《川省射洪縣射洪中學(xué)高一物理《質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)》》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《川省射洪縣射洪中學(xué)高一物理《質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)》（37頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第 一 專 題 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 學(xué)知 識 與 方 法 研 究 三 、 平 面 上 兩 運(yùn) 動(dòng) 曲 線 的 交 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng)一 、 運(yùn) 動(dòng) 分 解 的 任 意 性二 、 曲 率 半 徑 的 物 理 求 法四 、 質(zhì) 點(diǎn) 彈 性 斜 碰 的 運(yùn) 動(dòng) 軌 跡 類 比 于 光 的 反 射 一 、 運(yùn) 動(dòng) 分 解 的 任 意 性1 2r r r 1 2v v v 1 2a a a 不 限 于 正 交 分 解 ， 更 不 限 于 沿 水 平 、 豎 直 方 向 的 正 交 分 解 . 可 以 根 據(jù) 解 題 需 要 沿 選定 方 向 分 解 . 知 識 與 方 法 研 究 運(yùn) 動(dòng) 的 分 解 與 合 成

2、 是 不 同 于 參 照 系 變 化 時(shí) （ KK） 對 運(yùn) 動(dòng) 描 述 的 伽 利 略 或 洛 侖 茲 變 換 , 是 在 一 個(gè) 參 照 系 中 進(jìn) 行 的 . 將 質(zhì) 點(diǎn) 所 作 的 運(yùn) 動(dòng) 視 為 同 時(shí) 參 與 兩 個(gè) 獨(dú) 立 存 在 的 運(yùn) 動(dòng) 后 的 結(jié) 果 ， 便 稱 之 為 一 個(gè)運(yùn) 動(dòng) 分 解 為 兩 個(gè) 運(yùn) 動(dòng) . 例 1 足 球 運(yùn) 動(dòng) 員 在 球 門 正 前 方 距 離 球 門 S遠(yuǎn) 處 的 O點(diǎn) 踢 出 一 球 ， 球 從 球 門 高 為 h的橫 梁 下 邊 沿 射 入 球 門 . 問 球 以 怎 樣 的 角 度 射 出 ， 才 能 使 射 出 的 初 速 度 v0

3、最 小 ？O CBS xy h解 一 建 立 如 圖 的 坐 標(biāo) 系 ，則有0( cos )s v t 20 1( sin ) 2h v t gt 消去t 得：22 20tan 2 cosgsh s v 進(jìn)而得：220 22( tan )cosgsv s h 2sin2 cos2gss h h 22 2 .sin(2gsh s h ） ( arctan )hs 其 中 ：02 2 v 當(dāng) 時(shí) ， 有 最 小 值 .所以4 2 將 v0做 水 平 、 豎 直 的 正 交 分 解 .v0 O CBS h xy v0 解 二 如 圖 ， 建 立 坐 標(biāo) 系 .則 有將 v0、 g均 沿 x、 y方

4、向 進(jìn) 行 分 解 . 20 1( cos ) ( sin )2x v t g t 20 1( sin ) ( cos )2y v t g t 足 球 到 達(dá) B時(shí) ， 0,y所 以 有 2 2 20 1( cos ) ( sin )2s h v t g t 20 10 ( sin ) ( cos )2v t g t 消 去 t 得 ： 22 2 0 22 sin (cos cos sin sin )cosvs h g 20 2 sin(2 ) sincosvg 所 以 2 2 220 cossin(2 ) sins h gv 02 2 v 當(dāng) 時(shí) ， 有 最 小 值 .此 時(shí) 1 1 1(

5、) ,2 2 4 2 1 1( ) .2 2 4 2 g 2 2x s h O CBS h v0 解 三 xy建 立 如 圖 的 坐 標(biāo) .據(jù) 圖 中 的 幾 何 關(guān) 系 ， 對 三 角 形 BOD由 正 弦 定 理 有 ：sin sin sin( )BD OD OB 即 2 2 2012sin sin sin( )gt v t s h 由 左 邊 的 等 式 得 ： 02 sinsinvt g 將 此 代 入 右 邊 的 等 式 ：2 2 20 22 sinsin sin( )v s hg 所 以 2 2 220 sin2sin( ) sing s hv 2 2 2sincos cos(2

