《《質(zhì)點的運動》PPT課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《質(zhì)點的運動》PPT課件（43頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、CAI使 用 說 明1、 斜 體 文 字 表 示 有 備 注 供 查 看2、 加 下 劃 線 的 變 色 文 字 表 示 有 超 鏈 接3、 表 示 返 回 至 鏈 接 來 處4、 表 示 到 上 一 張 幻 燈 片5、 表 示 到 下 一 張 幻 燈 片6、 表 示 到 首 頁 中 學 物 理 奧 賽 解 題 研 究 第 一 專 題 質(zhì) 點 運 動 學知 識 與 方 法 研 究 例 題 1例 題 2例 題 3疑 難 題 解 答 研 究 三 、 兩 平 面 運 動 曲 線 的 交 點 的 運 動一 、 運 動 分 解 的 任 意 性二 、 曲 率 半 徑 的 物 理 求 法 一 、 運 動 分

2、 解 的 任 意 性1 2r r r 1 2v v v 1 2a a a 不 限 于 正 交 分 解 ， 更 不 限 于 沿 水 平 、 豎 直 方 向 的 正 交 分 解 . 可 以 根 據(jù) 解 題 需 要 沿 選定 方 向 分 解 . 知 識 與 方 法 研 究 運 動 的 分 解 與 合 成 是 不 同 于 參 照 系 變 化 時 （ KK） 對 運 動 描 述 的 伽 利 略 或 洛 侖 茲變 換 , 是 在 一 個 參 照 系 中 進 行 的 . 例 1 足 球 運 動 員 在 球 門 正 前 方 距 離 球 門 S遠 處 的 O點 踢 出 一 球 ， 球 從 球 門 高 為 h的橫

3、 梁 下 邊 沿 射 入 球 門 . 問 球 以 怎 樣 的 角 度 射 出 ， 才 能 使 射 出 的 初 速 度 v0最 小 ？O CBS xy h解 一 建 立 如 圖 的 坐 標 系 ，則有0( cos )s v t 20 1( sin ) 2h v t gt 消去t 得：22 20tan 2 cosgsh s v 進而得：220 22( tan )cosgsv s h 2sin2 cos2gss h h 22 2 .sin(2gsh s h ） ( arctan )hs 其 中 ：02 2 v 當 時 ， 有 最 小 值 .所以4 2 將 v0做 水 平 、 豎 直 的 正 交 分

4、解 .v0 O CBS h xy v0 解 二 如 圖 ， 建 立 坐 標 系 .則 有將 v0、 g均 沿 x、 y方 向 進 行 分 解 . 20 1( cos ) ( sin )2x v t g t 20 1( sin ) ( cos )2y v t g t 足 球 到 達 B時 ， 0,y所 以 有 2 2 20 1( cos ) ( sin )2s h v t g t 20 10 ( sin ) ( cos )2v t g t 消 去 t 得 ： 22 2 0 22 sin (cos cos sin sin )cosvs h g 20 2sin sin(2 ) sincosvg 所

5、以 220 cossin(2 ) singv 02 2 v 當 時 ， 有 最 小 值 .此 時 1 1 1( ) ,2 2 4 2 1 1( ) .2 2 4 2 g 2 2x s h O CBS h v0 解 三 xy建 立 如 圖 的 坐 標 .據(jù) 圖 中 的 幾 何 關 系 ， 由 正 弦 定 理 有 ：sin sin sin( )BD OD OB 即 2 2 2012sin sin sin( )gt v t s h 由 左 邊 的 等 式 得 ： 02 sinsinvt g 將 此 代 入 右 邊 的 等 式 ：2 2 20 22 sinsin sin( )v s hg 所 以 2

6、2 220 sin2sin( ) sing s hv 2 2 2sincos cos(2 )g s h 02 v 當 時 ， 有 最 小 值 .此 時 則 x方 向 為 勻 速 直 線 運 動 ， y方 向 為 自 由 落 體 運 動 .1( )2 1 ( )2 2 4 2 現(xiàn) 在 足 球 在 x軸 方 向 、y軸 方 向 的 分 運 動 各 是什 么 運 動 ？ D O CBS h v0 D xy 題 后 總 結 與 思 考本 題 充 分 說 明 運 動 分 解 的 任 意 性 .如 果 愿 意 ， 還 有 一 種 如 圖 的 有 效 分 解 方 式 ！ 例 2 彈 性 小 球 從 高 h處

