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1、 統(tǒng)計物理基本觀點：宏觀性質是大量微觀粒子運動的集體表現；宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。 任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化, 則整個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化 單粒子的狀態(tài)描述：用 r 個廣義坐標和 r 個廣義動量，N個粒子系統(tǒng)的運動狀態(tài)需要來確定。用 共2r個變量為直角坐標，構成一個2r 維空間，稱為相（u）空間。 q1、q2、qr； p1、p 2、pr 系統(tǒng)由N個粒子組成，每個粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個代表點表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時刻的N個代表點描述q1、q2、qr； p1、p 2、pr6.1 粒 子 運 動 狀 態(tài) 的 微 觀 描 述 微觀粒子具有波粒二相性，德布羅意指出：能量為

2、 ，動量為 p 的物體聯(lián)系著圓頻率為 ，波矢為k的平面波，并有6.2 粒子運動狀態(tài)的量子描述,P k 粒子狀態(tài)是分立(不連續(xù)）的。 粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài) (單粒子態(tài))。 量子態(tài) 用一組量子數表征（如自由粒子nx, ny, nz）. 不同量子態(tài)的量子數取值不同。量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對于N個粒子的系統(tǒng)，就是確定各個量子態(tài)上的粒子數。 6.3 系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述 全同粒子系統(tǒng) 就是由具有完全相同屬性（相同的質量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。 近獨立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的

3、相互作用。將整個系統(tǒng)的能量表達為單個粒子的能量之和。( 如理想氣體：近獨立的粒子組成的系統(tǒng) ) iiE 一 基 本 概 念系 統(tǒng) 的 微 觀 態(tài) ： 整 個 系 統(tǒng) 的 力 學 狀 態(tài) v1、微觀系統(tǒng)的經典描述 系統(tǒng)由N個粒子組成，每個粒子的微觀態(tài)可用相空間的一個代表點表示，系統(tǒng)的微觀態(tài)可用相空間同一時刻的N個代表點描述，即 (i=1，2.N),共2Nr個變量為確定。qi1、qi2、q ir； pi1、pi2、pir 一個粒子運動狀態(tài)用相空間一個點，一個系統(tǒng)用相空間N個點來表示。（特定的條件下可用） 在該描述下全同粒子可分辨 定域粒子：全同而又可辨的粒子。例如晶體中的原子或離子定域在其平衡位置

4、附近作微振動、這些粒子就量子本性而然是不可分辨的（全同性），但可以根據粒子的位置對其加以區(qū)分（可分辨）。所以晶體中的原子或離子可看成是定域粒子。v2、微觀系統(tǒng)的量子描述不 可 分 辨 的 全 同 粒 子 系 統(tǒng) (非 定 域 系 ） 玻 耳 茲 曼 系 統(tǒng) 粒子可以分辨, 每個個體量子態(tài)上的粒子數不受限制.確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定每個粒子所處的個體量子態(tài)。確定了每個粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)(如定域系)。例：設系統(tǒng)由A、B兩個粒子組成（定域子）。粒子的個體量子態(tài)有3個, 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？ 因此，對于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)，即 3 2。一般地為 .a A

5、B 123 不 可 分 辨 的 全 同 粒 子 系 統(tǒng) (非 定 域 系 ） 確定由全同近獨立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結為確定每一個體量子態(tài)上的粒子數?；颍?確定了每個量子態(tài)上的粒子數就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài)（1）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數為整數的粒子組成的系統(tǒng). 如光子自旋為1、 介子自旋為0。由玻色子構成的復合粒子是玻色子，由偶數個費米子構成的復合粒子也是玻色子 粒子不可分辨，每個量子態(tài)上的粒子數不限（即不受泡利原理限制） 上例變?yōu)?(A=B)兩個玻色子占據3個量子態(tài)有6種方式 （2）費米系統(tǒng)：即自旋量子數為半整數的粒子組成的系統(tǒng) 粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)上最多能容納一個粒子（費米子遵從泡

6、利原理）。 兩個費米子占據3個量子態(tài)有3種占據方式 系統(tǒng)由兩個粒子組成（定域子）。粒子的個體量子態(tài)有3個, 討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài) 對于不同統(tǒng)計性質的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數、相同的量子態(tài)，系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數也是不同的。 上例僅為兩個粒子組成的系統(tǒng)、三個量子態(tài)。對于大量微觀粒子組成的實際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數目是大量的。 宏觀態(tài)：系統(tǒng)的熱力學狀態(tài) 用少數幾個宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。微觀態(tài)：系統(tǒng)的力學狀態(tài)。 確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng))； 不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻色、費米系) 宏觀性質是大量微觀粒子運動的集體表現；宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。6.4等

