(新課程)高中數(shù)學(xué)《第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》章末質(zhì)量評(píng)估新人教A版選修1-2
《(新課程)高中數(shù)學(xué)《第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》章末質(zhì)量評(píng)估新人教A版選修1-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課程)高中數(shù)學(xué)《第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》章末質(zhì)量評(píng)估新人教A版選修1-2(12頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 高中新課程數(shù)學(xué)(新課標(biāo)人教 A 版)選修 1-2 《第三章 數(shù)系的 擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》章末質(zhì)量評(píng)估 ( 時(shí)間: 100 分鐘 滿分: 120 分 ) 一、選擇題 ( 本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一 項(xiàng)是正確的 ) 1. a= 0 是復(fù)數(shù) z= a+ bi( a,b∈ R) 為純虛數(shù)的 ( ) . A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 復(fù)數(shù) z= a+ bi( a, b∈ R) 為純虛數(shù)的充要條
2、件是 a=0 且 b≠0. 答案 B 2.復(fù)數(shù) 1- i 2 + i( , ∈R, i 是虛數(shù)單位 ) ,則 a 2 b 2 的值為 = - 2 a b a b ( ) . A. 0 B .1 C . 2 D .- 1 1-i 2 1- 2i + i 2 解析 = =- i = a+ bi. 2 2 2 2 所以 a= 0, b=- 1,所以 a -b = 0- 1=- 1.
3、 3.已知復(fù)數(shù) z = 3+ 4i , z = t +i ,且 z z 是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù) t 等于 1 2 1 2 ( ) . 3 4 A. 4 B. 3 4 3 C.- 3 D.- 4 解析 z z = (3 + 4i)(
4、 t - i) = (3 t + 4) + (4 t - 3)i. 因?yàn)?z z 是實(shí)數(shù), 所以 4t - 3 1 2 1 2 = 0,所以 t = 3 4. 因此選 A. 答案 A 4.如圖在復(fù)平面上,一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是 1+ 2i ,- 2+ i,0 ,那么這 個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
5、 ( ) . 1 A. 3+ i B. 3-i C. 1- 3i D.- 1+ 3i → → → 解析 OC= OA + OB = 1+ 2i -2+ i =- 1+ 3i ,所以 C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為- 1+ 3i. 答案 D 5.設(shè) z∈C,若 z2 為純虛數(shù),則 z 在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在 ( ) .
6、 A.實(shí)軸上 B.虛軸上 C.直線 y= x( x≠0) 上 D.以上都不對(duì) 解析 設(shè) z= x+ yi( x, y∈ R) , 則 z2= ( x+yi) 2= x2- y2+2xyi. ∵ z2 為純虛數(shù),∴ x2- y2= 0, xy≠0. ∴ y= x( x≠0) . 答案 C 1
7、 6.已知復(fù)數(shù) z= x+yi( x, y∈R, x≥ 2) ,滿足 | z-1| = x,那么 z 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn) ( x, y) 的軌跡是 ( ) . A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析 ∵ z= x+ yi( 1 x, y∈R,x≥ ) ,滿足 | z- 1| = x, 2
8、 ∴ ( x - 1) 2+ y 2= x 2,故 y 2= 2 - 1. x 答案 D 7.當(dāng) z=- 1- i 時(shí), z100+ z50 +1 的值等于 2 ( ) . A. 1 B.- 1 2 C. i D.- i 2 1- i 2 - 2i 解析 ∵ z = 2 = 2 =- i. ∴ z100+z50
