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1、第 5課 時(shí) 空 間 中 的 垂 直 關(guān) 系 1直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面內(nèi)的 直線都垂直，則直線l與此平面垂直(2)判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條 直線都垂直，則該直線與此平面垂直(3)性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線 基礎(chǔ)知識(shí)梳理任意一條相交平行 2二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作 的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角基礎(chǔ)知識(shí)梳理兩個(gè)半平面垂直于掕 3平面與平面垂直(1)定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是 ，就說這兩個(gè)平面互相垂直(2)判定定理：一

2、個(gè)平面過另一個(gè)平面的 ，則這兩個(gè)平面垂直(3)性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi) 的直線與另一個(gè)平面垂直基礎(chǔ)知識(shí)梳理直二面角垂直于交線垂線 基礎(chǔ)知識(shí)梳理垂直于同一平面的兩平面是否平行？【思考提示】可能平行，也可能相交 4直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角當(dāng)直線與平面垂直和平行(含直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為 .基礎(chǔ)知識(shí)梳理90 和 0 1(2009年高考山東卷改編)已知，表示兩個(gè)不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“m ”是“ ”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案：A三基能力強(qiáng)

3、化 2直線a與b垂直，b平面，則a與的位置關(guān)系是()Aa Ba Ca Da 或a 答案：D三基能力強(qiáng)化 3.如圖，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()三基能力強(qiáng)化 A平行B垂直但不相交C異面D相交但不垂直答案：B三基能力強(qiáng)化 4(教材習(xí)題改編)ABC中， ABC=90，PA平面ABC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是.答案：4三基能力強(qiáng)化 5已知平面、和直線m，給出條件：m ；m ；m ； ； .(1)當(dāng)滿足條件_時(shí)，有m ；(2)當(dāng)滿足條件_時(shí)，有m .(填所選條件的序號(hào))答案：三基能力強(qiáng)化 證明直線和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性(

4、a b，a b )課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一直 線 和 平 面 垂 直 的 判 定 和 性 質(zhì) (3)利用面面平行的性質(zhì)(a ， a )(4)利用面面垂直的性質(zhì)當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，常用來證明線線垂直課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練如圖所示，AB為 O的直徑，C為 O上一點(diǎn)，AP面ABC，AE BP于E，AF CP于F.求證：BP平面AEF. 課堂互動(dòng)講練 【思路點(diǎn)撥】證明BP平面AEF，只需證明AF PB.課堂互動(dòng)講練 【證明】 AB為 O的直徑，C為 O上的一點(diǎn)， BC AC.又PA面ABC，BC面ABC， PA BC.又PAAC=A， BC平面PAC，課堂互動(dòng)講練 AF平面

5、PAC， BC AF.又已知AF PC，BCPC=C， AF平面BCP，又PB平面BCP， AF PB，又BP AE，AEAF=A， BP平面AEF.課堂互動(dòng)講練 【名師點(diǎn)評(píng)】線面垂直的定義，拓展了線線垂直的范圍，線垂直于面，線就垂直于面內(nèi)所有直線課堂互動(dòng)講練 題目條件不變，圖中有幾個(gè)直角三角形？它們是什么？解：共9個(gè)RtPAC，RtPAB，RtPBC，RtABC，RtPFA，RtCFA，RtPEF，RtPEA，RtAEB.課堂互動(dòng)講練 證明面面垂直的主要方法是：(1)利用判定定理在審題時(shí)要注意直觀判斷哪條直線課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二平 面 與 平 面 垂 直 的 判 定 可能是垂線，充分利用等腰三

6、角形底邊的中線垂直于底邊，勾股定理等結(jié)論(2)用定義證明只需判定兩平面所成二面角為直二面角(3)客觀題中，也可應(yīng)用：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練(2010年陜西西安調(diào)研)如圖，三棱錐A-BCD中，AD，BC，CD兩兩互相垂直，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)(1)求證：BC平面MND；(2)求證：平面MND平面ACD. 課堂互動(dòng)講練 【思路點(diǎn)撥】由MN BC，知BC平面MND，由BC CD，BC AD，知BC面ACD.課堂互動(dòng)講練 【證明】(1) M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)， MN BC.又 MN平面MND，BC平面MND. BC平面

7、MND.課堂互動(dòng)講練 (2) BC CD，BC AD， BC平面ACD.又 MN BC， MN平面ACD. MN平面MND，平面MND平面ACD.課堂互動(dòng)講練 【名師點(diǎn)評(píng)】本題體現(xiàn)了線面轉(zhuǎn)化，同學(xué)們可以思考一下，若DN AC，DM AC，我們可以推出幾對(duì)面面垂直？課堂互動(dòng)講練 將平面圖形折疊成立體圖形時(shí)，應(yīng)注意折疊前、后哪些量發(fā)生了改變，哪些沒有發(fā)生變化特別應(yīng)注意尋找折疊前、后的那些沒有發(fā)生變化的關(guān)系和沒有變化的量把平面圖形的垂直關(guān)系運(yùn)用到空間圖形中去，又將空間中的有關(guān)問題放到平面中去計(jì)算，?？梢允箚栴}得以順利解決課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三 折 疊 問 題 課堂互動(dòng)講練如圖，四邊形ABCD中，AD B