6、)g s h 02 v 當(dāng) 時(shí) ， 有 最 小 值 .此 時(shí) 則 x方 向 為 勻 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) ， y方 向 為 自 由 落 體 運(yùn) 動(dòng) .1( )2 1 ( )2 2 4 2 現(xiàn) 在 足 球 在 x軸 方 向 、y軸 方 向 的 分 運(yùn) 動(dòng) 各 是什 么 運(yùn) 動(dòng) ？ D O CBS h v0 D xy 題 后 總 結(jié) 與 思 考本 題 充 分 說 明 運(yùn) 動(dòng) 分 解 的 任 意 性 .如 果 愿 意 ， 還 有 一 種 如 圖 的 合 理 分 解 方 式 ！ 例 2 彈 性 小 球 從 高 h處 自 由 落 下 ， 落 到 與 水 平 面 成 角 的 足 夠 長 的 斜 面 上 ，

7、碰 撞后 以 同 樣 大 小 的 速 度 彈 回 . （ 1） 求 每 個(gè) 彈 回 點(diǎn) （ 第 一 點(diǎn) 和 第 二 點(diǎn) ， 第 二 點(diǎn) 和 第 三 點(diǎn) ， ， 第 n點(diǎn) 和 第 （ n+1）點(diǎn) ） 間 的 距 離 x1-2、 x2-3、 x3-4、 、 x n-(n+1). （ 2） 求 當(dāng) 斜 面 以 勻 速 度 u沿 豎 直 方 向 向 上 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) 的 x1-2的 數(shù) 值 .解 h 小 球 第 一 次 與 斜 面 相 碰 （ 前 、 后 ）的 速 度 大 小 為 10 2 .v gh xyo 則 小 球 在 兩 個(gè) 碰 點(diǎn) 之 間 的 在 x、 y方 向 的 分運(yùn) 動(dòng) 均 是 勻 變

8、速 直 線 運(yùn) 動(dòng) . 10v g xgyg于 是 10 10s 2 ,in sinxv v gh 10 10cos 2 cos .yv v gh 以 斜 面 為 參 照 系 .建 立 如 圖 所 示 的 坐 標(biāo) 系 . 10 xv 10yv 第 一 次 碰 后 （ 第 二 次 碰 前 ） 的 運(yùn) 動(dòng)方 程 為 ：1 10 10sin ( sin )x x xv v g t v g t 1 10 10 cos ( cos )y y yv v g t v g t 2 21 10 101 1( sin ) ( sin )2 2x xx v t g t v t g t 2 21 10 101 1(

9、cos ) ( cos )2 2y yy v t g t v t g t h xyo 10v g xgyg10 xv 10yv令 y 1=0， 可 得 第 一 與 第 二 次 碰 撞 的 時(shí) 間 間 隔 為101 2 2vt g 代 入 x1的 計(jì) 算 式 后 可 得2101 2 4 sinvx g 2 2ghg 22 hg8 sinh h xy10v g xgyg10 xv 10yv 每 相 鄰 兩 次 相 碰 的 時(shí) 間 間 隔 均 相等 ，于 是 22 3 20 12x xx v t g t 8 sin 8 sinh h o 據(jù) 勻 變 速 直 線 的 特 點(diǎn) 可 知 在 每次 碰 前

10、碰 后 瞬 間 在 y方 向 的 速 度 大 小均 為 22 1 23 2 sin 2 sin (22h hgh gg g ） 12 sin 4 sinh h 1 2+8 sinx h 據(jù) 勻 變 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) 的 特 點(diǎn) 可 知 在 相 鄰 的 相 等 時(shí) 間 內(nèi) 位 移 的 增 量 相 等 ，8 sin .nh ( 1) 8 sin 1)8 sinn nx h n h （碰 撞 與 第 (n+1)次 碰 撞 之 間 的 間 距 為 所 以 第 n次 10 2 cos .yv gh 1 2 22 .ht t g 為 1 2 8 sinx h h xyo 10v g xgyg10 xv

