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1、8.1 匹配濾波器8.2 最小差錯(cuò)概率接收準(zhǔn)則8.3 確知信號(hào)的最佳接收機(jī)8.4 隨相信號(hào)的最佳接收機(jī)8.5 最佳接收機(jī)性能比較8.6 最佳基帶傳輸系統(tǒng) 第 8 章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收返回主目錄 第8章 數(shù)字信號(hào)的最佳接收 在數(shù)字通信系統(tǒng)中，信道的傳輸特性和傳輸過程中噪聲的存在是影響通信性能的兩個(gè)主要因素。人們總是希望在一定的傳輸條件下，達(dá)到最好的傳輸性能，最佳接收就是在噪聲干擾中如何有效地檢測出信號(hào)。 所謂最佳是在某種標(biāo)準(zhǔn)下系統(tǒng)性能達(dá)到最佳，最佳接收是個(gè)相對(duì)的概念，在某種準(zhǔn)則下的最佳系統(tǒng)，在另外一種準(zhǔn)則下就不一定是最佳的。在某些特定條件下，幾種最佳準(zhǔn)則也可能是等價(jià)的。 在數(shù)字通信中，最常采用

2、的是輸出信噪比最大準(zhǔn)則和差錯(cuò)概率最小準(zhǔn)則。 8.1 匹配濾波器（Matched Filter） 在數(shù)字信號(hào)接收中，濾波器的作用有兩個(gè)方面，第一是使濾波器輸出有用信號(hào)成分盡可能強(qiáng)；第二是抑制信號(hào)帶外噪聲，使濾波器輸出噪聲成分盡可能小，減小噪聲對(duì)信號(hào)判決的影響。 通常對(duì)最佳線性濾波器的設(shè)計(jì)有兩種準(zhǔn)則：一種是使濾波器輸出的信號(hào)波形與發(fā)送信號(hào)波形之間的均方誤差最小，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為維納濾波器；另一種是使濾波器輸出信噪比在某一特定時(shí)刻達(dá)到最大，由此而導(dǎo)出的最佳線性濾波器稱為匹配濾波器。在數(shù)字通信中，匹配濾波器具有更廣泛的應(yīng)用。 圖 8 1 數(shù)字信號(hào)接收等效原理圖 H()判決s(t) n(t

3、) r(t) y(t) tt0輸出SN( )o 由數(shù)字信號(hào)的判決原理我們知道，抽樣判決器輸出數(shù)據(jù)正確與否，與濾波器輸出信號(hào)波形和發(fā)送信號(hào)波形之間的相似程度無關(guān)，也即與濾波器輸出信號(hào)波形的失真程度無關(guān)，而只取決于抽樣時(shí)刻信號(hào)的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，錯(cuò)誤判決的概率就越?。环粗?，信噪比越小，錯(cuò)誤判決概率就越大。 因此，為了使錯(cuò)誤判決概率盡可能小，就要選擇濾波器傳輸特性使濾波器輸出信噪比盡可能大的濾波器。當(dāng)選擇的濾波器傳輸特性使輸出信噪比達(dá)到最大值時(shí)，該濾波器就稱為輸出信噪比最大的最佳線性濾波器。下面就來分析當(dāng)濾波器具有什么樣的特性時(shí)才能使輸出信噪比達(dá)到最大。 濾波器輸入(

4、8.1 - 1)()()( tntstr 濾波器輸出(8.1 - 2)()()( 00 tntsty deHSdeSts tjtj )()(21)(21)( 00 (8.1 - 3) 濾波器輸出噪聲的平均功率為 dHPdPN inn 20 )()(21)(21 0 dHndHn 2020 )(4)()(221 (8.1 - 4) dHn deSHNtsr tj20 20 2000 )(4 )()(21)( 0在抽樣時(shí)刻t0，線性濾波器輸出信號(hào)的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為(8.1 - 5) 濾波器輸出信噪比ro與輸入信號(hào)的頻譜函數(shù)S()和濾波器的傳輸函數(shù)H()有關(guān)。在輸入信號(hào)給定的情況下，輸出

