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1、數(shù)學 概 率 第四章 統(tǒng)計與概率 1 事件的分類 事件 類 型 定 義 概率 必然事件 一定會 發(fā) 生的事件 1 不可能事 件 一定不會發(fā)生的事件 0 隨機事件 在一定條件下可能發(fā)生也可 能不發(fā)生的事件 0 1之間 2. 概率 ：一 般地 ， 表示一個隨機事件 A 發(fā)生的可能性大小的 __ __ ， 叫做 這個隨機事件 A 發(fā)生的概率 3 概率的計算 (1) 公式法 ：對于簡單的事件直接用公式法計算即可； P ( A ) 事件 A 發(fā)生的可能的結果總數(shù) 所有可能的結果總數(shù) . 數(shù)值 (2) 用頻率估算概率 ：一般地 ， 在大量重復試驗下 ， 隨機事件 A 發(fā)生的頻 率

2、 __ m n __( 這里 n 是總試驗次數(shù) ， 它必須相當大 ， m 是在 n 次試驗中事件 A 發(fā) 生的次數(shù) ) 會穩(wěn)定到某個常數(shù) p . 于是 ， 我們用 p 這個常數(shù)表示事件 A 發(fā)生的概 率 ， 即 P ( A ) p ； (3) 列表法 ：當一次試驗涉及兩步計算時 ， 且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時 ， 可采用列表法列出所有可能的結果 ， 再根據(jù) P ( A ) m n 計算概率； (4) 畫樹狀圖 ：當一次試驗涉及兩步或兩步以上的計算時 ， 可采用畫樹狀 圖表示所有可能的結果 ， 再根據(jù) P ( A ) m n 計算概率 1 列舉法求概率的一般步驟為： ( 1

3、) 判斷使用列表或 畫 樹 狀 圖 方法：列表法一般適用于兩步 計 算；畫 樹 狀 圖 法適合于兩步及兩步以上求概率； ( 2 ) 不重不漏的列 舉 出所有事件出 現(xiàn) 的可能 結 果 ， 并判定每種事件 發(fā) 生的 可能性是否相等； ( 3 ) 確定所有可能出 現(xiàn) 的 結 果數(shù) n 及所求事件 A 出 現(xiàn) 的 結 果數(shù) m ； ( 4 ) 用公式 P ( A ) m n 求事件 A 發(fā) 生的概率 2 頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系 ( 1 ) 區(qū) 別 ：概率是用來表示一個隨機事件 發(fā) 生的可能性的大小 ， 只要有一 個隨機事件存在 ， 就有一個概率存在 ， 而 頻 率是通 過試驗 得到的

4、 ， 它隨著 試 驗 次數(shù)的 變 化而 變 化； ( 2 ) 聯(lián) 系：當 試驗 次數(shù)充分大 時 ， 頻 率 穩(wěn) 定在概率的附近 擺動 ， 為 了求出 一個隨機事件的概率 ， 通常需要大量的重復 試驗 ， 用所得的 頻 率來估 計 隨機 事件的概率 1 ( 2015 龍巖 ) 下列事件中 ， 屬于隨機事件的是 ( ) A. 63 的值比 8 大 B 購買一張彩票 ， 中獎 C 地球自轉(zhuǎn)的同時也在繞日公轉(zhuǎn) D 袋中只有 5 個黃球 ， 摸出一個球是白球 2 ( 2015 柳州 ) 小張拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣 ， 出現(xiàn)正面朝上的可能 性是 ( ) A 25 %

5、 B 50% C 75% D 85% B B 3 ( 2015 泰安 ) 如圖 ， 在方格紙中 ， 隨機選擇標有序號 中的 一個小正方形涂黑 ， 與圖中陰影部分構成軸對稱圖形的概率是 ( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 4 ( 2015 海南 ) 某校幵展 “ 文明小衛(wèi)士 ” 活動 ， 從學生會 “ 督查部 ” 的 3 名學生 (2 男 1 女 ) 中隨機選兩名進行督導 ， 恰好選中兩名男學生的概率是 ( ) A. 1 3 B. 1 9 C. 2 3 D. 2 9 C A 5 (2015南通 )在一個不

6、透明的盒子中裝有 a個除顏色外完全相同 的球 ， 這 a個球中只有 3個紅球 ， 若每次將球充分攪勻后 ， 任意摸 出 1個球記下顏色再放回盒子通過大量重復試驗后 ， 發(fā)現(xiàn)摸到紅 球的頻率穩(wěn)定在 20%左右 ， 則 a的值約為 ( ) A 12 B 15 C 18 D 21 B 【 例 1】 (2015鹽城 )下列事件中 ， 是必然事件的為 ( ) A 3天內(nèi)會下雨 B 打開電視機 ， 正在播放廣告 C 367人中至少有 2人公歷生日相同 D 某婦產(chǎn)醫(yī)院里 ， 下一個出生的嬰兒是女孩 【 點評 】 在一定條件下 ， 可能 發(fā) 生也可能不 發(fā) 生的事件 ， 稱 為 隨機事