11、10yv 題 后 思 考 能 否 建 立 水 平 方 向 的 x 坐標(biāo) 與 豎 直 方 向 的 y 坐 標(biāo) 解 本 題 ？ 能 否 建 立 斜 面 方 向 的 x坐 標(biāo)與 豎 直 方 向 的 y坐 標(biāo) 求 解 ？ （ 2） 求 當(dāng) 斜 面 以 勻 速 度 u沿 豎 直 方向 向 上 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) 的 x1-2的 數(shù) 值 . 此 時(shí) ， 仍 以 斜 面 為 參 照 系 . 則 小球 第 一 次 與 斜 面 相 碰 時(shí) 速 度 大 小 便 由（ 1） 中 的 v10變 成 了 (v10+u). 所 以 將 （ 1） 中 相 關(guān) 式 子 中 的 v10代 換 為 （ v10+u） ， 便 能 得 到

12、對 應(yīng) 的 結(jié) 果 .于 是 2101 2 4 sinvx g 2104( ) sinv ug 24( 2 ) singh ug u2101 2 4 sinvx g 讓 質(zhì) 點(diǎn) 做 某 種 軌 跡 為 給 定 的 曲 線 的 運(yùn) 動(dòng)確 定 質(zhì) 點(diǎn) 在 運(yùn) 動(dòng) 軌 跡 上 某 處 的 v和 a心由 向 心 加 速 度 公 式 求 在 選 擇 質(zhì) 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) ， 盡 量 考 慮 如 何 方 便 得 到 曲 線 某 處 的 v和 a心 二 、 曲 率 半 徑 的 物 理 求 法1、 從 曲 率 圓 的 角 度 看 質(zhì) 點(diǎn) 作 平 面 光 滑 曲 線 運(yùn) 動(dòng) 的 速 度 和 加 速 度a a

13、a 切 心 2 2va 心 | |dva dt切 表 示 速 度 大 小 的 變 化 快 慢 程 度表 示 速 度 方 向 的 變 化 快 慢 程 度 yo p1 p1 va切a心 ax2、 由 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 求 曲 率 半 徑 的 思 路 ： 這 樣 的 運(yùn) 動(dòng) 在 橢 圓 的 頂 點(diǎn)處 的 v和 a心 是 易 求 得 的 . 例 3 試 求 橢 圓 的 頂 點(diǎn) 處 的 曲 率 半 徑 .2 22 2 1x yA B 解橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 為 cosx A t siny B t xy0 AB可 以 選 擇 質(zhì) 點(diǎn) 沿 橢 圓 軌 道 的 運(yùn) 動(dòng) 為 ：在 x方 向 和 y方 向 的 分

14、 運(yùn) 動(dòng) 為 簡 諧 振 動(dòng) 的 運(yùn) 動(dòng) .(其 簡 諧 振 動(dòng) 方 程 即 為 以 上 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 )sincos ;xyv A tv B t 22 cossinxya A ta B t 于 是 有在 圖 中 頂 點(diǎn) A處 ：0 xv yv B v B2xa A0ya 2xa a A 心 xy0 AB所 以 2A va 心 va心同 理 可 得 2B AB 2 22BA 2BA 總 是 指 向 輪 心 但 是 否 總 是指 向 滾 輪 線 的 曲 率 圓 圓 心 ？a 例 4 求 滾 輪 線 的 最 高 點(diǎn) 的 曲 率 半 徑 和 1最 低 點(diǎn) 的 曲 率 半 徑 2.解為

