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1、基本不等式
基本不等式
1. 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a b ,
,222a b ab +≥,當(dāng)且僅當(dāng)a b =時(shí),等號(hào)成立. 證明:2222()a b ab a b +-=-,當(dāng)a b ≠時(shí),2()0a b ->;當(dāng)a b =時(shí),2()=0a b -.222a b ab ∴+≥,當(dāng)且僅當(dāng)a b =時(shí),等號(hào)成立. 2. 如果a b ,
,是正數(shù),那么2
a b
+a b =時(shí),有等號(hào)成立.此結(jié)論又稱均值不等式或基本不等式.
證明:2220a b +-=+=≥
,即a b +≥
2
a b
+
3. 均值不等式的理解
(1) 對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a b ,
,2
a
2、 b
+叫做a b ,
a b ,的幾何平均值.此定理可以敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù).
(2) 對(duì)于
=“”的理解應(yīng)為a b =
是2a b +a b ≠
,則2
a b
+. (3) 注意222a b ab +≥
和2
a b
+>a b R ∈,
,后者是+a b R ∈, 4. 極值定理
(1)若x y s +=(和為定值),則當(dāng)x y =時(shí),xy 取得最大值是2
4
s ;
【證明】x y ,
都是正數(shù),2x y +x y s +=,2
2()24
x y s xy +≤=,當(dāng)且僅當(dāng)x y =時(shí),xy
取得最大值是2
4
3、
s ;
(2)若=xy p (積為定值),則當(dāng)x y =時(shí),x y +
取得最小值是;
【證明】x y ,
都是正數(shù),
2
x y
+≥,當(dāng)且僅當(dāng)x y =時(shí),等號(hào)成立.又=xy p ,x y +
≥.
運(yùn)用均值不等式的前提有口訣:一正二定三相等.
知識(shí)概括
5. 基本不等式的重要變形:
已知:a b +∈R 、(其中+R 表示正實(shí)數(shù)),有以下不等式:
2
112a b a b
++
2a b +稱為算術(shù)平均數(shù),
2a b +稱為調(diào)和平均數(shù).
證明:()2
22
1024a b a b +??-=- ???≥
∴2
2
2a b +??
4、 ???≥ ∵a b +∈R 、
2
a b
+,當(dāng)且僅當(dāng)“a b =”時(shí)等號(hào)成立.
22ab a b a b
==
+
+=
0=
2
11a b
+,當(dāng)且僅當(dāng)“a b =”時(shí)等號(hào)成立.
1.
均值不等式
【例1】 若0x >,則4
23x x
++的最小值是_________.
【例2】 已知3x ≥,求4
y x x
=+的最小值.
例題精講
【例3】 求函數(shù)3
12y x x
=--的取值范圍.
【例4】 設(shè)a 、b ∈R ,則3a b +=,則22a b +的最小值是_________.
【例5】 若00a b
5、 >>,
,且2a b +=,求22a b +的最小值.
【例6】 若a 、b +∈R ,且1a b +=,則ab 的最大值是 . 【例7】 若,
a b +∈R ,且1ab a b =++,分別求a b +和ab 的最小值.
【例8】 設(shè)0024a b a b ab >>++=,
,,則( ) A .a(chǎn) b +有最大值8 B .a(chǎn) b +有最小值8 C .a(chǎn)b 有最大值8 D .a(chǎn)b 有最小值8
【例9】 已知00228x y x y xy >>++=,
,,則2x y +的最小值是( ) A . 3 B . 4 C .
92 D .11
2
【例10】 當(dāng)___x =時(shí)
6、,函數(shù)22(2)y x x =-有最 值,其值是 .
【例11】 函數(shù)()f x =
的最大值為( )
A .
25
B .
12
C D .1
【例12】 已知不等式()19a x y x y ??
++ ???
≥對(duì)任意正實(shí)數(shù)x y ,恒成立,則正實(shí)數(shù)a 的最小值為( )
A .8
B .6
C .4
D .2
【例13】 已知函數(shù)()|lg |f x x =,若0a b A .()+∞
B .)
?+∞?
C .(3)+∞,
D .[)3+∞,
【例14】 不等式210x ax ++≥對(duì)一切102x ??∈ ???
,成立,則a
7、的最小值為( )
A .0
B .2-
C .5
2
- D .3-
2.
配湊均值
【例15】 已知0t >,則函數(shù)241
t t y t
-+=的最小值為_(kāi)___________ .
【例16】 求函數(shù)2
y 的最小值.
【例17】 (1)求函數(shù)224
1
y x x =+
+的最小值,并求出取得最小值時(shí)的x 值.
(2)求y
【例18】 (1)已知54x ,求函數(shù)1
1454y x x
=-+-的最小值. (2)求函數(shù)3
12y x x
=--的取值范圍.
(3)求函數(shù)22(2)y x x =-的最大值.
3. “1
8、”在均值中的作用
【例19】 已知0x >,0y >,1x y +=,則1111x y ??
??++ ? ?????的最小值為
【例20】 設(shè)00,
a b >>,2a b +=,則14
y a b
=+的最小值為
【例21】 設(shè)00,
a b >>3a 與3b 的等比中項(xiàng),則11
a b +的最小值為( ) A .8 B .4 C .1 D .1
4
【例22】 已知給定正數(shù)a ,b 和未知數(shù)x ,y ,且0x >,0y >,滿足10a b +=,
1a b
x y
+=,x y +的最小值為18,求a ,b 的值.
【例23】 若A B C
9、,,
為ABC △的三個(gè)內(nèi)角,則41
A B C
+
+的最小值為 .
【例24】 設(shè)0a b >>,那么21
()
a b a b +
-的最小值為( )
A .2
B .3
C .4
D .5
【習(xí)題1】若0x >,則4
y x x
=+的最小值是___________.
【習(xí)題2】設(shè)函數(shù)1
()21(0)f x x x x =+
-B .有最小值
C .是增函數(shù)
D .是減函數(shù)
【習(xí)題3】若a 、b +∈R ,且1a b +=,則ab 的最大值是 ,此時(shí)a = ,b = .
【習(xí)題4
】求函數(shù)2y =的最小值.
課后作業(yè)