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1、2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（2+i）z＝2i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模為（　?。? A． B． C． D． 2．已知平面向量＝（1，﹣2），＝（4，m），且，則向量是（　?。? A．（﹣7，﹣34） B．（﹣7．﹣16） C．（﹣7，﹣4） D．（﹣7，14） 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b＝4，c＝2，C＝60°，則此三角形的解的情況是（　?。? A．有一解 B．有兩解 C．無(wú)解 D．

2、有解但解的個(gè)數(shù)不確定 4．某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為，則的大小關(guān)系是（注：同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似替代）（　?。? A． B． C． D． 5．已知某圓錐軸截面的頂角為120°，過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為2，則該圓錐的底面半徑為（　?。? A． B． C． D． 6．設(shè)點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，且有，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，設(shè)△ADC與△AOC的面積分別為S1、S2，則S1：S2＝（　?。? A．1：2 B．1：3 C．3：2 D．5：3 7．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面

3、體稱(chēng)為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（　　） A． B． C． D． 8．三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝，AP＝3，BC＝6，則該三棱錐外接球的表面積為（　?。? A．45π B．63π C．57π D．84π 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分． 9．若，，是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（　　） A．若＝，則||＝|| B．若＝，則＝ C．若∥，，則 D．

4、若|+|＝|﹣|，則 10．已知m、n為兩條不重合的直線，α、β為兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（　?。? A．若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β C．若m∥n，n?α，α∥β，m?β，則m∥β D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，則m∥β 11．某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為170cm，方差為17cm2；女生身高樣本均值為160cm，方差為30cm2.下列說(shuō)法中正確的是（　?。? A．男生樣本容量為30

5、 B．每個(gè)女生被抽入到樣本的概率均為 C．所有樣本的均值為166cm D．所有樣本的方差為46.2cm2 12．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，P是A1D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（　　） A．BP的最小值為 B．PA+PC的最小值為 C．當(dāng)P在直線A1D上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐B1﹣ACP的體積不變 D．以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面AB1C的交線長(zhǎng)為 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是3，則數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均數(shù)為 　 ?。? 14．如圖所示是利用

6、斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的△ABC的直觀圖，已知A'C'∥y'軸，B'C'∥x'軸且2A'C'＝B'C'＝2，則△ABC的周長(zhǎng)為 　 ?。? 15．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為BC、CC1的中點(diǎn)，則平面AEF截正方體所得的截面面積為 　 ?。? 16．如圖，△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且滿(mǎn)足（b+c）cosA＝a（2﹣cosB﹣cosC），b＝c，設(shè)∠AOB＝θ（0＜θ＜π）．OA＝2OB＝4，則四邊形OACB面積的最大值為 　 ?。? 四、解答題：本大題共6個(gè)大題

7、，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，＝3+，＝﹣3，＝2+λ． （1）若B，C，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)λ的值； （2）若||＝2||＝2，，的夾角是，且，求實(shí)數(shù)λ的值． 18．已知z＝a+bi（a，b∈R），z+2i和均為實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位． （Ⅰ）求復(fù)數(shù)z； （Ⅱ）若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 19．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA1＝AB＝2，BC＝3． （1）求證：

8、AB1∥平面BC1D； （2）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積． 20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sin2B+sin2C＝（sinA+6sinBsinC）sinA． （1）求tanA； （2）若，，求△ABC的面積． 21．某校為了解高一學(xué)生在五一假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的情況，抽樣調(diào)查了其中的100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖． （1）估計(jì)這100名學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)； （2）估

9、計(jì)這100名學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間的上四分位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）． 22．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE＝2，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）． （1）證明：EF⊥平面ABE； （2）求二面角D﹣BF﹣E的余弦值． 參考答案與試題解析 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．【解答】解：∵（2+i）z＝2i， ∴， |z

10、|＝． 故選：C． 2．【解答】解：∵，＝（1，﹣2），＝（4，m）， ∴1×4﹣2m＝0， 解得m＝2． ∴＝5（1，﹣2）﹣3（4，2）＝（5﹣12，﹣10﹣6）＝（﹣7，﹣16）． 故選：B． 3．【解答】解：因?yàn)閎＝4，c＝2，C＝60°， 由正弦定理得， 故sinB＝＝＝＞1， 故B不存在，即三角形無(wú)解． 故選：C． 4．【解答】選：B． 5．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，如圖所示， 由題意可知，∠APB＝120°，∠ABP＝30°， 又過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為2， 則，解得l＝2， 在Rt△PO