15、方 便 計(jì) ， 設(shè) 輪 子 做 勻 速 的 純 滾 動(dòng) .設(shè) 輪 心 O相 對 地 面 的 速 度 為 v0 . P在 最 高 點(diǎn) 處 相 對 于 地 面 的 速 度 大 小 為 1 02v v P在 最 低 點(diǎn) 處 相 對 于 地 面 的 速 度 大 小 為 2 0v 0 0a 由 于 ， 0 .a a a 故 0a a a 則 ,P a Pa 設(shè) 點(diǎn) 相 對 地 面 參 照 系 的 加 速 度 為 點(diǎn) 相 對輪 心 參 照 系 的 加 速 度 為 ， a a 輪 邊 緣 上 的 任 意 一 點(diǎn) P相對 輪 心 O的 線 速 度 為 多 大 ？ a a PoP P Po o oPv0設(shè) 點(diǎn)

16、相 對 地 面 參 照 系 的 加 速 度 為 點(diǎn) 相 對輪 心 參 照 系 的 加 速 度 為 ， 故 滾 輪 線 最 高 處 的 曲 率 半 徑 為 oP v0 a a a a 滾 輪 線 最 低 處 的 曲 率 半 徑 為 P P P在 滾 輪 線 的 最 高 點(diǎn) 處 和 最 低 點(diǎn) 處 ，a正 好 又 是 指 向 該 處 的 曲 率 圓 圓 心 的 ， a所 以 在 此 兩 處 的 完 全 用 作 向 心 加 速度 ， a a心故 211 va 心 o o oa a a a 20vR 20202 4v Rv R 222 va 心 200 0v R 題 后 總 結(jié) 與 思 考此 兩 題

17、的 解 法 屬 于 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 的 求 法 ， 曲 率 半 徑 還 有 動(dòng) 力 學(xué) 的 求 法 這 將 在 以 后 研 究 .自 己 用 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 方 法 求 本 題 滾 輪 線 上 其 他 點(diǎn) 的 曲 率 半 徑 .a 三 、 平 面 上 兩 運(yùn) 動(dòng) 曲 線 （ 包 括 直 線 ） 的 交 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 注 意 交 點(diǎn) 并 非 曲 線 上 的 一 個(gè) 固 定 點(diǎn) ， 而 是 兩 條 曲 線 相 交 而 成 的 幾 何 點(diǎn) . 兩 曲 線 并 非 均 作 平 動(dòng) .1、 幾 種 交 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 情 況（ 1） 直 線 與 直 線 的 交 點(diǎn)2、 如 何 求 交 點(diǎn) 的 速 度P v1v

18、2 決 不 能 ！ ！1 2Pv v v （ 3） 直 線 與 曲 線 的 交 點(diǎn)P12v1 v2（ 2） 曲 線 與 曲 線 的 交 點(diǎn)P v2v1 v1v2平 動(dòng) 純 滾 動(dòng) （ 1） 由 速 度 的 定 義 出 發(fā) 求 .（ 2） 從 相 對 運(yùn) 動(dòng) 出 發(fā) 求 例 5 如 圖 ， 一 平 面 內(nèi) 有 l1、 l2兩 細(xì) 桿 ， 相 交 成 角 . 細(xì) 桿 分 別 以 垂 直 于 自 身 桿 長 的 速度 勻 速 運(yùn) 動(dòng) . 求 兩 桿 的 交 點(diǎn) P相 對 于 紙 面 的 速 率 .解 一 A B由 定 義 出 發(fā) 求 速 度 l1 l2P v1 v 2 P2 P3設(shè) 經(jīng) 過 時(shí) 間

19、t, 交 點(diǎn) P勻 速 直 線 運(yùn) 動(dòng)至 P1處 . 2 1csc csc ,PP AP v t 1 2 3 2csc cscPP PP PB v t 2 21 2 1 2 2 1 22 cos( )PP PP PP PP PP 在 圖 中 ：由 余 弦 定 理 有所 以 （ 求 出 交 點(diǎn) 相 對 某 一 曲 線 的 速 度 ， 再 疊 加 上 此 曲 線 的 速 度 ） .1P 2 21 2 1 22 cos cscv v vv t 2 21 2 1 22 cos cscv v vv 1P PPv t如 何 求 得 ？ 1PP2 PP ， 1 2PP 1PP l1 l2P v1 v2P1