7、 自 由 落 下 ， 落 到 與 水 平 面 成 角 的 足 夠 長 的 斜 面 上 ， 碰 撞后 以 同 樣 大 小 的 速 度 彈 回 來 . （ 1） 求 每 個 彈 回 點 （ 第 一 點 和 第 二 點 ， 第 二 點 和 第 三 點 ， ， 第 n點 和 第 （ n+1）點 ） 間 的 距 離 x1-2、 x2-3、 x3-4、 、 x n-(n+1). （ 2） 求 當 斜 面 以 勻 速 度 u沿 豎 直 方 向 向 上 運 動 時 的 x1-2的 數(shù) 值 .解 h 小 球 第 一 次 與 斜 面 相 碰 （ 前 、 后 ）的 速 度 大 小 為 10 2 .v gh xyo

8、則 小 球 在 兩 個 碰 點 之 間 的 在 x、 y方 向 的 分運 動 均 是 勻 變 速 直 線 運 動 . 10v g xgyg于 是 10 10s 2 ,in sinxv v gh 10 10cos 2 cos .yv v gh 以 斜 面 為 參 照 系 .建 立 如 圖 所 示 的 坐 標 系 . 10 xv 10yv 第 一 次 碰 后 （ 第 二 次 碰 前 ） 的 運 動方 程 為 ：1 10 10sin ( sin )x x xv v g t v g t 1 10 10 cos ( cos )y y yv v g t v g t 2 21 10 101 1( sin )

9、 ( sin )2 2x xx v t g t v t g t 2 21 10 101 1( cos ) ( cos )2 2y yy v t g t v t g t h xyo 10v g xgyg10 xv 10yv令 y 1=0， 可 得 第 一 與 第 二 次 碰 撞 的 時 間 間 隔 為101 2 2vt g 代 入 x1的 計 算 式 后 可 得2101 2 4 sinvx g 2 2ghg 22 hg8 sinh h xy10v g xgyg10 xv 10yv 第 二 次 碰 后 瞬 間 的 速 度 大 小 等 于 第二 次 碰 前 瞬 間 的 速 度 大 小 ： 1020

10、10 2sin ( sin )x vv v g g 1020 10 2 cos ( cos ) y vv v g g 顯 然 ， 10 20 ,y yv v進 而 可 知 每 相 鄰 兩 次 相 碰 的 時 間 間 隔 均 相 等 ， 1 2 22 .ht t g 以 此 類 推 ，碰 后 瞬 間 在 y方 向 的 速 度 大 小 均 相 等 .于 是 22 3 20 12x xx v t g t 2 sin 2 2 singh gh 8 sin 8 sinh h o可 知 在 每 次 碰 前3 2 singh 2 cosgh 為 22 1 23 2 sin 2 sin (22h hgh gg

11、 g ） 12 sin 4 sinh h 注 意 ： x2-3-x1-2=8hsin ! 會 不 會 每 碰 一 次 增 加 “8hsin ”？ h xyo 10v g xgyg10 xv 10yv 小 球 每 一 次 碰 后 瞬 間 的 x方 向 分 速 度將 比 前 一 次 增 加 2( sin ) 2 2 2 sin .x hg t g hgg 因 而 每 接 連 兩 次 相 碰 的 間 距 將 比 相鄰 的 兩 次 接 連 相 碰 的 間 距 增 加 2(2 2 sin ) (2 2 sin ) 2 8 sin .hgh t gh hg 所 以 第 n次 碰 撞 與 第 (n+1)次