11、B中，r＝lcos30°＝， 所以該圓錐的底面半徑為． 故選：A． 6．【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)為E， ∵， ∴++2（+）＝， ∴2+4＝， ∴O、D、E三點(diǎn)共線且||＝2||， ∴＝， ∴S1：S2＝＝， 故選：C． 7．【解答】解：如圖所示，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O， 則EF∥BD，EG∥AC，F(xiàn)O⊥OG， ∴∠FEG為異面直線AC與BD所成角． 設(shè)AB＝2a，則EG＝EF＝a，F(xiàn)G＝＝a， ∴∠FEG＝60°， ∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為， 故選：A． 8．【解答】解：作出△ABC的外接圓O1由

12、于PA⊥平面ABC，可將三棱錐P﹣ABC中放在圓柱O1O2中，如圖所示： 因?yàn)?，由正弦定理得△ABC的外接圓O1的直徑為， 又AP＝3，則三棱錐P﹣ABC外接球的直徑為（2R）2＝|PA|2+（2r）2＝9+48＝57， 故外接球的表面積為S＝4πR2＝57π． 故選：C． 二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分） 9．【解答】解：對(duì)于A，若，則向量長(zhǎng)度相等，方向相同，故，故A正確； 對(duì)于B，若＝，則，即＝或，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，若，，則方向相同或相反，方向相

13、同或相反，即的方向相同或相反，故，故C正確； 對(duì)于D，若，則，∴，∴，故D正確， 故選：ACD． 10．【解答】解：對(duì)A，若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n或者m與n相交，或者m與n異面，所以A錯(cuò)誤； 對(duì)B，若m∥n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，正確； 對(duì)C，若n?α，α∥β，則n∥β，又m∥n，m?β，所以m∥β，正確； 對(duì)D，若m∥n，n⊥α，則m⊥α，又α⊥β，所以m∥β或m?β，所以D錯(cuò)誤． 故選：BC． 11．【解答】解：A：由50×＝30人，正確； B：由50×人，故每個(gè)女生被抽入到樣本的概率為，錯(cuò)誤； C：所有樣本的均值為＝166cm，正確

14、； D：男生方差，女生方差， 所有樣本的方差 ＝] ＝[+480++12+720] ＝＝46.2，正確． 故選：ACD． 12．【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)BP⊥A1D時(shí)，BP最小，由于， ∴B到直線A1D的距離，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B，將平面DCB1A1翻折到平面ADA1上，如圖， 連接AC，與A1D的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC取最小值A(chǔ)C， 在三角形ADC中，∠ADC＝135°，，故B正確； 對(duì)于C，由正方體的性質(zhì)可得A1D∥B1C，A1D?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，∴P到平面AB1C的距離為定值， 又為定值，則為定值，即三棱錐B1﹣ACP的體積不

15、變，故C正確； 對(duì)于D，由于BD1⊥平面AB1C，設(shè)BD1與平面AB1C交于Q點(diǎn)，∴，設(shè)以B為球心，為半徑的球與面AB1C交線上任一點(diǎn)為G，∴， ∴， ∴G在以Q為圓心，為半徑的圓上， 由于△AB1C為正三角形，邊長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓半徑為， 故此圓恰好為△AB1C的內(nèi)切圓，完全落在面AB1C內(nèi)，∴交線長(zhǎng)為，故D正確． 故選：BCD． 三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．） 13．【解答】解：一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是3，則數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均數(shù)為2×3+1＝7． 故答案為：7． 14．【解答】解：先由

16、斜二測(cè)畫(huà)法得AC⊥BC，AC＝BC＝2，即可求解． 由題意得，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，則，則△ABC的周長(zhǎng)為． 故答案為：． 15．【解答】解：如圖，把截面AEF補(bǔ)形為四邊形AEFD1， 連接AD1，由正方體可得EF∥AD1，可得等腰梯形AEFD1為平面AEF截正方體所得的截面圖形， 由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，得AD1＝4，EF＝2， ＝2，則E到AD1的距離即等腰梯形AEFD1的高為＝3， ∴所求截面的面積為S＝（2）×＝18． 故答案為：18． 16．【解答】解：由（b+c）cosA＝a（2﹣cosB﹣cosC）及正弦

17、定理得（sinB+sinC）cosA＝sinA（2﹣cosB﹣cisC）， 化簡(jiǎn)得 sinC+sinB＝2sinA，再用正弦定理得 c+b＝2a，又b＝c，所以 a＝b＝c，即△ABC為正三角形， 在三角形AOB中|AB|2＝c2＝|OA|2+|OB|2﹣2|OA||OB|cosθ＝16+4﹣2×2×4cosθ＝20﹣16cosθ， S四邊形OACB＝S△ABC+S△AOB＝c2+×2×4sinθ＝（20﹣16cosθ）+4sinθ ＝5+4sinθ﹣4cosθ ＝5+8sin（）， ∵0＜θ＜π，∴﹣＜θ﹣＜， ∴sin（θ﹣）∈[﹣，1]， S四邊形OACB∈[，8+5]，