7、概率原理 v微觀粒子的狀態(tài)雜亂無章，一個系統(tǒng)的力學狀態(tài)也是雜亂無章的，有很多個可能的狀態(tài)，那么，每個狀態(tài)出現的概率為多少呢，與什么因素有關 確定各微觀狀態(tài)出現的概率就能用統(tǒng)計的方法求出微觀量的統(tǒng)計平均值，從而求出相應宏觀物理量，因此確定各微觀狀態(tài)出現的概率是統(tǒng)計物理學的基本問題。 1、等概率原理：對于處理平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)系統(tǒng)，各個可能狀態(tài)出現的概率是相等的等概率原理是統(tǒng)計物理的一個基本假設，是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基礎。 全同近獨立粒子組成的系統(tǒng)，具有確定的粒子數N，能量 E 和體積V ，系統(tǒng)的N個粒子分布于各個能級，設第i能級上的粒子數為ai，則組成系統(tǒng)的粒子處于各能級的情況可描述為：以符號 表示

8、 ， 稱為一個分布。 la , 21 laaa能級：粒子數： , 21 laaa , 21 l ,2,1ll分布 滿足條件： la Nal l Eal ll 6.5分布和微觀狀態(tài) l , 21 l, 21 ， a a a l, 21 ，簡并度 粒子數N 粒子系統(tǒng)的 能 級 即：能級1上有a1個粒子， 能級2上有a2個粒子，。 1 1a2ala2l 分布只表示每一個能級上有多少個粒子。當能級是簡并態(tài)時，一種分布包含很多種微觀狀態(tài)。 每一種不同的量子態(tài)的占據方式都是不同的微觀運動狀態(tài)。 (1) al個離子占據能級l 上的l 個量子態(tài)時，第一個粒子可以占據 個量子態(tài)中的任何一個態(tài)，有l(wèi) 種可能的占據

9、方式。由于每個量子態(tài)能夠容納的粒子數不受限制，在第一個粒子占據了某一個量子態(tài)以后，第二個粒子仍然有l(wèi)種的占據方式，這樣al 個編了號的粒子占據l個量子態(tài)共有 種可能的占據方式， lal 1、玻耳茲曼系統(tǒng) (定域系統(tǒng))的分布規(guī)律： (2) 各個能級都考慮在內，系統(tǒng)總的占據方式數: l al l (3) 現在考慮將N個粒子互相交換，不管是否在同一能級上，交換數是N!，在這個交換中應該除去在同一能級上al 個粒子的交換al !因此得因子 l laN !/ 例：系統(tǒng)有6個可分辨粒子，共兩個能級，1=3，2=4給定分布：a1= 4, a2=21 1a2a2 1 1a2a2 24 43 (4) 系統(tǒng)分布

10、a l 包含的總微觀狀態(tài)數為 ! ! laM B llllNa 1944043!246 24 ！ ！ 24 43 能級之間粒子交換的方式數目為 ！ 42 !6!6 l la 2 、 玻 色 系 統(tǒng) 分 布 al 包 含 的 微 觀 狀 態(tài) 數 粒子不可分辨，交換任意一對粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。每個量子態(tài)上的粒子數不受限制。 C D EA B1 2 3 4 (1) al個粒子占據能級l 上的l個量子態(tài)的占據方式數：用 表示量子態(tài)， 表示粒子。1 2 3 4 5 這樣就確定了每個量子態(tài)上的粒子數，即確定了一種占據方式（一個微觀態(tài)）。 對能級 ， l la把 個粒子和 個量子態(tài)混合排列，l 1 2

11、3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 4 5 2 粒子和量子態(tài)之間的交換 會產生新的占據方式： 量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換 不產生新的占據方式： 顯然，粒子和粒子之間的交換 不會產生新的占據方式。 其 中 粒 子 與 粒 子 的 交 換 、 量 子 態(tài) 與 量 子 態(tài) 的 交 換 不 產生 新 的 微 觀 態(tài) 。 只 有 量 子 態(tài) 與 粒 子 交 換 導 致 不 同 微 觀 態(tài) 。量 子 態(tài) 、 粒 子 各 種 交 換 (排 列 )總 數 )!1( ll a 量 子 態(tài) 交 換 數 )!1( l粒 子 交 換 數 !la各 種 交 換 共 有 種 可 能 的 方 式 。 )!1(! )!1(

12、 ll lla a（2）將 各 種 能 級 的 結 果 相 乘 ， 就 得 到 玻 色 系 統(tǒng) 與 分 布 al 相 應 的 微 觀 狀 態(tài) 數 為 ： ( 1)! ( 1)! l lBE l l laa 3、 費 米 系 統(tǒng) 分 布 al 包 含 的 微 觀 狀 態(tài) 數 ：!( )! lla ll l lC a a 將各能級的結果相乘，得到費米系統(tǒng)與分布 al 相應的微觀狀態(tài)數為： . . !( )!lF D l l l la a 粒子不可分辨，每一個個體量子態(tài)最多只能容納一個粒子。 ll a相當于從 個量子態(tài)中選 個被粒子占據。l la 6.6 玻 耳 茲 曼 分 布! ! laM B l

13、lllNa ( 1)! ( 1)!l lBE l l laa . . !( )!lF D l l l la a 玻爾茲曼系統(tǒng)玻色系統(tǒng)費米系統(tǒng) 微觀狀態(tài)數是分布 al 的函數，不同的分布存在不同個微觀狀態(tài)數，可能存在這樣一個分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數最多。 根據等概率原理，對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現的概率是相等的，那么微觀狀態(tài)數最多的分布，出現的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。 為什么提出最概然分布？ 出現概率最大分布隨機現象多次呈現的結果 當最概然分布的幾率大于非概然幾率很多時，系統(tǒng)呈現出基本相同的狀態(tài)可以用其表征平衡態(tài)分布 一、玻爾茲曼分布的推導（M.B.

