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1、1第 一 課 時(shí) 第 十 四 章 數(shù) 列 2 1.數(shù)列的概念按照 排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列.一般用 表示.2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系（1）從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以視為是以_為定義域的函數(shù)an=f（n）當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列 .一定順序an 正整數(shù)集N*（或它的有限子集1，2，3，n）函數(shù)值 3 （2）同函數(shù)一樣，數(shù)列有_三種表示法.3.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與_ 之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子 來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.4.數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列an的首項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）,且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么

2、這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式. an=f（n） 列表法、圖象法、解析法 序號(hào)n 4 1.寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： （1）聯(lián)想數(shù)列2，4，8，16，32，可得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n-1.11371531（），1 9 252 2 82 2 2 （）， 5 （2）將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù) ，可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .2.若數(shù)列an中，a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，a5=15，則 . a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,an-an-1=n,將各式相加得an-a1=2+3+4+n，所以 .1 4 9 16 252 2 2 2 2 ，211 2nn na

3、（）1 12na n n （）1 12na n n （） 6 3.在數(shù)列an中，若a1=1，an+1=2an+3（n1），則該數(shù)列的通項(xiàng)公式是 . 由已知可得a1=1=22-3，a2=5=23-3，a3=13=24-3，a4=29=25-3.所以an=2n+1-3.an=2n+1-3 7 4.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+1-Sn=an（n N*），則數(shù)列an一定是（ ）A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列 D.擺動(dòng)數(shù)列 因?yàn)閍n=Sn+1-Sn=an+1,故數(shù)列an是常數(shù)列. C 8 5.數(shù)列an中,an=-2n2+29n+3，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（ ）A. 107 B. 108C.

4、108 D. 109 因?yàn)樗裕?dāng)n=7時(shí)，an最大且等于108，故選B. B1 8 2229 292 34 8na n （）， 9 1.數(shù)列的概念（1）已知數(shù)列 則 是它的第 項(xiàng)；此數(shù)列的第9項(xiàng)是 .（2）若數(shù)列an前n項(xiàng)的和Sn=0（n N*），則此數(shù)列是 .A. 遞增數(shù)列 B. 遞減數(shù)列C. 常數(shù)列 D. 常數(shù)列或擺動(dòng)數(shù)列7 C 20, 3,2 2, 15,2 6, , 1, .n 4 3 4 5 10 2.通項(xiàng)公式數(shù)列1，3，3，5，5，7，7，9，9，的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .3.遞推公式若數(shù)列an滿足a1=0， 則a4= .0 1 12 nna n （）1 3 *3 1nn naa n

5、Na （）， 115.前n項(xiàng)的和（1）已知數(shù)列a n 的前n項(xiàng)和Sn=k（3n-1），若a1=4,則k= .（2）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=（-1）n+1n，則a5+a6= . 2 -2 4.數(shù)列與函數(shù)對(duì)任意n N*，點(diǎn)P（n,an）都在函數(shù)y=2x+1的圖象上，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 .an=2n+1 12 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2-5n-14（n N*）.（1）求a2,a3,a4；（2）判斷22是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由；（3）求該數(shù)列中的最小項(xiàng)及相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；（4）當(dāng)n取何值時(shí)，該數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn取得最小值？數(shù) 列 的 概 念 13 （1）a2=-

6、20,a3=-20,a4=-18.（2）設(shè)22是該數(shù)列的第n項(xiàng).由n2-5n-14=22，得n=9（另一根n=-40,則數(shù)列an是遞增數(shù)列;若an+1-an0,則數(shù)列an是遞減數(shù)列.例如:若 判斷an的單調(diào)性.因?yàn)樗詀n是遞增數(shù)列.1,n na n1 1 1 11 1 01 1n na a n nn n n n （），（） 30 二是利用函數(shù)的單調(diào)性：若函數(shù)y=f（x）在（0,+）上為增（減）函數(shù)，則數(shù)列an=f（n）在N*上為遞增數(shù)列.例如：若 判斷數(shù)列an的單調(diào)性.因?yàn)?在（0,+）上是減函 數(shù)，所以an是遞減數(shù)列.2 ,3 1n na n 2 213 1 3xf x x x （） 31