7、件 事件分 為 確定事件和不確定事件 (隨機事件 )， 確定事件 又分 為 必然事件和不可能事件 對應訓練 1 (2015福建 )在一個不透明的盒子里裝有 3個黑球和 1個白球 ， 每個球除顏色外都相同 ， 從中任意摸出 2個球 ， 下列事件中 ， 不可 能事件是 ( ) A 摸出的 2個球都是白球 B 摸出的 2個球有一個是白球 C 摸出的 2個球都是黑球 D 摸出的 2個球有一個黑球 C A 【例 2 】 ( 1) ( 2015 遂寧 ) 一個不透明的布袋中 ， 放有 3 個白球 ， 5 個紅球 ， 它們除顏 色外完全相同 ， 從中隨機摸取 1 個 ， 摸到紅球的概率是 (

8、 ) A. 5 8 B. 1 5 C. 3 8 D. 1 3 (2) ( 2015 蘇州 ) 如圖 ， 轉(zhuǎn)盤中 8 個扇形的面積都相等 ， 任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤 1 次 ， 當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時 ， 指針指向 大于 6 的數(shù)的概率為 ____ A 1 4 【點評】 利用公式求概率 ， 關 鍵 是找出在一次 試驗 中所有可能的 結 果 總 數(shù) ， 以及事件本身所包含的 結 果數(shù) 如果一個事件有 n 種可能 ， 而且 這 些 事件的可能性相同 ， 其中事件 A 出 現(xiàn) m 種 結 果 ， 那么事件 A 的概率 P ( A ) m n . 對應訓練 2 ( 1) ( 2015

9、 梅州 ) 一個學習興趣小組有 4 名女生 ， 6 名男生 ， 現(xiàn)要從這 10 名學生中選出一人擔任組長 ， 則女生當選組長的概率是 ___ (2) ( 2015 南寧 ) 一個不透明的口袋中有 5 個完全相同的小球 ， 把它們分別 標號為 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 隨機提取一個小球 ， 則取出的小球標號是奇數(shù)的概 率是 __ __ 2 5_ 3 5 【例 3 】 ( 2015 玉林 ) 現(xiàn)有三張反面朝上的撲克牌：紅桃 2 、紅桃 3 、黑 桃 x(1 x 13 且 x 為奇數(shù)或偶數(shù) ) 把牌洗勻后第一次抽取一張 ， 記好花色 和數(shù)字后將牌放回 ， 重新洗勻第二次再

10、抽取 一張 (1) 求兩次抽得相同花色的概率； (2) 當甲選擇 x 為奇數(shù) ， 乙選擇 x 為偶數(shù)時 ， 他們兩次抽得的數(shù)字和是奇 數(shù)的可能性大小一樣嗎？請說明理由 ( 提示：三張撲克牌可以分別簡記為紅 2 、紅 3 、黑 x) 解： ( 1 ) 如圖 ， 所有可能的結果有 9 種 ， 兩次抽得相同花色的可能性有 5 種 ， P ( 相同花色 ) 59 ， 兩次抽得相同花色的概率為： 59 ( 2 ) 他們兩次 抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性大小一樣 ， x 為奇數(shù) ， 兩次 抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性有 4 種 ， P ( 甲 ) 4 9 ， x 為偶數(shù) ， 兩次抽得

11、的 數(shù)字和是奇數(shù)的可能性有 4 種 ， P ( 乙 ) 4 9 ， P ( 甲 ) P ( 乙 ) ， 他們兩次抽得 的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性大小一樣 . 【點評】 用 樹 狀 圖 或列表的方法來求事件的概率是： 要 認 真弄清 題 意 ， 分清是 “ 一步 實驗 ” 還 是 “ 兩步或兩步以上 實驗 ” ； 要在所有等可能 的 結 果中 ， 仔 細篩選 出適合 題 意的 結 果個數(shù) ， 代入 “ P ( A ) 事件 A 發(fā) 生的可能的 結 果 總 數(shù) 所有可能的 結 果 總 數(shù) ” 中求出概率 ， 謹 防出 錯 對應訓練 3 ( 2015 丹東 ) 一個