9、+ 1= ( -i) 50+ ( - i) 25+ 1= i 50- i 25+ 1=- i. 答案 D 8.復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ,將點(diǎn) A 繞坐標(biāo)原點(diǎn),按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) π ,再向左平 A 2 移一個(gè)單位,向下平移一個(gè)單位,得到 B 點(diǎn),此時(shí)點(diǎn) B 與點(diǎn) A 恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱, 則復(fù)數(shù) z 為
10、 () . A.- 1 B. 1 C. i D.- i 解析 設(shè) z=a+ bi ,B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z1,則 z1= ( a+bi)i - 1- i = ( - b-1) + ( a- 1)i , ∵點(diǎn) B 與點(diǎn) A 恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱, - b-1=- a, ∴ a- 1=- b, a= 1, ∴ ∴ z= 1. b= 0, 答案 B 9.如果復(fù)數(shù) z 滿足 | z+ i| +| z- i| =2,
11、那么 | z+ 1+ i| 的最小值是 ( ) . A. 1 B. 2 C. 2 D. 5 解析 | z+i| + | z- i| = 2,則點(diǎn) Z 在以 (0,1) 和 (0 ,- 1) 為端點(diǎn)的線段上, | z+1+ i| 表示點(diǎn) Z 到( - 1,- 1) 的距離.由圖知最小值為 1. 答案 A 10.設(shè) z1, z2 是復(fù)數(shù),則下列結(jié)論中正確的是 ( ) . A.若 z21+z22>0,則 z21>-z22 3
12、B. | z 1- 2| = z 1+ z 2 2- 4 1 2 z z z 2 2 C. z1+ z2= 0? z1= z2= 0 - D. | z 2 | z | 2 | = 1 1 解析 A 錯(cuò),反例: z1= 2+ i , z2= 2- i ; B 錯(cuò),反例: z1= 2+ i , z2= 2- i ; C 錯(cuò),反例: z1
13、= 1, z2= i ; D 正確, z1= a+ bi , - 2 2 2 ,| z 2 2 2 則 | z | = a + b | = a + b , 1 1 - 2 2 故 | z1| = | z 1| . 答案 D 二、填空題 ( 本大題共 4 小題,每小題 4 分,共 16 分.把正確的答案填在題中橫線上) 1 11.在復(fù)平面內(nèi),已
14、知復(fù)數(shù) z= x- 3i 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓內(nèi),則實(shí)數(shù) x 的取值范圍是 ________. 解析 ∵ z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) Z x,- 1 都在單位圓內(nèi), 3 ∴ | OZ|<1 ,即 x 2 - 1 2 <1. + 3 2 1 2 8 2 2 2 2 ∴ x +
15、 9<1,∴ x <9,∴-
3
16、
解 析
由 定 義 運(yùn) 算 , 得
z
1
= 2 i -
z
= 3 + 2i , 則
z
= 3+ 2i
=
z
2i
z
- 1+ 2i
+
- 1-
1
8
- 1+
- 1-
= 5- 5i.
1 8
答案 5-5i
x y 5
13.設(shè) x,y 為實(shí)數(shù),且 1- i + 1- 2i = 1- 3i ,則 17、x+ y=
________.
4
解 析
-
x
y
5
x
+
y
+
1-i + 1- 2i
=
1- 3i ?
-
+
+
+
-
=
1
1
1
+
1
1
1
2x+ 5y=2,
+
? 2 x(1 + i)
+
5 y(1
+ 2i)
=
2(1
+ 3i)
?
1
2y
18、
3
解得
2x+ 5 =2,
x=- 1,
y= 5,
所以 x+ y= 4.
答案 4
14.已知復(fù)數(shù) z = 3+ 2i ,復(fù)數(shù) z 滿足 zz = 3z+ z ,則復(fù)數(shù) z= ________.
0
0
0
z03+2i
3i - 23
解析 z=z0-3= 2i
= - 2 = 1- 2i
3
答案 1-2i
三、解答題 ( 本題共 5 小題,共 54 分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 )
- -
19、
15. (10 分) 若 f ( z) = 2z+ z - 3i , f ( z + i) = 6- 3i ,試求 f ( - z) .
-
解 f ( z) =2z+ z - 3i ,
- - -
∴ f ( z + i) = 2( z + i) + z + i - 3i
-
= 2 z + 2i + z- i -3i
-
= 2 z + z-2i.
-
又知 f ( z + i) = 6-3i ,
-
∴ 2 z + z-2i = 6-3i ,
-
設(shè) z= a+bi( a、 b∈R) ,則 z = a- 20、 bi ,
∴ 2( a- bi) + ( a+ bi) - 2i = 6- 3i ,即 3a- ( b+ 2)i = 6- 3i ,
3a= 6, a= 2,
由復(fù)數(shù)相等的定義,得 解得
b+ 2= 3. b= 1.