14、系統(tǒng)）1、 寫出分布及對應的微觀狀態(tài)數 l al l lMB laN ! l, 21 ，1 ， 2 l， a a a l, 21 ， 玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。 2 取 對 數 ， 用 斯 特 林 公 式 化 簡 ll lll a a N ln!ln!lnln NNN ln ll lll l aaaNN lnlnln斯特林近似公式ln m ! ln mm m l l lll aaa ln l lla ln l all lMB laN ! 要求 1 la要求 1mll lll a a N ln!ln!lnln 3 拉 格 朗 日 未 定 乘 子 法 （ 拉 氏 乘 子 法 ） 求

15、 極 值(ln ) (ln ) ln d ln l l l l ll llll ld a d a d a d aa a 0ln ln ln lnl l l ll lN N a a a 對上式做一次微分，對于極值，一次微分為零 由于系統(tǒng)確定，則還要滿足約束條件： l ldadN 0 l ldadE 0l l laN l llaE 0lldN da l 0lldE da 對上兩式子做一次微分得到： 上兩式子乘以未定乘子得到： (ln ) d ln =0lll ld a a (ln ) ln 0d N E d dN dE 0ln l lla lea ll 即 稱為 麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)

16、粒子的最概然分布）。 任意，所以 lda 0ln l llll daa (ln ) d ln =0lll ld a a 0lldN da l 0lldE da 玻 色 分 布 和 費 米 分 布 包含微觀狀態(tài)數目最大的分布出現的概率最大，是系統(tǒng)的最概然分布。 l ll llEB a a )!1(! )!1(. ll lll llll llEB aaaa ln)1(ln)1()1(ln)1(ln . ln)(lnln . llll lEB aaa 0lnln . l ll lllEB a aaEN l laN 0 l ll aE 0 1 1; 1 11 ; 1l l ll l l l l laa

17、 a 0ln ll lla a lea al ll leaa lll ）（ 1 leall 1 lea ll 此式給出了玻色系統(tǒng)粒子的最概然分布，稱為 玻色分布。二 、 費 米 分 布 費米分布的推導作為練習，請同學們課后自己推導. 1 lea ll 費 米 分 布 1 lea ll 三 種 分 布 的 關 系lea ll 1lea ll 1e lea ll 1lea ll 這時玻色分布和費米分布都過渡到玻耳茲曼分布。由 知 1 lla1elea ll 與是一致的，都稱為 非簡并性條件，或 經典極限條件。 滿足經典極限條件時，玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)都過渡到玻耳茲曼分布。 通常條件下的理想氣體（非定

18、域系）即屬于這種情況。 l 玻耳茲曼系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布。（如順磁固體等定域系統(tǒng)）?？?之 ： l 玻色系統(tǒng)遵守玻色分布；費米系統(tǒng)遵守費米分布。 l 滿足經典極限條件時，玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)都滿足玻耳茲曼分布。 !N MBFDBE 定域系統(tǒng)和滿足經典極限條件的玻色(費米)系統(tǒng)雖然遵從同樣的分布，但它們的微觀狀態(tài)數是不同的。 假如系統(tǒng)可以應用 M-B 分布, 而且粒子的能級非常密集, 則粒子的能量可看作是連續(xù)的，問題可用經典方法處理，這時的 M-B分布稱為經典分布。 拉氏乘子 、 由約束條件決定： l laN l l le l llaE l ll lea 與 體 積 有 關 的 常 數 ，與 溫

19、度 有 關 的 常 數 l laN l ll l ll eee 令 l l leZ 稱之為粒子配分函數 復習題二1、簡述統(tǒng)計物理的基本觀點、基本假設2、簡述全同近獨立粒子系統(tǒng)3、簡述玻爾茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)的特征4、什么是分布，什么是最概然分布？ v計算題v1、有一系統(tǒng)由3個全同粒子組成，每個粒子具有4個量子態(tài)，求v(1)若為玻爾茲曼系統(tǒng)，系統(tǒng)的可能狀態(tài)為多少？v（2）若為玻色系統(tǒng)，系統(tǒng)的可能的狀態(tài)為多少？v（3）若為費米系統(tǒng)，系統(tǒng)的可能狀態(tài)為多少？ v有一全同近獨立粒子系統(tǒng)系統(tǒng)，分布如下v(1)若為玻爾茲曼系統(tǒng)，該分布對應的狀態(tài)為多少？v（2）若為玻色系統(tǒng)，狀態(tài)為多少?v(3)費米系統(tǒng)，又為多少？v（4）系統(tǒng)的總能量為多少？1 2, , 3, 4 ， 2, 3a