《《復(fù)變函數(shù)》PPT課件.pptx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《復(fù)變函數(shù)》PPT課件.pptx（33頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第 三 節(jié) 泰 勒 級(jí) 數(shù)二 、 泰 勒 定 理三 、 將 函 數(shù) 展 開 成 泰 勒 級(jí) 數(shù)一 、 問 題 的 引 入四 、 典 型 例 題五 、 小 結(jié) 與 思 考 2 一 、 問 題 的 引 入問 題 : 任 一 個(gè) 解 析 函 數(shù) 能 否 用 冪 級(jí) 數(shù) 來 表 達(dá) ？D Kz.內(nèi)任意點(diǎn), )( 內(nèi)解析在區(qū)域設(shè)函數(shù)Dzf , 0為中心的任一圓周內(nèi)以為zD如圖: r0z . K rz 0圓周. 0 rz , , KD記為它與它的內(nèi)部全包含于 3 由柯西積分公式 , 有 K zfizf ,d)(21)( 其中 K 取正方向. , , 的內(nèi)部在點(diǎn)上取在圓周因?yàn)榉e分變量KzK.1 00 zzz

2、所以000 1 111 zzzzz 則 4 200000 )()(11 zzzzzzz nzzz )( 00 0 010 .)()( 1n nn zzz 10 010 )()( d)(21)( Nn nK n zzzfizf 于是 K Nn nn zzzfi .d)()( )(21 010 5 由高階導(dǎo)數(shù)公式, 上式又可寫成 10 00)( )()(! )()( Nn Nnn zRzzn zfzf其中 K Nn nnN zzzfizR d)()( )(21)( 010,0)(lim zRNN若可知在K內(nèi) 0 00)( )(! )()( n nn zzn zfzf 6 , )( 內(nèi)可以用冪級(jí)數(shù)來

3、表示在即Kzf令qrzzzzz 000 , )( )(內(nèi)解析在DKDzf 則在K上連續(xù), ,10, qq且無關(guān)的量是與積分變量 , )( 上也連續(xù)在因此Kf , )(上有界在Kf 7 即存在一個(gè)正常數(shù)M, .)( MfK 上在szzzfzR K Nn nnN d)()( )(21)( 010 K Nn n szzzzf d)(21 000 Nn n rqrM 221 .1 qMqn 8 0lim nN q 0)(lim zRNN在內(nèi)成立,從而在K內(nèi) 圓周K的半徑可以任意增大,只要K內(nèi)成立.D在 0 00)( )(! )()( n nn zzn zfzf的泰 勒 展 開 式 ,)(zf在0z 泰

4、 勒 級(jí) 數(shù) 9 如果0z到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為,d那末)(zf在的泰勒展開式在內(nèi)成立dzz 0因?yàn)榉矟M足dzz 0的z必能使.dR 即由上討論得重要定理泰勒展開定理)(zf在的泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑R至少等于，d但成立， 0 00)( )(! )()( n nn zzn zfzf 10 二 、 泰 勒 定 理 ,2,1,0),(!1 0)( nzfnc nn其中泰 勒 級(jí) 數(shù)泰 勒 展 開 式定 理 設(shè) )(zf 在 區(qū) 域 D內(nèi) 解 析 , 0z 為 D 內(nèi) 的 一d為 0z 到 D 的 邊 界 上 各 點(diǎn) 的 最 短 距 離 , 那 末點(diǎn) , dzz 0 時(shí) , 0 0)()( n n

5、n zzczf 成 立 ,當(dāng) 泰 勒 介 紹 11 說 明 :1.復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多; (想一想, 為什么?) ; , , )( .2 0 0zd zdDzf 即之間的距離一個(gè)奇點(diǎn)到最近等于則內(nèi)有奇點(diǎn)在如果;,0.3 0級(jí)數(shù)稱為麥克勞林級(jí)數(shù)時(shí)當(dāng)z4.任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的. (為什么?) 12 )( zf因?yàn)榻馕?，可以保證無限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性; 所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.注 意問 題 ：利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，展 開 式 是 否 唯 一 ？ 13 : )( 0已被展開成冪級(jí)數(shù)在設(shè)zzf 202010 )(

6、)()( zzazzaazf ,)( 0 nn zza那末,)( 00 azf ,)( 10 azf 即,)(!1 0)( zfna nn 因此, 任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù), 因而是唯一的. 14 三 、 將 函 數(shù) 展 開 成 泰 勒 級(jí) 數(shù)常 用 方 法 : 直 接 法 和 間 接 法 .1.直接法: ,2,1,0,)(!1 0)( nzfnc nn . )( 0展開成冪級(jí)數(shù)在將函數(shù)zzf由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù) 15 例如，. 0 的泰勒展開式在求zez ),2,1,0(,1)( 0)( ne znz故有 02 !21 n nnz nznzzze , 在復(fù)平面內(nèi)處處解析因