7、 4.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（1）要觀察、分析給出的數(shù)的特征，找出數(shù)列的一個(gè)構(gòu)成規(guī)律，歸納（猜想）出通項(xiàng)公式.如果能記住諸如n, ,n2,2n-1,2n,（-1）n等一些特殊的數(shù)列，對(duì)求通項(xiàng)公式是很有幫助的，再學(xué)會(huì)一些基本的變形就會(huì)如虎添翼了.例如：數(shù)列 中，分母的規(guī)律是明顯的：2n；第3個(gè)數(shù)出現(xiàn)了“-”號(hào)，第1個(gè)數(shù)也應(yīng)該有“-”號(hào)，1n1 1 5 13, , ,2 4 8 16 ， 32 故有（-1）n；從第2項(xiàng)開(kāi)始，分子比分母小3，第1項(xiàng)若變?yōu)?1，也比分母小3，這樣就找到了分子的規(guī)律：2n-3,所以（2）要注意的是并非所有的通項(xiàng)公式都存在，數(shù)列的通項(xiàng)公式也未必唯一.例如：數(shù)

8、列1，0，1，0，1，0，的通項(xiàng)公式可以是 也可以是2 31 .2nn na n （）1 12 nna （），|sin |2n na 1 .0na nn （是奇）或等（是偶）數(shù)數(shù) 33 5.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，方法有二：（1）求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，但做解答題時(shí)要用數(shù)學(xué)歸納法證明所得公式的正確性.（2）將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列的直接用公式求（后面再介紹）；變成an+1-an=f（n）型的用累加法；變成an+1an=f（n）型的用累乘法. 34 6.由數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，方法有二：（1）已知Sn=f（n）的用an=Sn-Sn-1

9、求an，但要注意n2這一條件，而a1=S1.例如：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. 35 an=Sn-Sn-1=2（n-1）（n2）.因?yàn)閍1=S1=1不適合上式, an=1 （n=1） 2（n-1）（n2,n N*）.（2）已知an與Sn的關(guān)系式，可用an=Sn-Sn-1轉(zhuǎn)化為an或Sn的遞推關(guān)系，再求an.所以 36 1.（2009北京卷）已知數(shù)列an滿足：a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n N*,則a2009= ;a2014= .2.（2008安徽卷）在數(shù)列an中，an=4n- a1+a2+an=an2+bn（n N*）,其中a,b為常數(shù)，則

10、ab= .1 0 5,2 37 Sn=a1+a2+an=4（1+2+3+n）- n=2n2- n=an2+bn,所以a=2,b=- ,則ab=-1.答案：-152 12 12 38 3.（2009湖北卷）已知數(shù)列an滿足：a1=m（m為正整數(shù)）, 則m所有可能的取值為 .1 6, 1,23 1n nn n na aa aa a 偶若奇當(dāng) 為 數(shù) 時(shí)當(dāng) 為 數(shù) 時(shí) 4,5,32 39 試 題 透 析 本節(jié)內(nèi)容在考試試題中主要考查觀察、歸納、猜想、推理、轉(zhuǎn)化等能力，有三個(gè)方面的立意：一是給出數(shù)列的關(guān)系式（有一定規(guī)律的一列數(shù)或數(shù)陣、通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式等）求通項(xiàng)公式或特殊項(xiàng)；二是判斷數(shù)列的類(lèi)型；三是用函數(shù)思想（單調(diào)性、最值等）、方程思想或不等式方法解決問(wèn)題.以小題形式出現(xiàn)居多，但也不排除數(shù)列與函數(shù)結(jié)合的解答題.