20、A BP2 P3解 二 由 相 對 運(yùn) 動(dòng) 出 發(fā) 求 速 度先 求 出 交 點(diǎn) 相 對 于 桿 l1的 速 率 v1：在 圖 中 ：1 1 2 2AP PP AP 所 以 11 APv t進(jìn) 一 步 得 交 點(diǎn) P相 對 于 地 面 的 速 率 ：2 1csc cotv t v t 3 2PP AP csc cotPB AP 1 2cot cscv v 2 21 2 1 22 cos cscv v vv 2 21 1Pv v v 2 21 1 2( cot csc )v v v 例 6 如 圖 , 在 o-xy平 面 內(nèi) 有 一 個(gè) 圓 , 在 y軸 上 放 一 根 細(xì) 桿 ,從 t=0開

21、始 , 細(xì) 桿 以 速 度 v0朝x軸 正 方 向 勻 速 平 動(dòng) . 試 求 細(xì) 桿 與 第 一 象 限 內(nèi) 的 圓 弧 的 交 點(diǎn) 的 向 心 加 速 度 與 時(shí) 間 t的 關(guān) 系 .xyO v0解 一交 點(diǎn) 的 運(yùn) 動(dòng) 方 向 總 是 沿 圓 的 切 線 方 向 . 設(shè) 在 t 時(shí) 刻 交 點(diǎn) 在 P點(diǎn) ， 經(jīng) 過 小 量 時(shí) 間 t，交 點(diǎn) 由 P點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 到 P1點(diǎn) . P0而 1 2 1 3 2 3PP PP PP 1PP R 當(dāng) 極 小 時(shí) ， 有 1 2 2 (cos ) 2PP R 由 、 消 去 ： 1 21 ,cosPPPP 將 2 2 20cos R v tR 代 入

22、 即 得 02 2 20P v Rv R v t 所 以 22 02 2 20 .PP v Rva R R v t 心 （ 其 中 ）0R vt由 速 度 定 義 出 發(fā) 解 答 .2 cos( )sin2 2R sin( ) sinR R 所 以 1 1 2 1cosPP PPt t ， 0 .cosP vv 即 P P1P2 P3由 圖 中 幾 何 關(guān) 系 有 xyO v0PP0 解 二 由 相 對 運(yùn) 動(dòng) 出 發(fā) 解 . vPvP3.v設(shè) 為 交 點(diǎn) 相 對 于 細(xì) 桿 的 速 度則 0Pv v v 0v v 因 為 ， 0 .Pv v v 所 以 便 是 以 、 為 邊 的 矩 形 的

23、 對 角 線所 以 便 有 0cosP vv 進(jìn) 一 步 便 可 得 到 交 點(diǎn) P 的 向 心 加 速 度 . v0202 2 20 .P v Ra R v t 心 （ 3） 平 面 上 兩 光 滑 曲 線 交 點(diǎn) 速 度 的 最 簡 求 法 2v 1v 1l2l21v 22v12v11v Pv 2v 1L2L 1v P如 圖 ， L1、 L2的 交 點(diǎn) P相 對 地 面 的 速 度 為 .Pv1 2 1 2 1 2 v v L L P P P 、 分 別 為 、 上 的 與 交 點(diǎn) 重 合 的 點(diǎn) 、（ 未 畫 出 ） 的 速 度 .分 別 作 L1、 L2的 切 線 l1、 l2.取 與

