直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
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1、 直線與圓專題 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】: 1.熟練判斷直線與圓的位置關(guān)系,會求切線和弦長。 2.會用數(shù)形結(jié)合,函數(shù)思想求圓的有關(guān)最值。 【學(xué)習(xí)重點】:直線與圓的位置關(guān)系, 圓的最值問題 【學(xué)習(xí)難點】:圓的最值與圓的綜合應(yīng)用 一、【預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)】 1.直線與的位置關(guān)系有哪些?如何判定?(幾何法,代數(shù)法) 2.過點 (2, 2)作圓 (x-1) 2+ y2= 1 的切線 ,則切線的方程為 3 已知點 M (a,b)在圓 O:x2+ y2= 1 外, 則直線 ax+by= 1 與圓 O 的位置關(guān)系是 ( ) A.相切 B.相交 C.
2、相離 D .不確定 4. (2016 全國卷甲 ) 圓 x2+ y2- 2x- 8y+ 13= 0 的圓心到直線 ax+y- 1= 0 的距離為 1, 則 a= ( ) 4 3 A.- 3 B .- 4 C. 3 D. 2 5.若直線 與圓 相交于 兩點,且 ,則 k 的取值范圍是 A. ∞ B. ∞ C.∞ D. ∞ 6.(2018 廈門模擬 )設(shè)點 P(x, y)是圓: x 2+ (y- 3)2= 1 上的動點,定點 A(2, 0), B(-
3、 2, 0),則 PA PB 的最大值為 ________. 二、【探究合作】 探究一 :直線與圓位置關(guān)系(切線,弦長問題) 1. 直線 l : y x b 與曲線 C : y 1 x2 有兩個公共點,求 b 的取值范圍 。 變式: (2016 高考全國卷 )已知直線 l: mx+ y+ 3m- 3= 0 與圓 x2+ y2= 12 交于 A, B 兩點,過 A,B 分別作 l 的垂線與 x 軸交于 C,D 兩點.若 |AB|= 2 3,則|CD |= ________. 探究二 :圓的最值問題
4、 2.已知實數(shù) x, y 滿足方程 x2+ y2- 4x+ 1= 0. (1) 求 y的最大值和最小值; x (2) 求 y- x 的最大值和最小值. (3) 求 x2+y2 的最大值和最小值 第 1 頁,共 8 頁 變式:已知直線 l : 2mx y 8m 3 0 和圓 C : x2 y 2 6x 12 y 20 0 ; 1 m R 時,證明 l 與 C 總相交; 2 m 取何值時, l 被 C 截得弦長最短,求此弦長 探究三:隱藏圓問題 3.( 2018 深圳一模)如圖
5、 ,在 ABC 中, ABC 90 , AC 2BC 2 3 , P 是 ABC 內(nèi)一動點, BPC 120 ,則 AP 的最小值為 。 變式:( 2013 湖南卷)已知 a, b 是單位向量, a b 0 ,若該平面 內(nèi)的向量 c 滿足 c a b 1則 c 的取值范圍是( ) A. 2 1, 2 1 B. 2 1, 2 2 C. 1, 2 1 D . 1, 2 2 探究四:直線與圓錐曲線綜合問題 4.(2018 高考全國卷 Ⅱ )設(shè)拋物線 C:y2= 4x 的焦點為 F ,過 F 且斜率為 k
6、(k>0) 的直線 l 與 C 交于 A,B 兩點, |AB|= 8. (1)求 l 的方程; (2)求過點 A, B 且與 C 的準(zhǔn)線相切的圓的方程. x2 y2 變式: (2017 高考全國卷乙 )已知雙曲線 C:a2- b2= 1(a>0,b>0) 的右頂點為 A,以 A 為 圓心, b 為半徑作圓 A,圓 A 與雙曲線 C 的一條漸近線交于 M、 N 兩點.若∠ MAN = 60,則 C 的離心率為 ________. 三、【課堂練習(xí) 】 ( 2019 年五校聯(lián)盟)已知極坐標(biāo)系的極點
7、與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與直角坐標(biāo) x= 3+ 2cos α, 系中 x 軸的正半軸重合.若曲線 C 的參數(shù)方程為 ( α為參數(shù) ),直線 l y= 2sin α π 的極坐標(biāo)方程為 2ρsinθ- 4 = 1. ①將曲線 C 的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程; ②由直線 l 上一點向曲線 C 引切線,求切線長的最小值. 四、【歸納反思 】 第 2 頁,共 8 頁 直線與圓專題訓(xùn)練 1. 設(shè)直線 y= x+2a 與圓 C:x2+y2-2ay-2= 0 相交于 A,B 兩點,若 ,則圓 C 的面
8、積為 __________ . 2. 已知 1 , 與 的夾角為 120 ,則 的最大值 。 3. 如果實數(shù) x, y滿足圓 (x- 2)2+y2= 1,那么 y+3的取值范圍是 ________.x- 1 4. 由直線 y= x+ 1 上的一點向圓 x2- 6x+ y2+ 8= 0 引切線,則切線長的最小值為 ________. 5.已知圓的方程為 ,過點 的該圓的所有弦中, 最短弦的長為 A. B. 1 C. 2 D. 4 6.(2016 高考全國卷乙 )以拋物線 C 的頂點為圓心的圓交 C 于 A,B 兩
9、點, 交 C 的準(zhǔn)線于 D ,E 兩點.已知 |AB|= 4 2, |DE |= 2 5,則 C 的焦點到準(zhǔn)線的距離為 () A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 x2 y2 7. (2016 高考天津卷 )已知雙曲線 4 - b2= 1(b>0),以原點為圓心,雙曲線的實半軸長為 半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于 A, B, C, D 四點,四邊形 ABCD 的面積為 2b,則雙曲線的方程為 () 2 2 2 2 A. x
