gè)值?做出這些旋轉(zhuǎn)矢量;(2)諧振子在這些位置時(shí),其動(dòng)能。勢(shì)能各占總能量的百分比是多少? 解 (1)根據(jù)題意做旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.8所示。 由圖9.8

11、可知,當(dāng)它的位置在振幅的一半時(shí),它的可能相位是 (2)物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的總能量為,在任意位置時(shí)的時(shí)能為,所以當(dāng)它的位置在振幅的一半時(shí)的勢(shì)能為,勢(shì)能占總能量的百分比為25%,動(dòng)能占總能量的百分比為75%。 9-12 手持一塊平板,平板上放以質(zhì)量為0.5kg的砝碼,現(xiàn)使平板在豎直方向上下振動(dòng),設(shè)該振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),頻率為2Hz,振幅是0.04m,問(wèn): (1) 位移最大時(shí),砝碼對(duì)平板的正壓力多大? (2)以多大的振幅振動(dòng)時(shí),會(huì)使砝碼脫離平板? (3) 如果振動(dòng)頻率加快一倍則砝碼隨板保持一起振動(dòng)的振幅上限是多大? 解 (1)由題意可知,。因?yàn)槲矬w在作簡(jiǎn)諧振動(dòng),物體在最大位

12、移時(shí)加速度大小 根據(jù)牛頓第二定律有 解得(最低位置), (最高位置) (2)當(dāng),即時(shí) 會(huì)使砝碼脫離平板。 (3)頻率增大一倍,把代入得 9-13 有兩個(gè)完全相同的彈簧振子A和B,并排地放在光滑的水平面上,測(cè)得它們的周期都是2s。現(xiàn)將兩個(gè)物體從平衡位置向右拉開(kāi)5cm,然后先釋放A振子,經(jīng)過(guò)0.5s后,再釋放B振子,如圖9.9所示,若以B振子釋放的瞬間作為時(shí)間的起點(diǎn), (1)分別寫(xiě)出兩個(gè)物體的振動(dòng)方程; (2)它們的相位差為多少?分別畫(huà)出它們的x-t圖。 解 (1)由題可知,兩物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率為,若以B振子釋放的瞬時(shí)作為時(shí)間的起點(diǎn),則B物體振動(dòng)

13、的初相位是,振動(dòng)方程應(yīng)為 由于A物體先釋放0.5s時(shí)的時(shí)間,所以相位超前B物體,所以A物體振動(dòng)的初相位是,振動(dòng)方程應(yīng)為 (2)它們的相位差為 作A,B兩物體的振動(dòng)曲線如圖9.10所示。 9-14 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),它們的振動(dòng)方程分別為 試 用旋轉(zhuǎn)矢量求出合振動(dòng)方程。 解 作旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.11所示。 由平面幾何關(guān)系可知 合振動(dòng)的初相位是 所以合振動(dòng)的振動(dòng)方程為 9-15 有兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng),其合振動(dòng)的振幅為0

14、.2,合振動(dòng)的相位于第一個(gè)振動(dòng)的相位之差為,若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為0.173m,求第二個(gè)振動(dòng)的振幅,第一、第二兩振動(dòng)的相位差。 解 做旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.12所示。 由平面幾何關(guān)系可知 假設(shè)和的夾角為,則由平面幾何可知 把已知數(shù)代入解得, 9-16 質(zhì)量為0.4kg的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與互相垂直的兩個(gè)振動(dòng): 式中x,y以m計(jì),t以s計(jì)。 (1) 求運(yùn)動(dòng)軌跡方程; (2) 質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的力。 解 (1)由振動(dòng)方程消去時(shí)間因子得軌跡方程為 (2) 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的加速度為 質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的力為

15、 9-17 質(zhì)點(diǎn)參與兩個(gè)方向互相垂直的、同相位、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng); (1)證明質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng); (2)求合振動(dòng)的振幅和頻率。 解 (1)根據(jù)題意,假設(shè)兩個(gè)分振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為 合成的軌跡是直線,在任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的距離為 所以質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 (3) 合振動(dòng)的振幅為,圓頻率為. 習(xí)題精解 10-1 在平面簡(jiǎn)諧波的波射線上,A,B,C,D各點(diǎn)離波源的距離分別是。設(shè)振源的振動(dòng)方程為 ,振動(dòng)周期為T(mén).(1)這4點(diǎn)與振源的振動(dòng)相位差各為多少?(2)這4點(diǎn)的

16、初相位各為多少?(3)這4點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻比振源落后多少? 解 (1) (2) (3) 10-2 波源做諧振動(dòng),周期為,振幅為,經(jīng)平衡位置向y軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí),作為計(jì)時(shí)起點(diǎn),設(shè)此振動(dòng)以的速度沿x軸的正方向傳播,試寫(xiě)出波動(dòng)方程。 解 根據(jù)題意可知,波源振動(dòng)的相位為 波動(dòng)方程 10-3 一平面簡(jiǎn)諧波的波

17、動(dòng)方程為,求(1)此波的頻率、周期、波長(zhǎng)、波速和振幅;(2)求x軸上各質(zhì)元振動(dòng)的最大速度和最大加速度。 解 (1)比較系數(shù)法 將波動(dòng)方程改寫(xiě)成 與 比較得 (2)各質(zhì)元的速度為 所以 各質(zhì)元的加速度為 所以 10-4 設(shè)在某一時(shí)刻的橫波波形曲