12、碰 撞 之 間 的 間 距 為( 1) 8 sin 1)8 sinn nx h n h （ 題 后 思 考 能 否 建 立 水 平 方 向 的 x 坐標 與 豎 直 方 向 的 y 坐 標 解 本 題 ？能 否 建 立 斜 面 方 向 的 x坐 標 與 豎 直 方 向 的 y坐 標 求 解 ？ （ 2） 求 當 斜 面 以 勻 速 度 u沿 豎 直 方 向 向 上 運 動 時的 x1-2的 數(shù) 值 . 此 時 ， 仍 以 斜 面 為 參 照 系 . 則 小 球 第 一 次 與 斜面 相 碰 時 速 度 大 小 便 由 （ 1） 中 的 v10變 成 了 (v10+u).所 以 將 （ 1） 中

13、 相 關 式 子 中 的 v0代 換 為 （ v0+u） ，能 得 到 對 應 的 結 果 . 便于 是 2101 2 4 sinvx g 204( ) sinv ug 24( 2 ) singh ug 8 sin .nh 讓 質(zhì) 點 的 做 某 種 軌 跡 為 給 定 的 曲 線 的 運 動確 定 質(zhì) 點 在 運 動 軌 跡 上 各 處 的 v和 a心由 向 心 加 速 度 公 式 求 在 選 擇 質(zhì) 點 的 運 動 時 ， 盡 量 考 慮 如 何 方 便 得 到 曲 線 各 處 的 v和 a心 二 、 曲 率 半 徑 的 物 理 求 法1、 從 曲 率 圓 的 角 度 看 平 面 光 滑

14、曲 線 運 動 的 速 度 和 加 速 度a a a 切 心 2 2va 心 | |dva dt切 表 示 速 度 大 小 的 變 化 快 慢表 示 速 度 方 向 的 變 化 快 慢 yo p1 p1 va切a心 ax2、 由 物 理 運 動 學 求 曲 率 半 徑 思 路 ： 這 樣 的 運 動 在 橢 圓 的 頂 點處 的 v和 a心 是 易 求 得 的 . 例 3 試 求 橢 圓 的 頂 點 處 的 曲 率 半 徑 .2 22 2 1x yA B 解橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 為 cosx A t siny B t xy0 AB可 以 選 擇 質(zhì) 點 沿 橢 圓 軌 道 的 運 動 為

15、 ：在 x方 向 和 y方 向 的 分 運 動 為 簡 諧 振 動 的 運 動 .(其 簡 諧 振 動 方 程 即 為 以 上 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 )sincos ;xyv A tv B t 22 cossinxya A ta B t 于 是 有在 圖 中 頂 點 A處 ：0 xv yv B v B2xa A0ya 2xa a A 心 xy0 AB所 以 2A va 心 va心同 理 可 得 2B AB 2 22BA 2BA 總 是 指 向 輪 心 但 是 否 總 是指 向 滾 輪 線 的 曲 率 圓 圓 心 ？a 例 4 求 滾 輪 線 的 最 高 點 的 曲 率 半 徑 和 1最

16、低 點 的 曲 率 半 徑 2.解 oP v0為 方 便 計 ， 設 輪 子 做 勻 速 的 純 滾 動 .設 輪 心 O相 對 地 面 的 速 度 為 v0 . P在 最 高 點 處 相 對 于 地 面 的 速 度 大 小 為 1 02v v P在 最 低 點 處 相 對 于 地 面 的 速 度 大 小 為 2 0v 0 0a 由 于 ， a a 0 .a a a 故 0a a a 則 P P P ,P a Pa 設 點 相 對 地 面 參 照 系 的 加 速 度 為 點 相 對輪 心 參 照 系 的 加 速 度 為 ， o o oa a 輪 邊 緣 上 的 任 意 一 點 P相對 輪 心

17、O的 線 速 度 為 多 大 ？ 故 滾 輪 線 最 高 處 的 曲 率 半 徑 為 oP v0 a a a a 滾 輪 線 最 低 處 的 曲 率 半 徑 為 P P P在 滾 輪 線 的 最 高 點 處 和 最 低 點 處 ，a正 好 又 是 指 向 該 處 的 曲 率 圓 圓 心 的 ，a所 以 在 此 兩 處 的 完 全 用 作 向 心 加 速度 ， a a a 心故 211 va 心 o o oa a a a 20vR 20202 4v Rv R 222 va 心 200 0v R 題 后 總 結此 兩 題 的 解 法 屬 于 物 理 運 動 學 的 求 法 ;曲 率 半 徑 還 有