24、 L1上 的 P1點(diǎn) 一 起 以 速 度 運(yùn) 動(dòng) 的 參 照 系 ，1v在 此 參 照 系 中 P點(diǎn) 以 速 度 沿 l 1運(yùn) 動(dòng) . 1v 則1 1Pv v v 取 與 L2上 的 P2點(diǎn) 一 起 以 速 度 運(yùn) 動(dòng) 的 參 照 系 ，2v在 此 參 照 系 中 P點(diǎn) 以 速 度 沿 l2運(yùn) 動(dòng) . 2v 則2 2Pv v v 在 地 面 參 照 系 中 沿 l1、 l2方 向 分 解 1:v 1 11 12v v v 在 地 面 參 照 系 中 沿 l1、 l2方 向 分 解 2 :v 2 21 22v v v 由 圖 可 知 12 21Pv v v 請 說 出 該 式 的 物 理 意 義

25、 ？ 重 解 例 5： l1 l2P v1 v212 1cscv v 21 2 cscv v 由 余 弦 定 理 求 合 ：2 212 21 12 212 cos( )Pv v v v v v112v v221vPv2 21 2 1 22 cos csc .v v vv 重 解 例 6： xyO v0PP0 v0v01001 cosvv ，所 以 01Pv v進(jìn) 一 步 便 可 得 到 交 點(diǎn) P 的 向 心 加 速 度 . 題 后 總 結(jié)該 方 法 僅 局 限 于 光 滑 平 面 運(yùn) 動(dòng) 曲 線 的 交 點(diǎn) ！此 方 法 并 不 限 于 兩 曲 線 作 平 動(dòng) 的 情 況 .10 0.v 0

26、= .cosv 四 、 質(zhì) 點(diǎn) 彈 性 斜 碰 的 運(yùn) 動(dòng) 軌 跡 類 比 于 光 的 的 鏡 面 反 射 Ni ji jN 例 7 如 圖 ， 光 滑 水 平 面 上 兩 根 剛 性 細(xì) 桿 OM、 ON成 15夾 角 交 于 O點(diǎn) ， 小 球 在 OM的 內(nèi) 側(cè) 與 O相 距 l=20cm的 P點(diǎn) 處 ， 以 與 MO成 30角 方 向 的 初 速 朝 ON桿 運(yùn) 動(dòng) ， 初 速 度 大小 為 v0=10cm/s. 試 問 小 球 能 否 回 到 P處 ？ 若 能 ， 則 須 經(jīng) 多 少 時(shí) 間 回 到 P處 ？解 小 球 作 的 是 勻 速 折 線 運(yùn) 動(dòng) . MN PO l 30015

27、0 而 光 線 經(jīng) 鏡 面 反 射 后 的 行 進(jìn) 等 效于 光 線 沿 原 入 射 方 向 的 行 進(jìn) . 因 此 光 線 在 兩 平 面 鏡 之 間 的 不 斷反 射 可 等 效 為 光 線 沿 PP直 線 傳 播 . 可 將 小 球 的 運(yùn) 動(dòng) 類 比 為 光 線 在 平面 鏡 M、 N之 間 的 反 射 .由 于 4 15 60POP ，因 此 光 線 能 夠 沿 原 路 返 回 到 P點(diǎn) . PP090 .PPO 所 以 MNPO lP 300150P 所 以 小 球 從 P點(diǎn) 出 發(fā) 到 又 回到 P點(diǎn) ， 總 的 路 程 即 為 PP=2PP.所 經(jīng) 歷 的 時(shí) 間 為02PPt

28、 v 002 cos30l v 2 3( )s本 題 還 有 另 一 種 常 規(guī) 解 法 ：1、 看 小 球 多 次 彈 碰 后 是 否 會 與 桿 正 碰2、 確 定 在 什 么 位 置 正 碰3、 算 出 所 有 折 線 段 的 總 長4、 計(jì) 算 時(shí) 間但 這 種 解 法 需 解 三 角 形 ！ ！ 試 一 試 ， 看 能 否 用 此 法 解 答 .題 后 總 結(jié) 與 思 考這 種 解 法 的 實(shí) 質(zhì) 就 是 將 折 線 運(yùn) 動(dòng) 等 效 變 為 直 線 運(yùn) 動(dòng) 從 而 使 問 題 得 以 簡 化 . 例 8 如 圖 ， OABC是 一 桌 球 臺 面 . 取 OA為 x 軸 ， OC為

