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1、實 驗 三求 代 數 方 程 的 近 似 根 (解 )數 學 實 驗 q 問 題 背 景 和 實 驗 目 的實 驗 三 、 近 似 求 解 代 數 方 程u 解 方 程 （ 代 數 方 程 ） 是 最 常 見 的 數 學 問 題 之 一 ， 也 是眾 多 應 用 領 域 中 不 可 避 免 的 問 題 之 一 。u 目 前 還 沒 有 一 般 的 解 析 方 法 來 求 解 非 線 性 方 程 ， 但 如果 在 任 意 給 定 的 精 度 下 ， 能 夠 解 出 方 程 的 近 似 解 ， 則 可以 認 為 求 解 問 題 已 基 本 解 決 ， 至 少 可 以 滿 足 實 際 需 要 。u

2、本 實 驗 主 要 介 紹 一 些 有 效 的 求 解 方 程 的 數 值 方 法 ： 對分 法 ， 迭 代 法 和 牛 頓 法 。 同 時 要 求 大 家 學 會 如 何 利 用Matlab 來 求 方 程 的 近 似 解 。 相 關 概 念0( )f x u 如 果 f(x) 是 一 次 多 項 式 ， 稱 上 面 的 方 程 為 線 性 方程 ； 否 則 稱 之 為 非 線 性 方 程 。q 線 性 方 程 與 非 線 性 方 程本 實 驗 主 要 討 論 非 線 性 方 程 的 數 值 求 解 q 基 本 思 想 對 分 法將 有 根 區(qū) 間 進 行 對 分 ， 判 斷 出 解 在 某

3、 個 分 段 內 ， 然 后再 對 該 段 對 分 ， 依 次 類 推 ， 直 到 滿 足 給 定 的 精 度 為 止 。q 適 用 范 圍求 有 根 區(qū) 間 內 的 單 根 或 奇 重 實 根 。q 數 學 原 理 ： 介 值 定 理設 f(x) 在 a, b 上 連 續(xù) ， 且 f(a) f(b)0， 則 由 介 值 定理 可 得 ， 在 (a, b) 內 至 少 存 在 一 點 使 得 f()=0。 q 具 體 步 驟 對 分 法設 方 程 在 區(qū) 間 a,b 內 連 續(xù) ， 且 f(a)f(b)0， 給 定精 度 要 求 ， 若 有 |f(x)| ， 則 x 就 是 我 們 所 需 要

4、的 f(x) 在 區(qū) 間 (a,b) 內 的 近 似 根 。；， 計 算令 )( 2/)( )1( 00 xfbax ；輸 出 結 果停 止 計 算 ， 的 近 似 根 ，就 是 我 們 所 要， 則若 000 |)(| )2( xxxxf ；否 則 令， 令若 bbxaxbaaxfaf 1010110 , ;, 0)()( )3( ；輸 出 結 果， 則 停 止 計 算 ，若令 11111 |)(|,2/)( )4( xxxfbax ；否 則 令， 令若 1212121211 , ;, 0)()( bbxaxbaaxfaf . .Matlab程 序 見 fulu1.m q 收 斂 性 分 析

5、 對 分 法 收 斂 性 = =1 1 11 1 1 1| | ( ) ( ) ( )2 2 2 2k k k k k kx b a b a b a 設 方 程 的 根 為 x* (ak , bk ) ， 又 ， 所 以2k kk a bx 0(k )對 分 法 總 是 收 斂 的u 但 對 分 法 的 收 斂 速 度 較 慢u 通 常 用 來 試 探 實 根 的 分 布 區(qū) 間 ， 或 給 出 根 的 一 個 較 為 粗 糙 的 近 似 。根 據 上 面 的 算 法 ， 我 們 可 以 得 到 一 個 每 次 縮 小 一 半 的區(qū) 間 序 列 ak , bk ， 在 (ak , bk ) 中

6、 含 有 方 程 的 根 。 迭 代 法q 基 本 思 想u 構 造 f (x) = 0 的 一 個 等 價 方 程 ： ( )x xu 從 某 個 近 似 根 x0 出 發(fā) ， 計 算得 到 一 個 迭 代 序 列 0k kx 1 ( )k kx x k = 0, 1, 2, . . (x) 的 不 動 點f (x) = 0 x = (x)等 價 變 換f (x) 的 零 點 u 若 收 斂 ， 即 ， 假 設 (x) 連 續(xù) ， 則q 收 斂 性 分 析迭 代 法 的 收 斂 性 1lim lim ( ) limk k kk k kx x x lim *kk x x *x ( *)x kx

7、* ( *)x x ( *) 0f x 即 注 ： 若 得 到 的 點 列 發(fā) 散 ， 則 迭 代 法 失 效 ！ q 定 義 ： 迭 代 法 收 斂 性 判 斷q 定 理 2： 如 果 定 理 1 的 條 件 成 立 ， 則 有 如 下 估 計 1 0| *| | |1 kk qx x x xq 11| *| | |1k k kx x x xq 如 果 存 在 x* 的 某 個 鄰域 =(x*- , x* + ), 使得 對 x0 開 始 的 迭 代 xk+1 = (xk) 都 收 斂 , 則 稱 該 迭 代 法 在 x* 附 近 局 部 收 斂。q 定 理 1： 設 x* =(x*)， 的

8、 某 個 鄰 域 內 連 續(xù) ， 且 對 x 都 有 |(x)|q 1, 則 對 x0 ， 由 迭代 xk+1 = (xk) 得 到 的 點 列 都 收 斂 。 迭 代 法 收 斂 性 判 斷 1 0| *| | |1 kk qx x x xq q 定 理 3： 已 知 方 程 x =(x)， 且(1) 對 xa, b，有 (x)a, b；(2) 對 xa, b，有 |(x)|q syms x f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x) g=diff(sin(x)+3*x2,x) f=inline(函 數 表 達 式,變 量 1,變 量 2,.)y=f(數值列表)代 入 的 數 值

9、列 表 順 序 應 與 定 義 時 的 變 量 名 順 序 一 致例 ： 附 錄 ： inlinel inline 命 令 可 以 用 來 定 義 一 個 內 聯 函 數l 調 用 方 式 ： u 這 種 函 數 定 義 方 式 是 將 f 作 為 一 個 內 部 函 數 調 用 。 其 特點 是 ： 調 用 方 式 最 接 近 于 我 們 平 時 對 函 數 的 定 義 ， 使 程 序更 具 可 讀 性 。 同 時 由 于 它 是 基 于 Matlab 的 數 值 計 算 內 核的 ， 所 以 它 的 運 算 速 度 較 快 ， 程 序 更 有 效 率 。u 這 種 定 義 方 式 的 缺 點 ：l 定 義 一 個 內 聯 函 數 用 去 的 內 存 空 間 比 相 同 條 件 下 其 他的 方 法 要 大 得 多 。l 該 方 法 只 能 對 數 值 進 行 代 入 ， 不 支 持 符 號 代 入 ， 并 且對 于 定 義 后 的 函 數 不 能 進 行 求 導 等 符 號 運 算 。自 定 義 函 數 方 式 （ 三 ） 自 定 義 函 數 方 式 （ 三 ） 教 材 ： P87, 4q 作 業(yè) （ 要 求 寫 實 驗 報 告 ）上 機 作 業(yè)