12、不透明的口袋中裝有 4 個分別標有數(shù)字 1 ， 2 ， 3 ， 4 的小球 ， 它們的形狀、大小完全相同小紅先從口袋中隨機摸出一個小球 記下數(shù)字為 x ；小穎在剩下的 3 個小球中隨機摸出一個 小球記下數(shù)字為 y. (1) 小紅摸出標有數(shù)字 3 的小球的概率是 ____ ； (2) 請用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由 x ， y 確定的點 P ( x ， y ) 所有可 能的結果； (3) 若規(guī)定：點 P ( x ， y ) 在第一象限或第三象限小紅獲勝；點 P ( x ， y ) 在第 二象限或第四象限則小穎獲勝請分別求出 兩人獲勝的概率 1 4 解： ( 1 ) 小紅摸出標

13、有數(shù)字 3 的小球的概率是 14 ；故答案為 14 ( 2 ) 列表如下： 1 2 3 4 1 ( 1， 2) ( 1， 3) ( 1， 4) 2 ( 2， 1) ( 2， 3) ( 2， 4) 3 (3， 1) (3， 2) (3， 4) 4 (4， 1) (4， 2) (4， 3) ( 3 ) 從上面的表格可以看出 ， 所有可能出現(xiàn)的結果共有 12 種 ， 且每種結 果出現(xiàn)的可能性相同 ， 其中點 ( x ， y ) 在第一象限或第三象限的結果有 4 種 ， 第 二象限或第四象限的結果有 8 種 ， 所以小紅獲勝的概率 4 12 1 3 ， 小穎獲勝的 概率 8 1

14、2 2 3 【 例 4】 (2015本溪 )在一個不透明的口袋中 ， 裝有若干個紅 球和 4個黃球 ， 它們除顏色外沒有任何區(qū)別 ， 搖勻后從中隨機摸 出一個球 ， 記下顏色后再放回口袋中 ， 通過大量重復摸球?qū)嶒灠l(fā) 現(xiàn) ， 摸到黃球的頻率是 0.2， 則估計盒子中大約有紅球 ( ) A 16個 B 20個 C 25個 D 30個 【 點評 】 本 題 每摸一次就相當于做了一次 試驗 ， 因此大量重 復的 試驗獲 取的 頻 率可以估 計 概率 A 對應訓練 4 (2015蘭州 )在一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的 n 個小球 ， 其中有 5個黑球 ， 從袋中隨

15、機摸出一球 ， 記下其顏色 ， 這 稱為一次摸球試驗 ， 之后把它放回袋中 ， 攪勻后 ， 再繼續(xù)摸出一球 ， 以下是利用計算機模擬的摸球試驗次數(shù)與摸出黑球次數(shù)的列表： 摸球 試 驗 次數(shù) 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑 球次數(shù) 46 487 2506 5008 24996 50007 根據(jù)列表 ， 可以估計出 n的值是 n 10 【 例 5】 (2015日照 )為進一步推廣 “ 陽光體育 ” 大課間活動 ， 某中學對已開設的 A實心球 ， B立定跳遠 ， C跑步 ， D跳繩四種活動 項目的學生喜歡情況進行調(diào)查 ， 隨機抽取

16、了部分學生 ， 并將調(diào)查結 果繪制成圖 ， 圖 的統(tǒng)計圖 ， 請結合圖中的信息解答下列問題： (1)請計算本次調(diào)查中喜歡 “ 跑步 ” 的學生人數(shù)和所占百分比 ， 并 將兩個統(tǒng)計圖補充完整； (2)隨機抽取了 5名喜歡 “ 跑步 ” 的學生 ， 其中有 3名女生 ， 2名男 生 ， 現(xiàn)從這 5名學生中任意抽取 2名學生 ， 請用畫樹狀圖或列表的方 法 ， 求出剛好抽到同性別學生的概率 解： ( 1 ) 根據(jù)題意得： 15 10 % 150 ( 名 ) 本項調(diào)查中喜歡 “ 跑步 ” 的學生 人數(shù)是； 150 15 45 30 60 ( 人 ) ， 所占百分比是： 60 15

17、0 100 % 40 % ， 畫 圖如圖： ( 2 ) 用 A 表示男生 ， B 表示女生 ， 畫圖如下： 共有 20 種情況 ， 同性別學生的情況是 8 種 ， 則剛好抽到同性別學生的概 率是 8 20 2 5 【點評】 本 題 考 查 的是條形 統(tǒng)計圖 和扇形 統(tǒng)計圖 的 綜 合運用以及概率 的求法 ， 讀 懂 統(tǒng)計圖 ， 從不同的 統(tǒng)計圖 中得到必要的信息 是解決 問題 的關 鍵 對應訓練 5 (2015成都 )國務院辦公廳在 2015年 3月 16日發(fā)布了 中國足球 發(fā)展改革總體方案 ， 這是中國足球史上的重大改革 ， 為進一步普 及足球知識 ， 傳播足球文