5、信噪比ro只與濾波器的傳輸函數(shù)H()有關(guān)。使輸出信噪比ro達(dá)到最大的傳輸函數(shù)H()就是我們所要求的最佳濾波器的傳輸函數(shù)。施瓦茲(Schwartz)不等式 dYdXdYX 222 )(21)(21)()(21 (8.1 - 6)式中， X()和Y()都是實(shí)變量的復(fù)函數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)式中等式才能成立。)()( KYX (8.1 - 7) )()( HX (8.1 - 8)0)()( tjeSY (8.1 - 9)令可得 dHn deSHr tj20 20 )(4 )()(21 0 (8.1 - 10)2 )(21)(4 )()(41 0 220 222 0 n dSdHn deSdH tj 根據(jù)帕塞

6、瓦爾(Parseval)定理有EdttsdS )()(21 22 (8.1 - 11) 00 2nEr (8.1 - 12)因此最大輸出信噪比0max0 2nEr (8.1 - 13) 0)()( tjeKSH (8.1 - 14)根據(jù)施瓦茲不等式中等號(hào)成立的條件可得匹配濾波器 deeKSdeHth tjtjtj 0)(21)(21)( dsdeK dedesK ttj ttjj )(21 )(2 )( )(0 0 )()()( 00 ttKsdttsK (8.1 - 15) 即匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為)()( 0 ttKsth (8.1 - 16)上式表明，匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)

7、是輸入信號(hào)s(t)的鏡像函數(shù)，t0為輸出最大信噪比時(shí)刻。 圖8-2 匹配濾波器單位沖激響應(yīng)原理s(t)O T t h(t)O tt0 0,0 0),()( 0 ttttKsth (8.1 - 17)對(duì)于因果系統(tǒng)000 0,0)( 0,0)( ttttts ttts 或(8.1 - 18)因此必須有(8.1 - 19) 上式條件說明，對(duì)于一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器，其輸入信號(hào)s(t)必須在它輸出最大信噪比的時(shí)刻t0之前結(jié)束。也就是說，若輸入信號(hào)在T時(shí)刻結(jié)束，則對(duì)物理可實(shí)現(xiàn)的匹配濾波器，其輸出最大信噪比時(shí)刻t0必須在輸入信號(hào)結(jié)束之后，即t0T。對(duì)于接收機(jī)來說，t 0是時(shí)間延遲，通?？偸窍Ｍ麜r(shí)間延遲

8、盡可能小，因此一般情況可取t0=T。 dtKsts dhtsthtsts )()( )()()()()( 00 (8.1 - 20)輸出信號(hào))()()()( 000 ttRKdxttxsxsKts (8.1 - 21)令xt 0 上式表明，匹配濾波器的輸出波形是輸入信號(hào)s(t)的自相關(guān)函數(shù)的K倍。因此，匹配濾波器可以看成是一個(gè)計(jì)算輸入信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器，其在t0時(shí)刻得到最大輸出信噪比romax=2E/n0。由于輸出信噪比與常數(shù)K無關(guān)，所以通常取K=1。 例 8 - 1設(shè)輸入信號(hào)如圖 8 - 3(a)所示，試求該信號(hào)的匹配濾波器傳輸函數(shù)和輸出信號(hào)波形。 頻譜函數(shù) 其它,0 20,1)( Tt

9、ts解：(1) 輸入信號(hào)為 22/0 11)()( TjT tjtj ejdtedtetsS傳遞函數(shù)00 11)()( 2 tjTjtj eejeSH 沖激響應(yīng))()( 0 ttsth 圖8-3 信號(hào)時(shí)間波形(a) (b)so(t)O T t(c)2T 2T 2T 23T s(t) 0 T t 2 T 1 h(t) 0 T t 1 )thts 取t0=T，則有TjTj eejH 11)( 2)()( 0 ttsth (2) 匹配濾波器的輸出為 其它,0 23,23 2,2 )()()()( 000 TtTtT TtTtT dxttxsxsttRts可見，匹配濾波器的輸出在t=T時(shí)刻得到最大的能

10、量E= T/2。 8.2 最小差錯(cuò)概率接收準(zhǔn)則 匹配濾波器是以抽樣時(shí)刻信噪比最大為標(biāo)準(zhǔn)來構(gòu)造接收機(jī)。在數(shù)字通信中，人們更關(guān)心判決輸出的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確率，因此，使輸出總誤碼率最小的最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則，更適合于作為數(shù)字信號(hào)接收的準(zhǔn)則。8.2.1 數(shù)字信號(hào)接收的統(tǒng)計(jì)模型 在數(shù)字信號(hào)的最佳接收分析中，我們不是采用先給出接收機(jī)模型然后分析其性能的分析方法，而是從數(shù)字信號(hào)接收統(tǒng)計(jì)模型出發(fā)，依據(jù)某種最佳接收準(zhǔn)則，推導(dǎo)出相應(yīng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)，然后再分析其性能。 圖 8 4 數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型X S Y判決規(guī)則Rn消息空間信號(hào)空間觀察空間判決空間噪聲空間 圖中消息空間、 信號(hào)空間、噪聲空間、觀察空間及判決空間分別代