18、 故答案為：8+5． 四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 17．【解答】解：（1）＝＝（﹣3）﹣（3+）＝﹣2﹣4， ＝＝（2+λ）﹣（﹣3）＝+（λ+3）， 由B，C，D三點(diǎn)共線，根據(jù)共線向量定理的條件可得： ＝k，即﹣2﹣4＝k[+（λ+3）]， 所以 解得：λ＝﹣1． ∴B，C，D三點(diǎn)共線時(shí)實(shí)數(shù)λ的值為﹣1； （2）∵，∴＝0，即（2+λ）?（﹣2﹣4）＝0， ∴﹣42﹣（8+2λ）?﹣4λ2＝﹣8﹣（8+2λ）×2×1×cos﹣4λ＝0， 解得：λ＝﹣4． 18．【解答】解：（Ⅰ）∵z＝a+bi（a，b∈

19、R）， ∴z+2i＝a+（b+2）i，＝＝， 由題意，，可得a＝2，b＝﹣2，則z＝2﹣2i； （Ⅱ）＝2+2i+＝， 由題意，，解得﹣2＜m＜或1＜m＜． ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣2，）∪（1，）． 19．【解答】（1）證明：連接B1C，交BC1于點(diǎn)O，連接OD，所以O(shè)是B1C的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AB1， 又因?yàn)锳B1?平面BC1D，OD?平面BC1D中，所以AB1∥平面BC1D； （2）解：三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積為 S＝2S△ABC+++ ＝2××2×3+2×2+2×3+2× ＝16+2． 20．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)

20、邊分別為a，b，c， 因?yàn)閟in2B+sin2C＝（sinA+6sinBsinC）sinA， 所以b2+c2＝a2+6bcsinA，所以2bccosA＝6bcsinA， 所以； （2）因?yàn)?，? 所以，， 由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA， 可得，即c2﹣6c+5＝0， 解得c＝1或c＝5， 當(dāng)c＝1時(shí)，△ABC的面積為； 當(dāng)c＝5時(shí)，△ABC的面積為． 21．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可看出最高矩形底邊上的中點(diǎn)值為20，故眾數(shù)是20， 由（0.02+0.06+0.075+a+0.025）×4＝1得a＝0.07， ∵（0.02+0.06）×4＝

21、0.32且（0.02+0.06+0.075）×4＝0.62， ∴中位數(shù)位于18～22之間，設(shè)中位數(shù)為x， 則， 解得，故中位數(shù)是20.4； 平均數(shù)為（0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28）×4＝20.32； （2）上四分位數(shù)即為75百分位數(shù)，又∵（0.02+0.06+0.075）×4＝0.62，（0.02+0.06+0.075+0.07）×4＝0.9， ∴上四分位數(shù)位于22～26之間，設(shè)上四分位數(shù)為y，則， 得． 22．【解答】（1）證明：在直角梯形ABCD中，因?yàn)椤螦BC＝∠BAD＝，故DA⊥AB，BC⊥AB， 因?yàn)镋F∥B

22、C，故EF⊥AB． 所以在折疊后的幾何體中，有EF⊥AE，EF⊥BE， 而AE∩BE＝E，故EF⊥平面ABE． （2）解：如圖，在平面AEFD中，過(guò)D作DG⊥EF交EF于G． 在平面DBF中，過(guò)D作DH⊥BF交BF于H，連結(jié)GH． 因?yàn)槠矫鍭EFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DG?平面AEFD，故DG⊥平面EBCF， 因?yàn)锽F?平面EBCF，故DG⊥BF，而DG∩DH＝D， 故BF⊥平面DGH，又GH?平面DGH，故GH⊥BF， 所以∠DHG為二面角D﹣BF﹣E的平面角， 在平面AEFD中，因?yàn)锳E⊥EF，DG⊥EF， 故AE∥DG， 又在直角梯形ABCD中，EF∥BC且EF＝（BC+AD）＝3， 故EF∥AD，故四邊形AEGD為平行四邊形， 故DG＝AE＝2，GF＝1， 在Rt△BEF中，tan∠BFE＝， 因?yàn)椤螧FE為三角形的內(nèi)角， 故sin∠BFE＝，故GH＝1×sin∠BFE＝， 故tan∠DHG＝＝， 因?yàn)椤螪HG為三角形的內(nèi)角， 故cos∠DHG＝． 所以二面角D﹣BF﹣E的平面角的余弦值為．