18、化 ， 我市某區(qū)在中小學舉行了 “ 足球在身 邊 ” 知識競賽 ， 各類獲獎學生人數(shù)的比例情況如圖所示 ， 其中獲得 三等獎的學生共 50名 ， 請結合圖中信息 ， 解答下列問題： (1)獲得一等獎的學生人數(shù)； (2)在本次知識競賽活動中 ， A， B， C， D四所學校表現(xiàn)突出 ， 現(xiàn) 決定從這四所學校中隨機選取兩所學校舉行一場足球友誼賽 ， 請用 畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到 A， B兩所學校的概率 解： (1) 三等獎所在扇形的圓心角為 90 ， 三等獎所占的百分 比為 25%， 三等獎為 50人 ， 總?cè)藬?shù)為 50 25% 200人 ， 一 等獎的學生人數(shù)為 200

19、(1 20% 25% 40%) 30人 (2)列表： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 共有 12 種等可能的結果 ， 恰好選中 A ， B 的有 2 種 ， P ( 選中 A ， B ) 212 16 試題 ( 2012 蘇州 ) 在 3 3 的方格紙中 ， 點 A ， B ， C ， D ， E ， F 分別位于 如圖所示的小正方形的頂點上 (1) 從 A ， D ， E ， F 四點中任意取一點 ， 以所取的這一點及 B ， C 為頂點 畫三角形 ， 則所畫三角形是等腰三角形的概率是 ____ ；

20、 (2) 從 A ， D ， E ， F 四點中先后任意取兩個不同的點 ， 以所取的這兩點及 B ， C 為頂點畫四邊形 ， 求所畫四邊形是平行四邊形的概率 ( 用樹狀圖或列表求解 ) 審題視角 ( 1) 在 計 算某事件的概率 時 要清楚所有機會均等的 結 果； ( 2) 兩 步或兩步以上 實驗 的不確定事件 發(fā) 生的概率的 計 算 ， 往往借助列表法、枚 舉 法、 樹 狀 圖 來 進 行分析 ， 注意 避免 計 數(shù)的重復與 遺 漏 規(guī)范答題 解： ( 1) 從 A ， D ， E ， F 四點中任意取一點 ， 以所取的這一點及 B ， C 為頂 點畫三角形 ， 有 ABC ，

21、 DBC ， EBC ， FBC ， 但只有 DBC 是等腰三角 形 ， 所以 P ( 所畫三角形是等腰三角形 ) 1 4 . ( 2 ) 用樹狀圖或利用表格列出所有可能的結果： 以點 A ， E ， B ， C 為頂點及以點 D ， F ， B ， C 為頂點所畫的四邊 形是平行四邊形 ， P ( 所畫的四邊形是平行四邊形 ) 4 12 1 3 . 答題思路 第一步：確定事件是等可能事件； 第二步：利用概率公式來 計 算； 第三步： 給 出明確的 結論 ； 第四步：反思回 顧 ， 查 看關 鍵 點、易 錯 點和答 題規(guī) 范 試題 擲兩枚硬

22、幣 ， 規(guī)定落地后 ， 國徽朝上為 “ 正 ” ， 國徽朝下為 “ 反 ” ， 則會出現(xiàn)以下三種情況： “ 正正 ” 、 “ 反反 ” 、 “ 正反 ” ， 分別 求出每種情況的概率 錯解 解：通過列表可知 ， 每種情況都出現(xiàn)一次 ， 因此各種情況發(fā)生的概率 均占 1 3 . 可能出 現(xiàn) 的情況 正正 正反 反反 概 率 1 3 1 3 1 3 剖析 ( 1 ) 在解決有關概率 統(tǒng)計問題過 程中 ， 樹 狀 圖 是一種十分重要的工具 ， 即把情況 發(fā) 生 過 程用 類 似 樹 枝的 圖 形表示出來 ， 以 對結 果的 產(chǎn) 生一目了 然 畫出 樹 狀 圖 的 過 程就是一個探索 規(guī) 律的 過 程； ( 2 ) 本 題 中的 “ 擲 兩枚硬 幣 ” ， 可理解 為 先后 擲 兩枚不同的硬 幣 ， 列表 亦可 ， 如表： 第一枚 第二枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 正解 畫樹狀圖如下： 因此共有四種情況 ， 其中 “ 正正 ” 出現(xiàn)一次 ， 概率為 1 4 ； “ 正反 ” 出現(xiàn)二次 ， 概率為 1 2 ； “ 反反 ” 出現(xiàn)一次 ， 概率為 1 4