18、 物 理 動 力 學 的 求 法 這 將 在 以 后 研 究 . 三 、 兩 運 動 曲 線 （ 包 括 直 線 ） 的 交 點 的 運 動 注 意 交 點 并 非 曲 線 上 的 一 個 固 定 點 ， 而 是 兩 條 曲 線 相 交 而 成 的 幾 何 點 . 兩 曲 線 并 非 均 作 平 動 .1、 幾 種 交 點 的 運 動 情 況 P v2v1（ 1） 直 線 與 直 線 的 交 點 （ 2） 曲 線 與 曲 線 的 交 點 （ 3） 直 線 與 曲 線 的 交 點2、 如 何 求 交 點 的 速 度P v1v2 決 不 能 ！ ！1 2Pv v v P （ 1） 由 速 度 的

19、定 義 出 發(fā) 求 .（ 2） 從 相 對 運 動 出 發(fā) 求 . 例 5 如 圖 ， 一 平 面 內(nèi) 有 l1、 l2兩 細 桿 ， 相 交 成 角 . 細 桿 分 別 以 垂 直 于 自 身 桿 長 的 速度 勻 速 運 動 . 求 兩 桿 的 交 點 P相 對 于 紙 面 的 速 率 .解 一 A B由 定 義 出 發(fā) 求 速 度 l1 l2P v1 v 2 P2 P3設 經(jīng) 過 時 間 t, 交 點 P勻 速 直 線 運 動至 P1處 . 2 1csc csc ,PP AP v t 1 2 3 2csc cscPP PP PB v t 2 21 2 1 2 2 1 22 cos( )P

20、P PP PP PP PP 在 圖 中 ：由 余 弦 定 理 有所 以 （ 求 出 交 點 相 對 某 一 曲 線 的 速 度 ， 再 疊 加 上 此 曲 線 的 速 度 ）1P 2 21 2 1 22 cos cscv v vv t 2 21 2 1 22 cos cscv v vv 1P PPv t P1PPP2 ， P1P2如 何 求 得 P1P ？ l1 l2P v1 v2P1 A BP2 P3解 二 由 相 對 運 動 出 發(fā) 求 速 度先 求 出 交 點 相 對 于 桿 l1的 速 率 v1：在 圖 中 ：1 1 2 2AP PP AP 所 以 11 APv t進 一 步 得 交

21、點 P相 對 于 地 面 的 速 率 ：2 1csc cotv t v t 3 2PP AP csc cotPB AP 1 2cot cscv v 2 21 2 1 22 cos cscv v vv 2 21 1Pv v v 2 21 1 2( cot csc )v v v 例 6 如 圖 , 在 o-xy平 面 內(nèi) 有 一 個 圓 , 在 y軸 上 放 一 根 細 桿 ,從 t=0開 始 , 細 桿 以 速 度 v0朝x軸 正 方 向 勻 速 平 動 . 試 求 細 桿 與 第 一 象 限 內(nèi) 的 圓 弧 的 交 點 的 向 心 加 速 度 與 時 間 t的 關 系 .xyO v0解 一交

22、點 的 運 動 方 向 總 是 沿 圓 的 切 線 方 向 . 設 在 t 時 刻 交 點 在 P點 ， 經(jīng) 過 小 量 時 間 t，交 點 由 P點 運 動 到 P1點 . P0則 1PP R而 1 2 1 3 2 3PP PP PP P 2 P3當 極 小 時 ， 有1 2 2 (cos ) 2PP R 由 、 消 去 ： 1 21 ,cosPPPP 將 2 2 20cos R v tR 代 入 即 得 02 2 20P v Rv R v t 所 以 22 02 2 20 .PP v Rva R R v t 心 （ 其 中 ）0R vt由 速 度 定 義 出 發(fā) 解 答 .2 cos( )