10、- 3y = 1 B.x - 4y = 1 4 4 4 3 2 2 2 2 C. x - y =1 D.x - y = 1 4 4 4 12 8. (2017 高考全國卷甲 x2 y2 2 2 )若雙曲線 C: 2 - 2= 1(a>0 , b>0)的一條漸近線被圓 (x- 2) + y a b
11、 = 4 所截得的弦長為 2,則 C 的離心率為 ( ) A. 2 B. 3 2 3 C. 2 D. 3 2 2 x y A1, A2,且 9.(2017 高考全國卷丙 )已知橢圓 C: a2+ b2= 1(a>b>0)的左、右頂點分別為 以線段 A1
12、A2 為直徑的圓與直線 bx- ay+ 2ab=0 相切,則 C 的離心率為 ( ) 6 3 2 1 A. 3 B . 3 C. 3 D . 3 10. (2016 高考全國卷甲 )在直角坐標(biāo)系 xOy 中,圓 C 的方程為 (x+ 6)2+ y2= 25. (1)以坐標(biāo)原點為極點, x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求 C 的極坐標(biāo)方程; (2)直線 l 的參數(shù)方程是 x= tcos α, 10, ( t 為參數(shù) ),l 與
13、 C 交于 A, B 兩點, |AB|= y= tsin α 求 l 的斜率. 11.(2018 考全國卷高 Ⅰ )直角坐標(biāo)系 xOy 中,曲線 C1 的方程為 y= k|x|+ 2.以坐標(biāo)原點 第 3 頁,共 8 頁 為極點, x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為 ρ 2 +2ρcosθ- 3= 0. (1)求 C2 的直角坐標(biāo)方程; (2)若 C1 與 C2 有且僅有三個公共點,求 C1 的方程. x= cos θ 12.(2018 高考全國卷
14、Ⅲ )在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,⊙ O 的參數(shù)方程為 ( θ為 y= sin θ 參數(shù) ),過點 (0,- 2)且傾斜角為 α的直線 l 與⊙ O 交于 A ,B 兩點. (1)求 α的取值范圍; (2)求 AB 中點 P 的軌跡的參數(shù)方程. 2 2 13. (2016 高考全國卷乙 )設(shè)圓 x + y + 2x- 15= 0 的圓心為 x 軸不重合, l 交圓 A 于 C, D 兩點,過 B 作 AC 的平行線交 (1)證明 |EA|+ |EB|為定值,并寫出點 E 的軌跡方程;
15、 A,直線 l 過點 B(1, 0)且與 AD 于點 E. (2)設(shè)點 E 的軌跡為曲線 C1,直線 l 交 C1 于 M, N 兩點,過 B 且與 l 垂直的直線與圓 A 交于 P,Q 兩點,求四邊形 MPNQ 面積的取值范圍. 14.(2017 高考全國卷丙 )已知拋物線 C:y2= 2x,過點 (2,0) 的直線 l 交 C 與 A,B 兩點,圓 M 是以線段 AB 為直徑的圓. (1)證明:坐標(biāo)原點 O 在圓 M 上; (2)設(shè)圓 M 過
16、點 P(4,- 2),求直線 l 與圓 M 的方程. 課題:直線與圓的教學(xué)設(shè)計 第 4 頁,共 8 頁 渭南高級中學(xué) 張磊 一、教材分析 本節(jié)課選自高三二輪復(fù)習(xí)中《直線與圓》的專題復(fù)習(xí)。從在教材中的地 位與作用來看《直線與圓》是解析幾何部分的重要章節(jié), 是高考的重要考點。 它不僅在直線方程和圓的方程知識的延續(xù)與拓展,又為復(fù)習(xí)橢圓,雙曲線與 拋物線打好基礎(chǔ),起著承上啟下的作用。從學(xué)科思維上看,直線與圓部分應(yīng) 用過程中體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合,代數(shù)方法處理幾何問題重要思想
17、。 二、學(xué)情分析 學(xué)生一輪復(fù)習(xí)中已經(jīng)復(fù)習(xí)直線與圓的知識和部分圓錐曲線的知識。能夠基本解決一些題型,掌握解析幾何的一些常用數(shù)學(xué)思想方法,由于時間間隔較長,學(xué)生往往容易淡忘,尤其是在使用的過程中還不夠熟練,規(guī)律方法總結(jié)上缺乏系統(tǒng)性。本節(jié)課通過主要典型題目起到復(fù)習(xí)基本知識總結(jié)規(guī)律的作用。對直線與圓的幾何法加強理解和應(yīng)用,對高考題目隱藏圓問題進(jìn)入詳細(xì)分析,起到深化知識,統(tǒng)一方法的目的。 三、設(shè)計思想 本節(jié)課采用互動探究式課堂教學(xué)模式,即在教學(xué)過程中,在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下,讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動,深入探討。讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí),在“主動”中發(fā)展,在“合