29、y 軸 ， P是 紅 球 ， 坐 標(biāo) 為(x, y), Q是 白 球 ， 坐 標(biāo) 為 （ x, y ), (圖 中 未 畫 出 Q球 在 臺 面 上 的 位 置 ） . 已 知 OA=BC=25分米 ， AB=OC=12分 米 . ABCO P Q xy (x, y) 解 NM （ 1） 若 P球 的 坐 標(biāo) 為 ： x=10分 米 ， y=8分 米 . 問Q球 的 位 置 在 什 么 范 圍 內(nèi) 時(shí) ， 可 使 擊 出 的 Q球 順 次 與AB、 BC、 CO和 OA四 壁 碰 撞 反 彈 ， 最 后 擊 中 P球 ？ （ 2） P球 有 沒 有 一 些 位 置 是 Q球 無 論 在 什 么

30、 位 置出 發(fā) ， 按 上 述 次 序 從 四 壁 反 彈 后 都 無 法 擊 中 的 ？ 如沒 有 ， 加 以 證 明 ； 如 有 ， 找 出 這 些 位 置 的 范 圍 .（ 白 球 Q同 四 壁 的 碰 撞 均 為 彈 性 碰 撞 ， 兩 球 體 積 很小 ， 可 看 作 質(zhì) 點(diǎn) .）如 右 圖 ， 你 能 不 能 讓 白 球 與 桌 璧 N M 彈 性相 碰 后 擊 中 紅 球 ? ABCO P Q xy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8) 給 球 桌 各 頂 點(diǎn) 及 紅 球 的 位 置 標(biāo) 注 上 坐 標(biāo) (0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10

31、,32) P4(60,32) （ 1）1、 如 果 白 球 對 著 鏡 像 點(diǎn) P1擊 在 OA上 就 能 擊 中 P；如 果 白 球 對 著 鏡 像 點(diǎn) P2擊 在 CO上 就 能 射 向 P1;如 果 白 球 對 著 鏡 像 點(diǎn) P3擊 在 OC上 就 能 射 向 P2；如 果 白 球 對 著 鏡 像 點(diǎn) P4擊 在 BA上 就 能 射 向 P3. ABCO P Q xy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)F 2、 為 了 保 證 白 球 能 對 著 P4點(diǎn) 且 擊 在 BA上 ， 白

32、 球 應(yīng) 該 放 在 什 么 區(qū) 域 ？ 3、 白 球 放 在 該 區(qū) 域 是 否 能 保 證 經(jīng) BA反 彈 后 能 擊 在 BC上 ？ 4、 白 球 是 否 擊 在 BC上 任 何 地 方 都 能 反 彈 后 又 擊 在 CO上 ？ 比 如 放 在 圖 中 所 示 的 點(diǎn) 處 ？ ABCO P Q xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E 5、 白 球 應(yīng) 該 對 著 P3擊 在 BC上 的 什 么 地 方 才 能 保 證 經(jīng) BC反 彈 后 能 擊 在 CO上 ？作 直 線 P2

33、O交 CB于 E點(diǎn) ， E點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 (15,12).(15,12)F ABCO P Q xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E (15,12) D(25,4) 6、 白 球 應(yīng) 該 對 著 P4擊 在 BA上 的 什 么 地 方 才 能 保 證 經(jīng) BA反 彈 后 能 擊 在 EC上 ？作 直 線 P3E交 BA于 D點(diǎn) ， D點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 (25,4). ABCO P Q xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,

34、-8)P3(-10,32) P4(60,32)E(15,12) D(25,4)(20,0) 7、 白 球 應(yīng) 該 放 在 什 么 區(qū) 域 才 能 保 證 對 著 P4擊 在 DA上 ？H作 直 線 P4D， 交 AO于 H， H點(diǎn) 的 坐 標(biāo) (20,0). ABCO P Q xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E(15,12) DH (25,4)(20,0)最 終 結(jié) 論 ： 白 球 應(yīng) 放 在 三 角 形 DAH以 內(nèi) 的 區(qū) 域 .（ 但 不 能 放 在 HD、 DA邊 上 ）