23、sin2 2R sin( ) sinR R 所 以 1 1 2 1cosPP PPt t ， 0 .cosP vv 即 P P1 xyO v0PP0 解 二 由 相 對 運 動 出 發(fā) 解 . vPvP3.v設 為 交 點 相 對 于 細 桿 的 速 度則 0Pv v v 0v v 因 為 ， 0 .Pv v v 所 以 便 是 以 、 為 邊 的 矩 形 的 對 角 線所 以 便 有 0cosP vv 進 一 步 便 可 得 到 交 點 P 的 向 心 加 速 度 . v0 （ 3） 兩 平 面 光 滑 曲 線 交 點 速 度 的 最 簡 求 法 研 究 2v 1v 1l2l21v 22v1

24、2v11v Pv 2v 1L2L 1v P如 圖 ， L1、 L2的 交 點 P相 對 地 面 的 速 度 為 .Pv1 2 1 2 1 2 v v L L P P P 、 分 別 為 、 上 的 與 交 點 重 合 的 點 、的 速 度 .分 別 作 L1、 L2的 切 線 l1、 l2.取 與 L1上 的 P1點 一 起 以 速 度 運 動 的 參 照 系 ，1v在 此 參 照 系 中 P點 以 速 度 沿 l 1運 動 . 1v 則1 1Pv v v 取 與 L2上 的 P2點 一 起 以 速 度 運 動 的 參 照 系 ，2v在 此 參 照 系 中 P點 以 速 度 沿 l2運 動 .

25、 2v 則2 2Pv v v 在 地 面 參 照 系 中 沿 l1、 l2方 向 分 解 1:v 1 11 12v v v 在 地 面 參 照 系 中 沿 l1、 l2方 向 分 解 2 :v 2 21 22v v v 由 圖 可 知 12 21Pv v v 重 解 例 5： l1 l2P v1 v212 1cscv v 21 2 cscv v 由 余 弦 定 理 求 合 ：2 212 21 12 212 cos( )Pv v v v v v112v v221vPv2 21 2 1 22 cos csc .v v vv 重 解 例 6： xyO v0PP0 v0v01001 cosvv ，所

26、以 01Pv v進 一 步 便 可 得 到 交 點 P 的 向 心 加 速 度 . 題 后 總 結 與 思 考該 方 法 僅 局 限 于 光 滑 平 面 運 動 曲 線 的 交 點 ！此 方 法 是 否 僅 限 于 兩 曲 線 作 平 動 的 情 況 ？ 請 論 證 .10 0.v 0= .cosv 疑 難 題 目 解 答 研 究 例 1 如 圖 ， 光 滑 水 平 面 上 兩 根 剛 性 細 桿 OM、 ON成 15夾 角 交 于 O點 ， 小 球 在 OM的 內(nèi) 側 與 O相 距 l=20cm的 P點 處 ， 以 與 MO成 30角 方 向 的 初 速 朝 ON桿 運 動 ， 初 速 度

27、大小 為 v0=10cm/s. 試 問 小 球 能 否 回 到 P處 ？ 若 能 ， 則 須 經(jīng) 多 少 時 間 回 到 P處 ？解 小 球 作 的 是 勻 速 折 線 運 動 . MNPO l 300150 而 光 線 經(jīng) 鏡 面 反 射 后 的 行 進 等 效于 光 線 沿 原 入 射 方 向 的 行 進 . 因 此 光 線 在 兩 平 面 鏡 之 間 的 不 斷反 射 可 等 效 為 光 線 沿 PP直 線 傳 播 . 可 將 小 球 的 運 動 類 比 為 光 線 在 平面 鏡 M、 N之 間 的 反 射 .由 于 4 15 60POP ，因 此 光 線 能 夠 沿 原 路 返 回 到

28、 P點 . PP090 .PPO 所 以 MNPO lP 300150P 所 以 小 球 從 P點 出 發(fā) 到 又 回到 P點 ， 總 的 路 程 即 為 PP=2PP.所 經(jīng) 歷 的 時 間 為02PPt v 002 cos30l v 2 3( )s本 題 還 有 另 一 種 常 規(guī) 解 法 ：1、 看 小 球 多 次 彈 碰 后 是 否 會 與 桿 正 碰2、 確 定 在 什 么 位 置 正 碰3、 算 出 所 有 折 線 段 的 總 長4、 計 算 時 間但 這 種 解 法 需 解 三 角 形 ！ ！ 試 一 試 ， 看 能 否 用 此 法 解 答 .題 后 總 結 與 思 考這 種 解