18、作”中增知,在“探究”中創(chuàng)新。 四、教學(xué)目標(biāo) 知識與技能目標(biāo) 1、能夠應(yīng)用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系。 2、會用數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造求解隱藏圓問題。 過程與方法目標(biāo) 1、通過觀察、討論、小組合作,展示等數(shù)學(xué)活動培養(yǎng)分析問題解決問題的能力。 2、通過直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用,求解構(gòu)造隱藏圓問題滲透數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 情感與態(tài)度目標(biāo) 1、通過創(chuàng)設(shè)問題情境, 激發(fā)學(xué)生興趣, 讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)活動中探索和創(chuàng)造,感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。 2、通過學(xué)生展示,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,在學(xué)習(xí)活動中獲得成功的喜悅。 五、教學(xué)重點與難點 重點
19、:直線與圓的位置關(guān)系。 難點:構(gòu)造求解隱藏圓問題。 六、教學(xué)過程 教學(xué)過程 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計意圖 第 5 頁,共 8 頁 問題探究 師生活動 一、課題導(dǎo)入 學(xué)習(xí) 2018 年直線圓的高考考綱 學(xué)生代表誦讀考 綱 二、復(fù)習(xí)鞏固 1. 問題 : 如何判斷直線與圓的位置關(guān)系?有幾種方法? 1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩 種方法: (1) 幾何法:利用圓心到直線的距離 d 教師提問,學(xué)生回答。 和圓半徑 r 的大小關(guān)系: d<r ? 相交; d=r? 相切; d> r? 相
20、 離. 0 相交 (2) 代數(shù)法: =0 相切 0 相離 2. 問題:在直線與圓的位置關(guān)系判斷中你覺那種方法較方便? 緊扣高考大綱,有的放矢復(fù)習(xí)備考。 通過復(fù)習(xí)回顧喚醒學(xué)生的記憶,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作出鋪墊。 讓學(xué)生通過自己做題經(jīng)驗總結(jié)較優(yōu)方法,體現(xiàn)以學(xué)生為中心。 三、探究新知 探究一:切線與弦長(略) 探究二:圓的最值
21、(略) 探究三:隱藏圓問題 學(xué)生先獨立思考, 小組討論,黑板展 在師生互動 示,教師點評。 中,讓學(xué)生通 第 6 頁,共 8 頁 ( 2018 深圳一模)如圖 ,在 ABC 中, ABC 90 , AC 2BC 2 3 ,P 是 ABC 內(nèi)一動點, BPC 120 ,則 AP 的最小值 為 。
22、 學(xué)生練習(xí),教師點評 過觀察、分析、討論和展示自己得出方法和結(jié)論??梢约由钣∠箦憻捘芰Γ囵B(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 變式:( 2013 湖南卷)已知 a, b 是單位向量, a b 0 ,若該平面內(nèi)的向量 c 滿足 c a b 1則 c 的取值范圍是( ) A. 2 1, 2 1 B. 2 1, 2 2 C. 1, 2 1 D . 1, 2 2 通過變式訓(xùn) 練起到鞏固 知識發(fā)散學(xué) 生思維。 探究四
23、:圓與圓錐曲線的綜合(略) 四、內(nèi)容小結(jié) 1、本節(jié)課你學(xué)會了哪些知識? ( 1)幾何法判斷直線與圓位置關(guān)系。 ( 2)隱藏圓問題的構(gòu)造方法。 2、本節(jié)課體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法 ? 數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化,構(gòu)造的思想方法 五、課后作業(yè) 必做 : 教材大二輪 P43 第 1,2,5 題, 選做 : 教材 P43 第 2 題。 六、教學(xué)反思 回顧,反思、 學(xué)生完成課堂總結(jié), 總結(jié)形成知識 教師完善點評 體系 第 7 頁,
24、共 8 頁 本節(jié)課授課對象為實驗班的學(xué)生,學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好。所以采用了探究教 學(xué)的方式,大部分內(nèi)容由學(xué)生自行探究討論完成。教學(xué)設(shè)計從學(xué)生的角度出 發(fā),采用“教師設(shè)計問題與活動引導(dǎo)”與“學(xué)生積極主動探究”相結(jié)合的方 法分成四個步驟層次分明( 1)復(fù)習(xí)考綱、布疑激趣( 2)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué) 地觀察問題,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型( 3)數(shù)學(xué)應(yīng)用 ( 4)知識評估。學(xué)生在提前導(dǎo)學(xué)案的前提下,在教師預(yù)設(shè)的思路中,一步步發(fā)現(xiàn)了規(guī)律方法,感受到了創(chuàng)造的快樂,激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好,教學(xué)的知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實。 第 8 頁,共 8 頁
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