18、線的一部分如圖10.1所示。若波向x軸正方向傳播,(1)試分析用箭頭表明原點(diǎn)0,1,2,3,4等點(diǎn)在此時(shí)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì);(2)確定此時(shí)刻這些點(diǎn)的振動(dòng)初相位;(3)若波向x軸的正方向傳播,這些點(diǎn)的振動(dòng)初相位為多少? 解 (1)因?yàn)椴ㄊ茄豿軸的正方向傳播的,所以下一個(gè)時(shí)刻的波形如圖10.1中虛線所示。由圖可知:O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)向y軸正方向;1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)向y軸的正方向;2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)向y軸的負(fù)方向;3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)向y軸的負(fù)方向;4點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)向y軸的正方向。 (2) 各點(diǎn)的振動(dòng)的初相位分別為 (3)若波向x軸的負(fù)方向傳播,則各點(diǎn)振動(dòng)的初相

19、位分別為 10-5 一平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為 (1)求該波的振幅、周期、圓頻率、頻率波速和波長(zhǎng);(2)設(shè)處為波源,求距波源0.125m及1m處的振動(dòng)方程,并分別繪出它們的y-t圖;(3)求t=0.01s及t=0.02s時(shí)的波動(dòng)方程,并繪出對(duì)應(yīng)時(shí)刻的波形圖。 解 (1)將波動(dòng)方程變?yōu)? 與 相比較得 (2)將x=0.125m及x=1m代入波動(dòng)方程,得振動(dòng)方程分別為

20、 繪y-t圖如圖10.2(a)所示。 (3)將t=0.01s及t=0.02s代入波動(dòng)方程,得兩時(shí)刻的波方程分別為 兩時(shí)刻的波形圖如圖10.2(b)所示。 10-6 一平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為 (1)x=0.2m處的質(zhì)元在t=2.1s時(shí)刻的振動(dòng)相位為多少?此相位所描述的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何? (2)此相位值在哪一時(shí)刻傳至0.4m處? 解 (1)將t=0.01s及t=0.02s代入波動(dòng)方程得 此質(zhì)元在此時(shí)刻的位置為

21、 速度為 (2)將x=0.4m代入有 得 10-7 一波源做簡(jiǎn)諧振動(dòng),周期為0.01s,振幅為0.1m,經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn),設(shè)此振動(dòng)以的速度沿直線傳播, (1)寫(xiě)出波動(dòng)方程; (2)求距波源16m處和20m處的質(zhì)元的振動(dòng)方程和初相位; (3)求距波源15m處和16m處的兩質(zhì)元的相位差是多少? 解 (1)取波源的傳播方向?yàn)閤軸的正向,由題意可知波源振動(dòng)的初相位為,,所以波方程為

22、 (2)將x=16m和x=20m代入波動(dòng)方程得振動(dòng)方程為 所以初相位分別是 (3) 距波源15m和16m處的兩質(zhì)元的相位差為 10-8 有一波在媒介中傳播,其速度,振幅,頻率,若媒介的密度為, (1) 求該波的平均能流密度; (2)求1min內(nèi)垂直通過(guò)一面積為的總能量。 解 (1)由知道,該波的平均能流密度為 (2) 1min內(nèi)垂直通

23、過(guò)一面積為 的總能量為 10-9 一平面簡(jiǎn)諧波沿直徑為0.14m的圓柱形管行進(jìn)(管中充滿空氣),波的強(qiáng)度為,頻率為 300Hz,波速為,問(wèn): (1) 波的平均能量密度和最大能量密度是多少? (2)每?jī)蓚€(gè)相鄰的,相位差為的波振面之間的波段中有多少能量? 解 (1)波的平均能量密度為 最大能量密度 (2)波長(zhǎng) 所以每?jī)蓚€(gè)相鄰的,相位差為的波段中的能量為

24、 10-10 兩相干波源分別在P,Q兩處,它們相距,如圖10.3所示。由P,Q發(fā)出頻率為,波長(zhǎng)為的相干波。R為PQ連線上的一點(diǎn),求下面的兩種情況兩波在R點(diǎn)的和振幅:(1)設(shè)兩波源有相同的初相位;(2)兩波源初相位為。 解 (1)設(shè)兩波源有相同的初相位,P,Q兩波源在R點(diǎn)引起振動(dòng)的相位差為 所以和振幅為 (2) 因?yàn)閮刹ㄔ吹某跸辔徊顬椋僭O(shè)P振動(dòng)相位超前Q振動(dòng)相位),P,Q兩波源在R點(diǎn)引起振動(dòng)的相位差為

25、 所以合振幅為 10-11 兩個(gè)波在一根很長(zhǎng)的細(xì)繩上傳播,它們的方程分別為 式中,x,y以m計(jì),t以s計(jì)。 (1) 試證明這細(xì)繩實(shí)際上作駐波振動(dòng),并求波節(jié)和波腹的位置; (2) 波腹處的振幅為多大?在x=1.2m處質(zhì)元的振幅多大? 解 (1)任意質(zhì)元在任意時(shí)刻的位移為 所以這細(xì)繩實(shí)際上做駐波式振動(dòng)。 波節(jié)位置為,即 波腹位置為,即 (2) 波腹處的振幅為 在x=1.2m處質(zhì)元的振幅為 10-12 繩索上的駐波公式為:,求 形成該駐波的兩反向行進(jìn)波的振幅、波長(zhǎng)和波速。 解 把與駐波的標(biāo)準(zhǔn)形式線比較得: 10-13 一警笛發(fā)射頻率為1500Hz的聲波,并以的速度向著觀測(cè)者運(yùn)動(dòng),觀測(cè)者相對(duì)與空氣靜止,求觀測(cè)者所聽(tīng)到的警笛發(fā)出聲音的頻率是多少?(設(shè)空氣中的聲速為) 解 觀測(cè)者所聽(tīng)到的警笛發(fā)出的聲音的頻率為

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