29、 法 的 實 質(zhì) 就 是 將 折 線 運 動 等 效 變 為 直 線 運 動 從 而 使 問 題 得 以 簡 化 . 0 0 02 2( ) .3 3Ct KT T K T SS （ a）（ b） 取 t = 0時 白 色 點 在 A位 置 . ABC0 0 01 1( ) .3 3Bt KT T K T （ K=0、 1、 2、 3、 ）0 01T f設 為 圓 盤 轉 動 的 周 期 .解 例 2 圖 （ a） 中 的 黑 色 圓 盤 上 有 白 色 點 S， 盤 繞 中 心 軸 以 f0= 50He的 頻 率 旋 轉 ， 如果 用 頻 率 為 f 的 頻 閃 光 去 照 射 該 盤 ，

30、在 盤 上 能 看 到 穩(wěn) 定 地 出 現(xiàn) 如 圖 （ b） 的 三 個 白 色點 . 請 算 出 兩 種 可 能 的 f 值 ， 其 一 大 于 f0， 其 二 小 于 f0 . 又 若 取 f = 51He， 那 么 在 盤 上 能觀 察 到 什 么 現(xiàn) 象 ？則 白 點 在 B位 置 的 時 刻 ： （ K=0、 1、 2、 3、 ）白 點 在 C位 置 的 時 刻 ： 120012001200則 白 點 在 A位 置 的 時 刻 ：0.At KT （ K=0、 1、 2、 3、 ） （ 1） 若 白 點 在 B處這 要 求 頻 閃 周 期 為 011 33 1f fT K 1 022

31、(2 )3t T K T 在 時 刻 頻 閃 光 照 亮 時 ： 白 點 在 C位 置 .1 033 (3 )3t T K T 在 時 刻 頻 閃 光 照 亮 時 ： 白 點 在 A位 置 .則 頻 閃 光 第 二 次 照 亮 圓 盤 時 ：即 有 SS （ a）（ b）ABC 120012001200設 t = 0時 頻 閃 光 第 一 次 照 亮 圓 盤 （ 即 看 見 白 色 點 在 A） .如 此 重 復 ， 便 能 在 圓 盤 上 到 三 個 穩(wěn) 定 的 白 點 .1 0 013T KT T （ K 1=0、 1、 2、 3、 、 ） .1 01( )3K T ， 頻 閃 光 的 頻

32、 率 還 有沒 有 其 他 可 取 值 ？ 2 0 0 1 02 2( )3 3T KT T K T ， （ b）A BC （ 2） 若 頻 閃 光 第 二 次 照 亮 時 ， 白 點 在 C處 這 要 求 頻 閃 周 期 為 （ K2=0、 1、 2、 3、 、 ）021 33 2f fT K 2 0 012 (2 1) 3t T K T T 在 時 刻 頻 閃 光 照 亮 時 ： 白 點 在 B位 置 .2 03 (3 2)t T K T 在 時 刻 頻 閃 光 照 亮 時 ： 白 點 在 A位 置 . 綜 上 可 知 ， 頻 閃 光 的 可 取 頻 率 范 圍 為 ：0 0 0 013

33、3 31 :3 , , ( )4 7 3 1f f f fK （ ） ， ， ； 0 0 0 023 3 3 31 : , , ( ).2 5 8 3 2f f f fK （ ） ， ， 其 中 ， 大 于 f0 的 f 有 ： 0 033 (150 ) (75 )2f He f He， ；0 03 (37.5 ) (30 ),4 f He f He ， ， 等 無 窮 多 . 小 于 f0 的 f 有 ：如 此 重 復 ， 便 能 在 圓 盤 上 到 三 個 穩(wěn) 定 的 白 點 .即 有 圖 （ c）A 若 f 稍 大 于 f0 (如 f =51He)， 則 T 稍 小 于 T0 ， 這 意