5
∴ z= 2+ i.
故 f ( - z) = f ( - 2-i) = 2( - 2- i) +( - 2+ i) - 3i
=- 6- 4i.
2
+ + - 2
16. (10 分) 設(shè)復(fù)數(shù) z= ,若 z + az+ b= 1+ i ,求實(shí)數(shù) a、b 的值.
解
z=
+
2 21、+
-2i
+
-
2+ i
=
2
+ i
3- i
-
-
= 1- i.
= 2+ i =
+
-
將
z
= 1-i 代入
z
2+
az
+ = 1+ i ,得
b
(1 - i) 2+ a(1 - i) +b= 1+ i , ( a+ b) - ( a+ 2)i
=1+ i ,
a+ b= 1,
所以
- a+ = 1.
a=- 3,
所以 22、
b= 4.
17. (10 分) 已知
z
是復(fù)數(shù),
z
+ 2i 、
z
均為實(shí)數(shù) (i
為虛數(shù)單位 ) ,且復(fù)數(shù) (
z
+ i) 2
在復(fù)平
2- i
a
面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)
a 的取值范圍.
解 設(shè) z=x+ yi( x, y∈ R) ,
∵ z+ 2i
=x+ ( y+ 2)i ,由題意得 y=- 2.
z
x- 2i
1
23、
∵ 2- i = 2- i = 5( x- 2i)(2 + i)
1 1
= 5(2 x+ 2) + 5( x-4)i.
由題意得 x= 4,∴ z= 4- 2i.
∵ ( z+ ai) 2= (12 + 4a- a2) + 8( a- 2)i.
12+ 4a- a2>0
根據(jù)條件,可知
,解得 2< <6.
a-
a
∴實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 (2,6)
.
18. (12 分) 在復(fù)平面內(nèi) A, B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為
1,2 + i ,- 1+ 2i 24、.
→ → →
(1) 求 AB , B C, AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);
(2) 判斷△ ABC的形狀;
(3) 求△ ABC的面積.
→
解 (1) AB 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
6
zB- zA= (2 + i) - 1= 1+i.
→
B C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
zC- zB= ( - 1+ 2i) - (2 + i) =- 3+ i.
→
A C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
C
A
- 1=- 2+ 2i.
z - z = ( - 1+ 2i)
→
(2)|
AB | =|1 + 25、i|
= 2,
→
| B C| = | -3+ i|
= 10,
→
| A C| = | -2+ 2i|
= 8.
→ → →
∴ | A B | 2+ | AC| 2= | BC| 2,
∴∠ A為直角,△ ABC為直角三角形.
→ →
1 1
(3) S△ABC=2| A B || AC| = 2 2 8= 2.
- -
19. (12 分) 已知 z1=x+ yi , z 1= x- yi( x、y∈ R) 且 x2+ y2= 1,z2= (3 + 4i) z1+ (3 - 4i) z
26、
1.
(1) 求證: z2∈ R;
(2) 求 z2 的最大值和最小值.
-
(1) 證明 ∵ z1= x+yi , z 1= x- yi( x, y∈R) ,
- -
∴ z1+ z 1= 2x, z1- z 1= 2yi.
-
∴ z2= (3 +4i) z1+ (3 -4i) z 1,
- -
= 3( z1+ z 1) + 4i( z1- z 1) .
= 6x+ 8yi 2= (6 x- 8y) ∈ R.
(2) 解 ∵x2+ y2= 1,
設(shè) u= 6x-8y,代入 x2+ y2= 1 消 27、去 y 得
64x2+ (6 x- u) 2= 64.
∴ 100x2- 12ux+ u2- 64= 0.
7
∵ x∈ R,∴ ≥0.
∴ 144u2-4100( u2-64) ≥0.
∴ u2-100≤0.
∴- 10≤ u≤10.
∴ z2 的最大值是 10,最小值是- 10.
8
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