11、表消息、 發(fā)送信號(hào)、噪聲、接收信號(hào)波形及判決結(jié)果的所有可能狀態(tài)的集合。各個(gè)空間的狀態(tài)用它們的統(tǒng)計(jì)特性來描述。 在數(shù)字通信系統(tǒng)中，消息是離散的狀態(tài)。 消息是各種物理量，本身不能直接在數(shù)字通信系統(tǒng)中進(jìn)行傳輸，因此需要將消息變換為相應(yīng)的電信號(hào)s(t)。通常最直接的方法是建立消息與信號(hào)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 )()()( 2211 mmxPxxPxxPx 1)(1 mi ixP mxPxPxP m 1)()()( 21 msssS , 21 1)(1 mi isP msPsPsP m 1)()()( 21 mxxxX , 21 )()()( 2211 mmsPssPssPs 消息信號(hào) P(si)是描述信號(hào)

12、發(fā)送概率的參數(shù)，通常稱為先驗(yàn)概率，它是信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測的第一數(shù)據(jù)。 信道特性是加性高斯噪聲信道，噪聲空間n是加性高斯噪聲。為了更全面地描述噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，采用噪聲的多維聯(lián)合概率密度函數(shù)。(8.2 - 7),()( 21 knnnfnf 根據(jù)隨機(jī)信號(hào)分析理論我們知道，若噪聲是高斯白噪聲，則它在任意兩個(gè)時(shí)刻上得到的樣值都是互不相關(guān)的，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；若噪聲是帶限高斯型的，按抽樣定理對(duì)其抽樣，則它在抽樣時(shí)刻上的樣值也是互不相關(guān)的，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。根據(jù)隨機(jī)信號(hào)分析，若隨機(jī)信號(hào)各樣值是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則有k維概率密度(8.2 - 8) )()()(),( 2121 kk nfnfnfnnnf 222ex

13、p21)( nini nnf ki inkn nnf 1 2221exp21)( 根據(jù)帕塞瓦爾定理，當(dāng)k很大時(shí)有dttnnn Tk i in )(121 0 201 22 (8.2 - 9)一維概率密度(8.2 - 10)k維概率密度(8.2 - 11)式中 為噪聲的單邊功率譜密度。 Hnfn 20 公式(8.2-11)的推導(dǎo)： 若低通信道的截止頻率為fH，理想抽樣頻率為2fH，則在(0, T)時(shí)間內(nèi)共有2fHT個(gè)抽樣值，其平均功率為 TfknTfN Hki iH 2,2 1 1 20 令抽樣間隔 ，若 ，則有Hft 21 Tkn dttnnnf 0 20 )(1exp21)( (8.2 -

14、12)Tt Tki i dttnTtnTN 0 21 20 )(11 Tki iHki in dttnntntfnn 0 201 201 22 )(12 121將公式(8.2-11)代入(8.2-10)可得 信號(hào)通過信道疊加噪聲后到達(dá)觀察空間，由于在一個(gè)碼元期間T內(nèi)，信號(hào)集合中各狀態(tài)s1, s2, , sm 中之一被發(fā)送，因此在觀察期間T內(nèi)觀察波形為由于n(t)是均值為零，方差為2n的高斯過程，則當(dāng)出現(xiàn)信號(hào)si(t)時(shí), y(t)的概率密度函數(shù)可表示為),2,1()()()( mitstnty i (8.2 - 13)(8.2 - 14) ),2,1()()(1exp21)( 0 20 mid