34、 味 著 白 點在 A位 置 被 照 亮 后 ， 經(jīng) 過 時 間 T 順 時 針 將 轉 過 大 半 周 （ T/T0周 ） . 白 點 倒 退 一 周 所 需 的 時 間 為 0001 TTTT T T TT 退 倒 退 的 頻 率 為 0 0 00 01 11 51 50 1He1T T f ff f fT TT f f 退 退 這 相 當 于 逆 時 針 轉 過 小 半 周 即 （ 1-T/T0 ） 周 又 被 照 亮 ，故 會 看 見 白 點 逆 時 針 倒 退 . 題 后 總 結 通 過 該 題 知 道 了 ：為 什 么 看 電 影 時 ，有 時 看 見 汽 車 前進而 車 輪 卻

35、反 轉 ？ 例 3 如 圖 ， OABC是 一 桌 球 臺 面 . 取 OA為 x 軸 ， OC為 y 軸 ， P是 紅 球 ， 坐 標 為(x, y), Q是 白 球 ， 坐 標 為 （ x, y ), (圖 中 未 畫 出 Q球 在 臺 面 上 的 位 置 ） . 已 知 OA=BC=25 分 米 ， AB=OC=12分 米 . ABCO P Q xy (x, y) 解 NM （ 1） 若 P球 的 坐 標 為 ： x=10分 米 ， y=8分 米 . 問Q球 的 位 置 在 什 么 范 圍 內(nèi) 時 ， 可 使 擊 出 的 Q球 順 次 與AB、 BC、 CO和 OA四 壁 碰 撞 反 彈

36、 ， 最 后 擊 中 P球 ？ （ 2） P球 有 沒 有 一 些 位 置 是 Q球 無 論 在 什 么 位 置出 發(fā) ， 按 上 述 次 序 從 四 壁 反 彈 后 都 無 法 擊 中 的 ？ 如沒 有 ， 加 以 證 明 ； 如 有 ， 找 出 這 些 位 置 的 范 圍 .（ 白 球 Q同 四 壁 的 碰 撞 均 為 彈 性 碰 撞 ， 兩 球 體 積 很小 ， 可 看 作 質(zhì) 點 .）如 右 圖 ， 你 能 不 能 讓 白 球 與 桌 璧 N M 彈 性相 碰 后 擊 中 紅 球 ? ABCO P Q xy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8) 給 球 桌 各 頂 點 及

37、 紅 球 的 位 置 標 注 上 坐 標 (0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32) （ 1）1、 如 果 白 球 對 著 鏡 像 點 P1擊 在 OA上 就 能 擊 中 P；如 果 白 球 對 著 鏡 像 點 P2擊 在 CO上 就 能 射 向 P1;如 果 白 球 對 著 鏡 像 點 P3擊 在 OC上 就 能 射 向 P2；如 果 白 球 對 著 鏡 像 點 P4擊 在 BA上 就 能 射 向 P3. ABCO P Q xy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,3

38、2) P4(60,32)F 2、 為 了 保 證 白 球 能 對 著 P4點 且 擊 在 BA上 ， 白 球 應 該 放 在 什 么 區(qū) 域 ？ 3、 白 球 放 在 該 區(qū) 域 是 否 能 保 證 經(jīng) BA反 彈 后 能 擊 在 BC上 ？ 4、 白 球 是 否 擊 在 BC上 任 何 地 方 都 能 反 彈 后 又 擊 在 CO上 ？ 比 如 放 在 圖 中 所 示 的 點 處 ？ ABCO P Q xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E 5、 白 球 應 該 對 著 P3擊 在

39、 BC上 的 什 么 地 方 才 能 保 證 經(jīng) BC反 彈 后 能 擊 在 CO上 ？作 直 線 P2O交 CB于 E點 ， E點 坐 標 為 (15,12).(15,12)F ABCO P Q xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E (15,12) D(25,4) 6、 白 球 應 該 對 著 P4擊 在 BA上 的 什 么 地 方 才 能 保 證 經(jīng) BA反 彈 后 能 擊 在 EC上 ？作 直 線 P3E交 BA于 D點 ， D點 坐 標 為 (25,4). ABCO P Q