7、為ze . R所以級(jí)數(shù)的收斂半徑,)( )( znz ee 因?yàn)?16 仿照上例 , ,)!12()1(!5!3sin 1253 nzzzzz nn )( R ,)!2()1(!4!21cos 242 nzzzz nn )( R . 0 cos sin 的泰勒展開式在與可得zzz 17 2. 間接展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì), 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo), 積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等) , 求函數(shù)的泰勒展開式.間 接 法 的 優(yōu) 點(diǎn) : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接展開更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛 . 18 例如， . 0 sin 的泰

8、勒展開式在利用間接展開法求zz)(21sin iziz eeiz 0 12 )!12()1(n nn nz 0 0 !)(!)(21 n n nn niznizi 19 附 : 常 見 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 式 ,!21)1 02 n nnz nznzzze ,11 1)2 02 n nn zzzzz ,)1()1(111)3 02 n nnnn zzzzz ,)!12()1(!5!3sin)4 1253 nzzzzz nn )1( z )1( z )( z )( z 20 ,)!2()1(!4!21cos)5 242 nzzzz nn )( z ,1)1(32)1ln()6 132 n

9、zzzzz nn 0 11)1(n nn nz )1( z 32 !3 )2)(1(!2 )1(1)1()7 zzzz ,! )1()1( nzn n )1( z 21 例 1 . )1( 1 2的冪級(jí)數(shù)展開成把函數(shù)zz解 nnzzzz )1(111 2 1z四 、 典 型 例 題 ,11)1( 1 2 zzz上有一奇點(diǎn)在由于,1內(nèi)處處解析且在z ,的冪級(jí)數(shù)可展開成z 22 zz 11)1( 1 2 .1,)1(321 112 znzzz nn 上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo), 23 例 2 . 0 )1ln( 泰勒展開式處的在求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值 zz分 析 , 1 , 1 )1ln( 是它的一個(gè)奇點(diǎn)平面內(nèi)是

10、解析的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的在從 z . 1 的冪級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開成所以它在zz 如圖, 1Ro1 1 xy 24zzzzz zn nn d)1(d1 10 0 0 即 1)1(32)1ln( 132 nzzzzz nn 1z 將展開式兩端沿 C 逐項(xiàng)積分, 得 解 zz 11)1ln( 02 )1()1(1 n nnnn zzzz )1( z, 0 1 的曲線到內(nèi)從為收斂圓設(shè)zzC 25 例 3 . 23 1)( 的冪級(jí)數(shù)展開成把函數(shù)zzzf 解 231 12123 1 zz )23()23(23121 2 nzzz 13222 23232321 n nnzzz ,230 1 n n nnz .3

11、2,123 zz即 26 例 4 .0arctan的冪級(jí)數(shù)展開式在求zz解 ,1darctan 0 2 z zzz因?yàn)?,)()1(1 1 0 22 zzz n nn且 z zzz 0 21darctan所以 z n nn zz0 0 2 d)()1( .1,12)1(0 12 znzn nn 27 例 5 .cos2的冪級(jí)數(shù)求z解 ),2cos1(21cos2 zz 因?yàn)?!6)2(!4)2(!2)2(12cos 642 zzzz zzzz !62!42!221 664422 )2cos1(21cos2 zz 所以 zzzz !62!42!221 65432 28 例 6 .1展為麥克勞林級(jí)

12、數(shù)將zez解 ,1)( zezf z令即微分方程0)()()1( zzfzfz對(duì)微分方程逐次求導(dǎo)得:,1所以收斂半徑為, 1 內(nèi)進(jìn)行展開可在z ,11 zzez的唯一奇點(diǎn)為因?yàn)榍髮?dǎo)得對(duì))(zf ,1)( zzezf z 29,2)0(,1)0(,0)0(,1)0( ffff得由的麥克勞林級(jí)數(shù)為所以)(zf .1,312111 32 zzzzez 0)()()1()()1( zfzfzzfz 0)()2()()1( zfzzfz 30 五 、 小 結(jié) 與 思 考 通過本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)理解泰勒展開定理,熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù). 31奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)? 思 考 題 32 奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含 z 的奇次冪項(xiàng), 偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含 z 的偶次冪項(xiàng). 思 考 題 答 案 放 映 結(jié) 束 ， 按 Esc退 出 . 33 泰 勒 資 料Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset H ouse, London, EnglandBrook Taylor