15、ttstynyf T iknsi fsi(y)稱為似然函數(shù)，它是信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測的第二數(shù)據(jù)。 8.2.2 最佳接收準(zhǔn)則 在數(shù)字通信系統(tǒng)中，最直觀且最合理的準(zhǔn)則是“最小差錯(cuò)概率”準(zhǔn)則。由于在傳輸過程中，信號(hào)會(huì)受到畸變和噪聲的干擾，發(fā)送信號(hào)si(t)時(shí)不一定能判為ri出現(xiàn)，而是判決空間的所有狀態(tài)都可能出現(xiàn)。這樣將會(huì)造成錯(cuò)誤接收，我們期望錯(cuò)誤接收的概率愈小愈好。 在噪聲干擾環(huán)境中，按照何種方法接收信號(hào)才能使得錯(cuò)誤概率最??？我們以二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)為例分析其原理。在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，發(fā)送信號(hào)只有兩種狀態(tài)，假設(shè)發(fā)送信號(hào)s 1(t)和s2(t)的先驗(yàn)概率分別為P(s1)和P(s2)，s1(t)和s2(t)

16、在觀察時(shí)刻的取值分別為a1和a2，出現(xiàn)s1(t)信號(hào)時(shí)y(t)的概率密度函數(shù)fs1(y)為 dtatynyf Tkns 20 10 )(1exp21)(1 同理(8.2 - 15) dtatynyf Tkns 20 20 )(1exp21)(2 (8.2 - 16)圖 8- 5 f s1(y)和fs2(y)的曲線圖fs1(y) fs2(y) ya2 aa1 yi 若在觀察時(shí)刻得到的觀察值為yi，可依概率將yi判為r1或r2。 a sa s dyyfqdyyfq )()( 21 21可以看出即yi屬于r1的概率大于yi屬于r2的概率。因此，依大概率應(yīng)將yi判為r1出現(xiàn)。 a s dyyfq )(

17、11在yi附近取一小區(qū)間aa內(nèi)屬于r1的概率 (8.2 - 17) a s dyyfq )(22a內(nèi)屬于r2的概率 (8.2 - 18) 圖 8 6 判決過程示意圖 ya2y 0a1P Pfs1( y) fs2( y)r1 r2 根據(jù)fs1(y)和fs2(y)的單調(diào)性質(zhì)，在下圖中y坐標(biāo)上可以找到一個(gè)劃分點(diǎn)y0。在區(qū)間(-, y0，q1q2；在區(qū)間(y0, )，q1q2。根據(jù)下圖所分析的判決原理，當(dāng)觀察時(shí)刻得到的觀察值yi (-, y0)時(shí)，判為r1出現(xiàn)；若觀察時(shí)刻得到的觀察值yi (y0, )時(shí)，判為r2出現(xiàn)。 如果發(fā)送的是s1(t)，但是觀察時(shí)刻得到的觀察值yi落在(y0,)區(qū)間, 被判為r

18、2出現(xiàn)，這時(shí)將造成錯(cuò)誤判決，其錯(cuò)誤概率為dyyfsP y ss )()( 0 11 2 (8.2 - 19)dyyfsP y ss )()( 0 22 1 (8.2 - 20)同理dyyfsPdyyfsP sPsPsPsPP y sy s sse )()()()( )()()()( 0 20 1 21 21 1221 (8.2 - 21)總誤碼率可以看出，系統(tǒng)總的誤碼率與先驗(yàn)概率、似然函數(shù)及劃分點(diǎn)y0有關(guān)。 在先驗(yàn)概率和似然函數(shù)一定的情況下，系統(tǒng)總的誤碼率Pe是劃分點(diǎn)y0的函數(shù)。)( )()( )( 120021 sP sPyf yfss 00 yPe (8.2 - 22)0)()()()(

19、0201 21 yfsPyfsP ss (8.2 - 23)y0為最佳劃分點(diǎn)，于是有(8.2 - 24) 為了達(dá)到最小差錯(cuò)概率，可以按以下規(guī)則進(jìn)行判決 )(,)( )()( )( )(,)( )()( )( 2212 1112 2121 srsP sPyf yf srsP sPyf yfssss即判為即判為(8.2 - 25)以上判決規(guī)則稱為似然比準(zhǔn)則。在加性高斯白噪聲條件下，似然比準(zhǔn)則和最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則是等價(jià)的。 當(dāng)s1(t)和s2(t)的發(fā)送概率相等時(shí)，即P(s1)=P(s2)時(shí)，則有 )(),()( )(),()( 22 1121 21 sryfyf sryfyf ss ss即判為即判為