40、 xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E(15,12) D(25,4)(20,0) 7、 白 球 應 該 放 在 什 么 區(qū) 域 才 能 保 證 對 著 P4擊 在 DA上 ？H作 直 線 P4D， 交 AO于 H， H點 的 坐 標 (20,0). ABCO P Q xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E(15,12) DH (25,4)(20,0)最 終 結 論 ： 白

41、 球 應 放 在 三 角 形 DAH以 內(nèi) 的 區(qū) 域 .（ 但 不 能 放 在 HD、 DA邊 上 ） （ 2） P球 有 沒 有 一 些 位 置 是 Q球 無 論 在 什 么 位 置 出 發(fā) ， 按 上 述 次 序 從 四 壁 反 彈 后 都無 法 擊 中 的 ？ 如 沒 有 ， 加 以 證 明 ； 如 有 ， 找 出 這 些 位 置 的 范 圍 . ABCO P Q xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(10,8)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E(15,12) DH (25,4)(20,0) 問 題 可 轉 換 為 ：

42、 P 球 有 沒 有 一 些 位 置 ， 使 （ 1） 問 的 解 答 中 求 得 的 三 角 形 DAH不 存在 （ 或 者 說 面 積 縮 小 為 零 ） ？ ABCO P Q xy(0,12) (25,12)(25,0)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E DH(12.5,12)連 接 P3、 A點 ， 交 BC于 E點 ， 當 紅 球 P放 在 三 角 形 CEO以 內(nèi) 的 區(qū) 域 以 及 其 邊 上 時 ， 無 論 白 球 從 何 處 開 始 擊 出 ， 不 可能 擊 中 紅 球 . E 若 P點 左 移 ， D點 下 移 ，三

43、 角 形 DAH的 面 積 就 會 縮 小 則 E點 左 移 ，E點 的 坐 標 為 (12.5,12).最 終 結 論 ： 連 接 E、 O. ABCO P xy(0,12) （ 25,12)(25,0)(0,0) P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32) P4(60,32)E DH(12.5,12)Q 題 后 總 結 與 思 考也 是 利 用 將 彈 碰 類 比 于 光 的 鏡 面 反 射 來 解 決 問 題 .本 題 采 用 其 他 數(shù) 學 方 法 還 有 多 種 解 法 ， 你 還 出 想 出 哪 些 ？ xyO v0P P1P2P0 P31 21 cosPPPP 如

44、 圖 ， 在 PP1P2中 ， 1 1 2 1 2cosPP PPP PP 1P P當 無 限 趨 近 于 時 ， 有 1 2cos cosPPP 1 1,PP PP于 是 有 如 何 直 接 得 出 1 21 cosPPPP P 1P 2P 鏡 面 反 射 后 的 光 線 的 行 進 可 等 效 處 理 為 在虛 像 空 間 中 光 線 沿 原 入 射 方 向 的 直 線 行 進 P 1 MNP2P3P4 M NM P2P 3P4P3P4P4（ 1） 光 線 1在 鏡 面 N的 P1點 發(fā) 生 反 射 ,其反 射 光 線 2的 行 進 等 效 于 在 虛 像 空 間 中 光線 2的 行 進

45、. 1234 233444（ 2） 光 線 2在 鏡 面 M的 P2點 發(fā) 生 反 射 后得 到 反 射 光 線 3， 相 應 地 光 線 2在 虛 鏡 面M 上 的 P2點 發(fā) 生 反 射 后 得 到 反 射 光 線 3，反 射 光 線 3的 行 進 等 效 于 在 虛 像 空 間 中光 線 3的 行 進 . N （ 3） 光 線 3在 鏡 面 N的 P3點 反 射 后 得 到 光線 4， 相 應 地 光 線 3在 虛 鏡 面 N的 P3點 發(fā)生 反 射 得 到 光 線 4， 相 應 地 光 線 3在 虛 鏡面 N的 P3點 發(fā) 生 反 射 得 到 光 線 4， 反 射光 線 4的 行 進 等 效 于 在 虛 像 空 間 中 光 線4的 行 進 .