8、C，ADAB， BCD45， BAD90，將ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后點(diǎn)A的位置為P，且使平面PBD平面BCD，如圖. 課堂互動(dòng)講練 (1)求證：平面PBC平面PDC；(2)在折疊前的四邊形ABCD中，作AE BD于E，過E作EF BC于F，求折起后的圖形中 PFE的正切值課堂互動(dòng)講練 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)翻折前后元素的關(guān)系變化，結(jié)合面面垂直的判定定理求解課堂互動(dòng)講練 【解】(1)證明：折疊前，在四邊形ABCD中，AD BC，AD=AB， BAD=90，所以ABD為等腰直角三角形又因?yàn)?BCD=45 ，所以 BDC=90.折疊后，因?yàn)槊鍼BD面BCD，課堂互動(dòng)講練 CD BD，所以CD面PB

9、D.又因?yàn)镻B面PBD，所以CD PB.又因?yàn)镻B PD，PDCD=D，所以PB面PDC.又PB面PBC，故平面PBC平面PDC.課堂互動(dòng)講練 (2)AE BD，EF BC，折疊后的位置關(guān)系不變，所以PE BD.又面PBD面BCD，所以PE面BCD.所以PE EF.課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練 【名師點(diǎn)評(píng)】翻折與展開是一個(gè)問題的兩個(gè)方面，不論是翻折還是展開，均要注意平面圖形與立體圖形中各個(gè)對(duì)應(yīng)元素的相對(duì)變化，元素間大小與位置關(guān)系，哪些變化，哪些不變化，這是至關(guān)重要的一般來說，在翻折過程中，處在同一個(gè)半平面內(nèi)的元素是不變的，弄清楚這一點(diǎn)是解決這類問題的關(guān)鍵課堂互動(dòng)講練 對(duì)于這類問題應(yīng)先把題目中已確

10、定的位置、大小關(guān)系作出全面認(rèn)識(shí)和正確的推理，再對(duì)變化不定的線面關(guān)系進(jìn)行觀察，嘗試作出各種常見的輔助線、輔助面進(jìn)行判斷，另外還要靈活運(yùn)用觀察、聯(lián)想、類比、猜想、分析、綜合、一般化、特殊化等科學(xué)的思維方法，才能使開放性問題快速有效地解決課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)四與 垂 直 有 關(guān) 的 探 究 性 問 題 課堂互動(dòng)講練(1)求證：不論為何值，總有平面BEF平面ABC；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面BEF平面ACD. 課堂互動(dòng)講練 【思路點(diǎn)撥】對(duì)于(1)證出EF CD，從而可證EF面ABC；對(duì)于(2)主要在側(cè)面ABC中求AE的長(zhǎng)度課堂互動(dòng)講練 【解】(1)證明： AB平面BCD， AB CD， CD BC且ABBCB

11、， CD平面ABC. 2分不論為何值，恒有EF CD， 4分 EF平面ABC，EF平面BEF，不論為何值，總有平面BEF平面ABC. 6分課堂互動(dòng)講練 (2)由(1)知，BE EF，又平面BEF平面ACD， BE平面ACD， BE AC. BCCD1， BCD90， ADB60，課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練 【誤區(qū)警示】對(duì)于(2)易錯(cuò)的地方是猜想E點(diǎn)位置為中點(diǎn)，再證平面BEF平面ACD.課堂互動(dòng)講練 (本題滿分12分)如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分別為線段AB、CD的中點(diǎn)，EP平面ABCD.課堂互動(dòng)講練 (1)求證：DP面EPC；(2)問在EP上是否存在點(diǎn)F使平面課堂互動(dòng)講練 解

12、：(1)證明： EP面ABCD， EP DP，又ABCD為矩形，AB=2BC，P、Q分別為AB、CD的中點(diǎn)， PQ DC且PQ= DC， DP PC， 4分又 EPPCP， DP面EPC. 6分課堂互動(dòng)講練 (2)如圖，假設(shè)存在點(diǎn)F使平面AFD平面BFC， AD BC， AD平面BFC， AD平行于平面AFD與平面BFC的交線l. 8分 EP平面ABCD， EF AD，而AD AB， AD平面EAB， l平面EAB，課堂互動(dòng)講練 AFB是平面AFD與平面BFC所成二面角的平面角， 10分 P是AB中點(diǎn)，且FP AB，當(dāng) AFB90時(shí)，F(xiàn)PAP，課堂互動(dòng)講練 1空間的垂直關(guān)系有直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直它們之間存在相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：規(guī)律方法總結(jié) 2當(dāng)有面面垂直時(shí)，一般是在一個(gè)面內(nèi)找(作)交線的垂線，則直線垂直于面；在證面面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有的直線尋找平面的垂線；在證面面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有的直線尋找平面的垂線，若沒有，可作輔助線解決規(guī)律方法總結(jié) 3注意掌握以下幾個(gè)相似結(jié)論(1)垂直于同一平面的兩條直線平行(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(3)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交(4)垂直于同一條直線的兩條直線平行、相交或者異面規(guī)律方法總結(jié) 隨堂即時(shí)鞏固 課時(shí)活頁訓(xùn)練