20、(8.2 - 26) 上式判決規(guī)則稱為最大似然準(zhǔn)則，其物理概念是，接收到的波形y中，哪個(gè)似然函數(shù)大就判為哪個(gè)信號(hào)出現(xiàn)。 以上判決規(guī)則可以推廣到多進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，對(duì)于m個(gè)可能發(fā)送的信號(hào)，在先驗(yàn)概率相等時(shí)的最大似然準(zhǔn)則為 最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則是數(shù)字通信系統(tǒng)最常采用的準(zhǔn)則，除此之外，貝葉斯(Bayes)準(zhǔn)則、尼曼-皮爾遜(Neyman-Pearson)準(zhǔn)則、極大極小準(zhǔn)則等有時(shí)也被采用。 );,2,1;,2,1( ),()( jimjmi syfyf iss ji 判為(8.2 - 27) 8.3 確知信號(hào)的最佳接收機(jī) 信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測是利用概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的工具來設(shè)計(jì)接收機(jī)。所謂最佳接收機(jī)設(shè)計(jì)是指在一組給

21、定的假設(shè)條件下，利用信號(hào)檢測理論給出滿足某種最佳準(zhǔn)則接收機(jī)的數(shù)學(xué)描述和組成原理框圖，而不涉及接收機(jī)各級(jí)的具體電路。 圖 8 7 接收端原理最佳接收機(jī)s(t) n(t)輸出 8.3.1 二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) tT dttsEdttsEE 0 2220 211 )()(在 (0, T)內(nèi)(8.3 - 1) 時(shí)發(fā)送時(shí)發(fā)送)(),()( )(),()()( 22 11 tstnts tstntsty (8.3 - 2)合成波 dttstynyf Tkns 20 10 )()(1exp21)(1 (8.3 - 3) dttstynyf Tkns 20 20 )()(1exp21)(2 (8.3

22、- 4)似然函數(shù))( )()( )( 120021 sP sPyf yfss (8.3 - 5)判為s1(t)出現(xiàn) )( )()( )( 120021 sP sPyf yfss (8.3 - 6)判為s2(t)出現(xiàn) TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(判為s1(t)出現(xiàn) TT dttstyUdttstyU 0 220 11 )()()()(判為s2(t)出現(xiàn) )(ln2 )(ln2 202 101 sPnU sPnU (8.3 - 9)式中在先驗(yàn)概率P(s1)和P(s2)給定的情況下，U1和U2都為常數(shù)。 圖 8 8 二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)積分器y(t)

23、 s1(t)輸出積分器 s2(t) U1U2比較器 這種最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)是按比較觀察波形y(t)與s1(t)和s2(t)的相關(guān)性而構(gòu)成的，因而稱為相關(guān)接收機(jī)。其中相乘器與積分器構(gòu)成相關(guān)器。 圖 8- 9 二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)簡化結(jié)構(gòu) 積分器y(t) s1(t)輸出積分器 s2(t)比較器 如果發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)的出現(xiàn)概率相等，即P(s1)=P(s2)，則可得U1=U2。于是在先驗(yàn)等概率情況下的二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)可以簡化結(jié)構(gòu)。 匹配濾波器可以看成是一個(gè)計(jì)算輸入信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器。)()( tTsth (8.3 - 10)沖激響應(yīng) )()()( tntsty (8.3 -

24、 11)合成波 (8.3 - 12)t=T時(shí)刻的輸出 TTT dttsty dttTTsty dttThtyTu 0000 )()( )()( )()()(可以看出匹配濾波器在抽樣時(shí)刻t=T時(shí)的輸出樣值與最佳接收機(jī)中相關(guān)器在t=T時(shí)的輸出樣值相等，因此，可以用匹配濾波器代替相關(guān)器構(gòu)成最佳接收機(jī)。 圖 8- 10 匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)h1(t)s1(Tt)(0tT)y(t)輸出比較器h2(t)s2(Tt)(0tT) 在最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則下，相關(guān)器形式的最佳接收機(jī)與匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)是等價(jià)的。另外，無論是相關(guān)器還是匹配濾波器形式的最佳接收機(jī), 它們的比較器都是在t=T時(shí)刻才作出判決，也即在碼元結(jié)束時(shí)刻才能給出最佳判決結(jié)果。因此，判決時(shí)刻的任何偏差都將影響接收機(jī)的性能。 本章結(jié)束習(xí)題：8-4，8-8， 8-9