35、 （ 2） P球 有 沒 有 一 些 位 置 是 Q球 無 論 在 什 么 位 置 出 發(fā) ， 按 上 述 次 序 從 四 壁 反 彈 后 都無 法 擊 中 的 ？ 如 沒 有 ， 加 以 證 明 ； 如 有 ， 找 出 這 些 位 置 的 范 圍 . ABCO P Q xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E(15,12) DH (25,4)(20,0) 問 題 可 轉(zhuǎn) 換 為 ： P 球 有 沒 有 一 些 位 置 ， 使 （ 1） 問 的 解 答 中 求 得 的 三 角 形 DA

36、H不 存在 （ 或 者 說 面 積 縮 小 為 零 ） ？ ABCO P Q xy(0,12) (25,12)(25,0)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E DH(12.5,12)連 接 P3、 A點(diǎn) ， 交 BC于 E點(diǎn) ， 當(dāng) 紅 球 P放 在 三 角 形 CEO以 內(nèi) 的 區(qū) 域 以 及 其 邊 上 時(shí) ， 無 論 白 球 從 何 處 開 始 擊 出 ， 不 可能 擊 中 紅 球 . E 若 P點(diǎn) 左 移 ， D點(diǎn) 下 移 ，三 角 形 DAH的 面 積 就 會 縮 小 則 E點(diǎn) 左 移 ，E點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 為 (12.5,12)

37、.最 終 結(jié) 論 ： 連 接 E、 O. ABCO P xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E DH(12.5,12)Q 題 后 總 結(jié) 與 思 考也 是 利 用 將 彈 碰 類 比 于 光 的 鏡 面 反 射 來 解 決 問 題 .本 題 采 用 其 他 數(shù) 學(xué) 方 法 還 有 多 種 解 法 ， 你 還 出 想 出 哪 些 ？ xyO v0P P1P2P0 P31 21 cosPPPP 如 圖 ， 在 PP1P2中 ， 1 1 2 1 2cosPP PPP PP 1P P當(dāng) 無 限 趨 近

38、于 時(shí) ， 有 1 2cos cosPPP 1 1,PP PP于 是 有 如 何 直 接 得 出 ？1 21 cosPPPP P 1P 2P 鏡 面 反 射 后 的 光 線 的 行 進(jìn) 可 等 效 處 理 為 在虛 像 空 間 中 光 線 沿 原 入 射 方 向 的 直 線 行 進(jìn) P 1 MNP2P3P4 M NM P2P 3P4P3P4P4（ 1） 光 線 1在 鏡 面 N的 P1點(diǎn) 發(fā) 生 反 射 ,其反 射 光 線 2的 行 進(jìn) 等 效 于 在 虛 像 空 間 中 光線 2的 行 進(jìn) . 1234 233444（ 2） 光 線 2在 鏡 面 M的 P2點(diǎn) 發(fā) 生 反 射 后得 到 反 射 光 線 3， 相 應(yīng) 地 光 線 2在 虛 鏡 面M 上 的 P2點(diǎn) 發(fā) 生 反 射 后 得 到 反 射 光 線 3，反 射 光 線 3的 行 進(jìn) 等 效 于 在 虛 像 空 間 中光 線 3的 行 進(jìn) . N （ 3） 光 線 3在 鏡 面 N的 P3點(diǎn) 反 射 后 得 到 光線 4， 相 應(yīng) 地 光 線 3在 虛 鏡 面 N的 P3點(diǎn) 發(fā)生 反 射 得 到 光 線 4， 相 應(yīng) 地 光 線 3在 虛 鏡面 N的 P3點(diǎn) 發(fā) 生 反 射 得 到 光 線 4， 反 射光 線 4的 行 進(jìn) 等 效 于 在 虛 像 空 間 中 光 線4的 行 進(jìn) .